Gruppo semplice di ordine $p^a * 15$
Siano [tex]a \geq 0[/tex] un intero, [tex]p[/tex] un numero primo e [tex]G[/tex] un gruppo semplice di ordine [tex]p^a \cdot 15[/tex]. Dimostrare che [tex]G \cong A_5[/tex].
Lo trovo un esercizio molto bello. E' preso da un foglio dato durante questa geniale scuola estiva a cui ho partecipato (li' era [tex]p=2[/tex], ma il risultato vale per un [tex]p[/tex] generico). Il caso generale segue abbastanza facilmente una volta risolto il caso [tex]p=2[/tex].
Lo trovo un esercizio molto bello. E' preso da un foglio dato durante questa geniale scuola estiva a cui ho partecipato (li' era [tex]p=2[/tex], ma il risultato vale per un [tex]p[/tex] generico). Il caso generale segue abbastanza facilmente una volta risolto il caso [tex]p=2[/tex].
Risposte
Che bello, ci proverò sicuramente (anche se non so se è alla mia portata!). Volevo solo chiedere numi su una cosa e mi scuserete per la banalità forse.
$A_5$ ha esattamente $60$ elementi ed un gruppo ad esso isomorfo deve averne esattamente $60$, il che si verifica solo per $p=a=2$. Per ogni altro $p$ ed ogni altro $a$ allora l'isomorfismo è con un sottogruppo di $G$, giusto o mi sfugge qualcosa?
PS Il teorema di Caylay mi sta solleticando.
$A_5$ ha esattamente $60$ elementi ed un gruppo ad esso isomorfo deve averne esattamente $60$, il che si verifica solo per $p=a=2$. Per ogni altro $p$ ed ogni altro $a$ allora l'isomorfismo è con un sottogruppo di $G$, giusto o mi sfugge qualcosa?
PS Il teorema di Caylay mi sta solleticando.
"mistake89":Intendevi "lumi"?
Volevo solo chiedere numi

$A_5$ ha esattamente $60$ elementi ed un gruppo ad esso isomorfo deve averne esattamente $60$, il che si verifica solo per $p=a=2$. Per ogni altro $p$ ed ogni altro $a$ allora l'isomorfismo è con un sottogruppo di $G$No. Il punto e' che bisogna dimostrare che se [tex]G[/tex] e' semplice di ordine [tex]p^a \cdot 15[/tex] allora automaticamente [tex]p=a=2[/tex] e [tex]G \cong A_5[/tex].
Ahahah scusami, le mie funzioni vitali sono ancora ridotte al minimo 
Ah ok, ora mi è tutto più chiaro. Almeno riesco a pensarci in una direzione più sensata.
Grazie mille, dovesse venirmi qualche idea la posterò

Ah ok, ora mi è tutto più chiaro. Almeno riesco a pensarci in una direzione più sensata.
Grazie mille, dovesse venirmi qualche idea la posterò

Io ci sto lavorando Martino anche se per adesso non riuscito ad escludere nulla (sto provando il caso p=2).
In realtà stavo pensando di fare così:
I casi $a=0,a=1$ li escludo facilmente ammettendo uno solo il gruppo ciclico e l'altro essendo della forma $2*d$.
Ora suppongo che $a>2$ e voglio provare che allora $G$ non è semplice. Avevo pensato di provare l'esistenza di un sottogruppo di indice $2,3 o 4$ garantendomi così la non semplicità del gruppo oppure di provare che il $2$-sylow è ciclico. A disposizione credo di avere solo qualche nozione sulle azioni ed il teorema di Caylay e quindi per ora sono a $0$.
Risolto questo punto il resto dell'esercizio vien da sè, in quanto si dimostrare che l'unico gruppo semplice di ordine $60$ è proprio $A_5$ da cui seguirà l'isomorfismo.
Continuo a pensarci.
In realtà stavo pensando di fare così:
I casi $a=0,a=1$ li escludo facilmente ammettendo uno solo il gruppo ciclico e l'altro essendo della forma $2*d$.
Ora suppongo che $a>2$ e voglio provare che allora $G$ non è semplice. Avevo pensato di provare l'esistenza di un sottogruppo di indice $2,3 o 4$ garantendomi così la non semplicità del gruppo oppure di provare che il $2$-sylow è ciclico. A disposizione credo di avere solo qualche nozione sulle azioni ed il teorema di Caylay e quindi per ora sono a $0$.

