[Approssimazione]Un esercizio di riepilogo

[dissonance]

Ho pensato di compilare un piccolo esercizio di riepilogo per un corso di Istituzioni di analisi superiore (per matematici) o di Metodi matematici (per fisici e ingegneri), basandomi su una costruzione trovata tempo fa sul testo The Schrödinger Equation di Berezin e Shubin.

Problema Sia [tex]M[/tex] l'insieme delle funzioni di [tex]\mathbb{R}[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex] di tipo [tex]P(x)e^{-\frac{x^2}{2}}[/tex], dove [tex]P(x)[/tex] è un polinomio. Dimostrare che [tex]M[/tex] è un sottospazio vettoriale denso di [tex]L^2(\mathbb{R})[/tex].

Traccia

[list=1][*:140bity2]Dimostrare che la tesi equivale a verificare che

se [tex]f \in L^2(\mathbb{R})[/tex] è tale che [tex]$\int_{-\infty}^\infty f(x) x^n e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx=0[/tex] per ogni [tex]n\in \mathbb{N}[/tex], allora [tex]f \equiv 0[/tex] quasi ovunque.
[/*:m:140bity2]
[*:140bity2]Presa [tex]f[/tex] come al punto precedente, dimostrare che la trasformata di Fourier della funzione [tex]f(x)e^{-\frac{x^2}{2}}[/tex] è una funzione olomorfa intera e calcolarne lo sviluppo in serie di Taylor per [tex]z=0[/tex]. Usare queste informazioni per concludere.[/*:m:140bity2][/list:o:140bity2]

Se a qualcuno dovesse interessare, e se servisse qualche suggerimento, chiedete pure.

[gugo82]

[OT]

Non credo che gli ingegneri siano mediamente in grado di apprezzare.

[/OT]

[j18eos]

Onde evitare di dare qualche indizio, pongo la mia domanda in spoiler.

Sbaglio o c'entrano i polinomi di Hermite?

[dissonance]

Quelli costituiscono un passo successivo. Una volta mostrato che $M$ è denso, puoi servirti di questo per dimostrare che il sistema dei polinomi di Hermite è ortonormale completo in $L^2(RR, e^{-(x^2)/2}dx)$.