Tdn: un classico

[maurer]

Almeno, credo che sia un classico.

Calcolare esplicitamente
[tex]p(n) = \displaystyle \sum \frac{1}{xy}[/tex]
dove la somma è estesa a tutte le coppie di interi positivi [tex](x,y)[/tex] tali che [tex]MCD(x,y) = 1[/tex], [tex]x \le n[/tex], [tex]y \le n[/tex] e [tex]x + y > n[/tex].

[And_And92]

dovrebbe fare sempre $1/2$. Io lo dimostrerei per induzione

[maurer]

Ho modificato. Adesso il risultato dovrebbe sempre essere 1. Non che cambi molto, comunque, visto che la condizione [tex]\text{MCD}(x,y) = 1[/tex] esclude le coppie [tex](x,x)[/tex]. Se aggiungi la condizione [tex]x < y[/tex] viene [tex]\frac{1}{2}[/tex].

E l'induzione va benissimo, ma dovresti esibire una prova!

[And_And92]

Allora, temo di non avere le conoscenze per concludere la dimostrazione.
Comunque, diciamo così cambierò la proposizione da dimostrare.
la tesi è
$p(n)=sum 1/(xy)=1/2$ con le condizioni $MCD(x,y)=1$, $WLOG xn$, $x<=n$, $y<=n$
Procediamo per induzione.
se n=2
$sum 1/(xy)=1/(1*2)=1/2$
Il primo passo induttivo è andato,
Ora supponiamo che la tesi valga per $n$, allora:
$p(n)=sum 1/(xy)=1/2$ $[1]$
e allora possiamo scrivere dalla $[1]$
$p(n+1)=p(n)-sum_c 1/(xy)+sum_c 1/(h(n+1))$ $[2]$ dove con il simbolo $sum_c ab$ indico che $a$ e $b$ devono essere coprimi, mi perdonerete questa simbologia e con $x+y=n+1$.
allora, la $[2]$ si può riscrivere come:
$p(n+1)=p(n)-sum_c 1/(xy)+1/(n+1)sum_c 1/h$
Ora basta dimostrare che
$sum_c 1/(xy)=1/(n+1)sum_c 1/h$
temo però di non avere idee per concludere la dimostrazione.
Se avete dei dubbi sulla simbologia, chiedete pure, perchè non conoscendo la notazione classica, essendo ancora liceale per ancora una settimana e mezza, potrei non essermi spiegato bene

[maurer]

Sì, ma infatti questo è un problema pensato per gli allenamenti per le olimpiadi di matematica. Quindi il livello liceale è più che sufficiente.

Molto bene, direi che l'idea iniziale è più che corretta.
Hai provato ad osservare che nel membro sinistro dell'ultima equazione che hai scritto vale la condizione [tex]x+y = n+1[/tex], cioè [tex]x = n+1 - y[/tex]? Magari eliminare un'incognita può aiutarti!

[maurer]

Ti do un hint:

Quali sono gli [tex]x[/tex] che soddisfano [tex]\text{MCD}(x,k-x) = 1[/tex]? (naturalmente per [tex]1 \le x \le k[/tex])

[And_And92]

Humm... allora sto sbagliando qualcosa.. come ha suggerito maurer ho posto $y=n+1-x$ allora per ipotesi
$MCD(x,n+1-x)=1$ allora $x$ deve essere coprimo ad $n+1$ eccellente:
allora poichè ho chiamato h i coprimi ad $n+1$

$sum_c 1/(h(n+1-h))=1/(n+1)sum_c 1/h$ che è falsa. Domani ci ripenso perchè prima devo finire la tesina per l'orale... se qualcun altro conclude la dimostrazione avrà la mia benedizione

EDIT: @maurer: quando hai scritto di esplicitare mi sono accorto subito di quanto fare filosofia mi faccia male... mi rintrona scherzo ovviamente.

[maurer]

"And_And92":Humm... allora sto sbagliando qualcosa.. come ha suggerito maurer ho posto $y=n+1-x$ allora per ipotesi
$MCD(x,n+1-x)=1$ allora $x$ deve essere coprimo ad $n+1$ eccellente:
allora poichè ho chiamato h i coprimi ad $n+1$

$sum_c 1/(h(n+1-h))=1/(n+1)sum_c 1/h$ che è falsa.

Beh, perché mai dici che è falsa?? Ricorda che hai ancora imposto la condizione [tex]h < n + 1 - h[/tex], ossia [tex]h < \left\lfloor \frac{n+1}{2} \right\rfloor[/tex].

"And_And92":
EDIT: @maurer: quando hai scritto di esplicitare mi sono accorto subito di quanto fare filosofia mi faccia male... mi rintrona scherzo ovviamente.

Ti capisco... ci sono passato anch'io! Ma per fortuna è tutto finito adesso e posso dedicare alla matematica tutto il tempo che voglio!

[OT] Pensi di iscriverti a matematica l'anno prossimo?[/OT]

P.S. In bocca al lupo per la terza prova!

[And_And92]

Ecco la soluzione, la pubblico rieditando perchè è la terza volta che riscrivo tutto per motivi vari....
dopo la terza prova e alcuni giorni di couch potato, ho deciso di scrivere finalmente la soluzione, che avevo su un foglio, ma che non avevo voglia di riportare comunque:

Riscrivo brevemente ciò che devo dimostrare:
$sum_c 1/xy=sum_c 1/((n+1)h)$
dove $MCD(x,y)=1$, $MCD(h,n+1)=1$, $WLOG$ $x Scriviamo, dalle ipotesi:
$sum_c 1/(x(n+1-x))=1/(n+1)sum_c 1/h$
Perchè come Maurer ha ben fatto notare: $y=n+1-x$ e $x<[(n+1)/2]$
Quindi scritta così la tesi non è molto piacevole, cerchiamo di riscriverla in maniera più conveniente:

$1/(x(n+1-x))=A/(n+1-x)+B/x=(A(n+1-x)+Bx)/(x(n+1-x))=((B-A)x+A(n+1))/(x(n+1-x))$

Confrontando il primo e ultimo termine della catena di uguaglianze si ottiene il sistema:

${ (B-A=0),(A(n+1)=1) :}$
${ (B=A),(A=1/(n+1)) :}$

Quindi:
$sum_c 1/(x(n+1-x))=sum_(x<[(n+1)/2]) 1/(x(n+1))+sum_(x<[(n+1)/2]) 1/((n+1-x)(n+1))$
$sum_(x<[(n+1)/2]) 1/(x(n+1))+sum_(x<[(n+1)/2]) 1/((n+1-x)(n+1))=1/(n+1)sum_c 1/h$
Semplificando:
$sum_(x<[(n+1)/2]) 1/x+sum_(x<[(n+1)/2]) 1/(n+1-x)=sum_c 1/h$
$sum_(x<[(n+1)/2]) 1/x+sum_(y>[(n+1)/2]) 1/y=sum_c 1/h$ C.V.D.

@maurer: Grazie per l'in bocca al llupo, che per fortuna è crepato ormai.... comunque, sis ho intenzione di iscrivermi a matematica, vediamo dove... va da Padova, Pisa o eventualmente Trieste.... dipende in che scuola superiore riesco ad entrare (spero fortemente nella galileiana, perchè sono da Treviso... )