Risolto questo punto il resto dell'esercizio vien da sè, in quanto si dimostrare che l'unico gruppo semplice di ordine $60$ è proprio $A_5$ da cui seguirà l'isomorfismo.
Continuo a pensarci.
Ok, aggiungerei solo una cosa: osserva che se trovi un sottogruppo di indice 5 sei pure a posto.
Mi rendo conto che non e' un problema facile, do' qualche "input" (non si sa mai).
Ehm è colpa mia sono stato impegnato in questo periodo e non ci ho potuto riflettere moltissimo, però non mi era venuto comunque niente di interessante (purtroppo non sono molto pratico sulle azioni!)... proverò con qualche suggerimento a cavarci qualcosa.

Mi dispiace lasciarlo cadere così, però forse non sono in grado! 
Magari con una risoluzione assistita posso arrivarci (ed imparare un po' di cose sulle azioni). Che dici Martino?
Scrivo quello a cui ho pensato un po' stamattina, magari, non serve e così cerco un'altra strada.

Magari con una risoluzione assistita posso arrivarci (ed imparare un po' di cose sulle azioni). Che dici Martino?

Scrivo quello a cui ho pensato un po' stamattina, magari, non serve e così cerco un'altra strada.
Fai con calma, non e' che ho fretta che il problema venga risolto
se rimane dov'e' va bene lo stesso.
Dal momento che supponi che K sia massimale, esso coincide col suo normalizzante. Quindi non capisco come deduci che [tex]|N_G(K)|=15[/tex].
K agisce su X, e X ha 15 elementi (penso che l'argomento per dire che X ha 15 elementi ti sia chiaro). Bene. Guardiamo alle orbite. Cosa puoi dire di non banale sulle orbite? Per esempio cosa puoi dire dell'orbita di K? E cosa puoi dire delle orbite con un solo elemento? In altre parole come sono fatti i p-Sylow normalizzati da K? (c'e' un lemmino generale in merito).
Quando avrai risposto a queste domande avrai ottenuto forti restrizioni su [tex]p[/tex] e potrai dedurre l'esistenza di un'orbita "piccola"...

Dal momento che supponi che K sia massimale, esso coincide col suo normalizzante. Quindi non capisco come deduci che [tex]|N_G(K)|=15[/tex].
K agisce su X, e X ha 15 elementi (penso che l'argomento per dire che X ha 15 elementi ti sia chiaro). Bene. Guardiamo alle orbite. Cosa puoi dire di non banale sulle orbite? Per esempio cosa puoi dire dell'orbita di K? E cosa puoi dire delle orbite con un solo elemento? In altre parole come sono fatti i p-Sylow normalizzati da K? (c'e' un lemmino generale in merito).
Quando avrai risposto a queste domande avrai ottenuto forti restrizioni su [tex]p[/tex] e potrai dedurre l'esistenza di un'orbita "piccola"...
"Martino":
Fai con calma, non e' che ho fretta che il problema venga risoltose rimane dov'e' va bene lo stesso.
Dal momento che supponi che K sia massimale, esso coincide col suo normalizzante. Quindi non capisco come deduci che [tex]|N_G(K)|=15[/tex].
Eh, ho dato di matto. Ho sbagliato ad applicare il teorema orbita-stabilizzatore all'insieme $X$ e non a $K$.

Proverò a ragionare su ciò che mi hai detto!

Inizio a scrivere il primo punto della mia soluzione, dopo aver avvisato mistake89 in privato. 

j18eos, ora prova ad escludere anche il caso [tex]p=3[/tex], non è difficile, basta tenere a mente questo lemmino:
Lemma A. Se un gruppo semplice [tex]G[/tex] ha un sottogruppo proprio di indice [tex]n[/tex] allora esiste un omomorfismo iniettivo [tex]G \to \text{Sym}(n)[/tex].
Dim. Azione sui laterali!
Lemma A. Se un gruppo semplice [tex]G[/tex] ha un sottogruppo proprio di indice [tex]n[/tex] allora esiste un omomorfismo iniettivo [tex]G \to \text{Sym}(n)[/tex].
Dim. Azione sui laterali!
Avevo pensato ad una dimostrazione puramente col solo teorema di Sylow ma sinceramente preferisco utilizzare il Lemma A, è rapidissima la dimostrazione.
Per questo punto non mi prendo meriti.
Dato che il problema stagna un po' sono spinto a proporre l'argomento, sperando di interessare qualcuno.
Come già osservato da j18eos, possiamo supporre [tex]p \neq 3,5[/tex]. Sia ora [tex]\mathcal{P}[/tex] l'insieme dei [tex]p[/tex]-Sylow di [tex]G[/tex], e sia [tex]H \in \mathcal{P}[/tex].
Lemma B. Se il gruppo finito [tex]G[/tex] agisce sull'insieme [tex]X[/tex] e [tex]x \in X[/tex] allora [tex]|xG| = |G:\text{Stab}_G(x)|[/tex], dove [tex]xG[/tex] indica l'orbita di [tex]x[/tex] e [tex]\text{Stab}_G(x)[/tex] indica lo stabilizzatore di [tex]x[/tex].
Dim. Appartiene alla teoria di base delle azioni.
Dato che [tex]G[/tex] agisce transitivamente su [tex]\mathcal{P}[/tex], dal lemma B segue che [tex]|\mathcal{P}| = |G:N_G(H)|[/tex]. D'altra parte per il teorema di Sylow [tex]|\mathcal{P}|[/tex] divide [tex]15[/tex], e non può essere [tex]3[/tex] per via del lemma A. Se [tex]|G:N_G(H)|=5[/tex] allora per il lemma A esiste un omomorfismo iniettivo [tex]G \to S_5[/tex], e possiamo concludere col lemma seguente.
Lemma C. L'unico sottogruppo semplice non abeliano di [tex]S_5[/tex] è [tex]A_5[/tex].
Dim. Per ispezione (basta controllare - usando Sylow - i gruppi di ordine che divide 120).
Possiamo quindi supporre che [tex]|\mathcal{P}|=15[/tex]. [tex]H[/tex] agisce su [tex]\mathcal{P}[/tex] per coniugio, e per il lemma B le orbite di questa azione hanno un numero di elementi che divide [tex]|H|[/tex], in particolare è una potenza di [tex]p[/tex].
Lemma D. Se [tex]L[/tex] è un [tex]p[/tex]-sottogruppo di [tex]G[/tex] che normalizza [tex]K \in \mathcal{P}[/tex] allora [tex]L \subseteq K[/tex].
Dim. Considerare il sottogruppo [tex]LK[/tex]...
Dal lemma D segue che l'unica [tex]H[/tex]-orbita di [tex]\mathcal{P}[/tex] con un solo elemento è [tex]\{H\}[/tex]. Quindi 15 dev'essere somma di potenze di [tex]p[/tex] di cui esattamente una dev'essere 1, e da questo si deducono subito due cose:
1. [tex]p \in \{2,7\}[/tex];
2. esiste una [tex]H[/tex]-orbita [tex]\mathcal{O}[/tex] di [tex]\mathcal{P}[/tex] con esattamente [tex]p[/tex] elementi.
Prendiamo [tex]K \in \mathcal{O}[/tex]. Lo stabilizzatore di [tex]K[/tex] in [tex]H[/tex] ha indice [tex]p[/tex] e normalizza [tex]K[/tex], quindi usando il lemma D e facendo qualche ulteriore osservazione si riesce a concludere.
Come già osservato da j18eos, possiamo supporre [tex]p \neq 3,5[/tex]. Sia ora [tex]\mathcal{P}[/tex] l'insieme dei [tex]p[/tex]-Sylow di [tex]G[/tex], e sia [tex]H \in \mathcal{P}[/tex].
Lemma B. Se il gruppo finito [tex]G[/tex] agisce sull'insieme [tex]X[/tex] e [tex]x \in X[/tex] allora [tex]|xG| = |G:\text{Stab}_G(x)|[/tex], dove [tex]xG[/tex] indica l'orbita di [tex]x[/tex] e [tex]\text{Stab}_G(x)[/tex] indica lo stabilizzatore di [tex]x[/tex].
Dim. Appartiene alla teoria di base delle azioni.
Dato che [tex]G[/tex] agisce transitivamente su [tex]\mathcal{P}[/tex], dal lemma B segue che [tex]|\mathcal{P}| = |G:N_G(H)|[/tex]. D'altra parte per il teorema di Sylow [tex]|\mathcal{P}|[/tex] divide [tex]15[/tex], e non può essere [tex]3[/tex] per via del lemma A. Se [tex]|G:N_G(H)|=5[/tex] allora per il lemma A esiste un omomorfismo iniettivo [tex]G \to S_5[/tex], e possiamo concludere col lemma seguente.
Lemma C. L'unico sottogruppo semplice non abeliano di [tex]S_5[/tex] è [tex]A_5[/tex].
Dim. Per ispezione (basta controllare - usando Sylow - i gruppi di ordine che divide 120).
Possiamo quindi supporre che [tex]|\mathcal{P}|=15[/tex]. [tex]H[/tex] agisce su [tex]\mathcal{P}[/tex] per coniugio, e per il lemma B le orbite di questa azione hanno un numero di elementi che divide [tex]|H|[/tex], in particolare è una potenza di [tex]p[/tex].
Lemma D. Se [tex]L[/tex] è un [tex]p[/tex]-sottogruppo di [tex]G[/tex] che normalizza [tex]K \in \mathcal{P}[/tex] allora [tex]L \subseteq K[/tex].
Dim. Considerare il sottogruppo [tex]LK[/tex]...
Dal lemma D segue che l'unica [tex]H[/tex]-orbita di [tex]\mathcal{P}[/tex] con un solo elemento è [tex]\{H\}[/tex]. Quindi 15 dev'essere somma di potenze di [tex]p[/tex] di cui esattamente una dev'essere 1, e da questo si deducono subito due cose:
1. [tex]p \in \{2,7\}[/tex];
2. esiste una [tex]H[/tex]-orbita [tex]\mathcal{O}[/tex] di [tex]\mathcal{P}[/tex] con esattamente [tex]p[/tex] elementi.
Prendiamo [tex]K \in \mathcal{O}[/tex]. Lo stabilizzatore di [tex]K[/tex] in [tex]H[/tex] ha indice [tex]p[/tex] e normalizza [tex]K[/tex], quindi usando il lemma D e facendo qualche ulteriore osservazione si riesce a concludere.
OUT OF SELF: Questo è un periodo in cui sono rotto: di studiare, di lavorare e too cure! 
Riprendo la dimostrazione da dove l'ho lasciata!

Riprendo la dimostrazione da dove l'ho lasciata!
OUT OF SELF: Ho smesso di essere rotto! 
EDIT: C'è ancora un errore! T_T

EDIT: C'è ancora un errore! T_T
"j18eos":
[tex]$P\triangleleft N_G(P)Come escludi il caso in cui [tex]P=N_G(P)[/tex]? Inoltre perche' hai posto [tex]a=2[/tex]?
C'ho messo un pò di tempo, a parte gli esami che stanno per finire (per adesso!), ma volevo dimostrare più di quanto dovessi per questo problema; lo lascio come domanda extra: cosa si può dire sui [tex]$p$[/tex]-sottogruppi di Sylow di un gruppo finito autonormalizzati?
Non sono tanto convinto di aver ragionato come si deve.
Non sono tanto convinto di aver ragionato come si deve.

"j18eos":Domanda molto vasta. Il punto dell'esercizio che ho proposto e' appunto escludere il caso in cui ogni p-Sylow e' autonormalizzato. Per questo motivo direi che il problema che poni e' molto difficile.
cosa si può dire sui [tex]$p$[/tex]-sottogruppi di Sylow di un gruppo finito autonormalizzati?
La loro unione è un insieme di [tex]$15(49-1)+1=721$[/tex] elementi distintiNon è detto. Questo vale solo se due qualsiasi 7-Sylow hanno intersezione banale, e questo può benissimo non succedere.
Come ho già osservato sopra, se supponi che [tex]P \neq N_G(P)[/tex] risolvi in fretta (usando i lemmi A e C). Quindi è proprio al caso in cui [tex]P=N_G(P)[/tex] che bisogna pensare bene
