[EX] Un problema da... massaie improvvisate

[gugo82]

Questo è un esercizio per tutti, dal terzo anno del liceo in sù.
Non ho ancora riflettuto sulla soluzione, quindi il problema è aperto per ora.

***

Esercizio:

Aspettando il bus alla fermata, alziamo il naso verso il palazzo di fronte e scorgiamo, su un balcone, una massaia che stende un asciugamano rettangolare ad asciugare sul un filo.

Evidentemente, una massaia seria, una di quelle precisine, stenderebbe l'asciugamano facendo passare esattamente il filo lungo l'asse dei lati maggiori: in tal modo l'asciugamano steso risulterebbe tagliato esattamente a metà dal filo (che supponiamo di spessore trascurabile), con ognuna delle metà che si sovrappone perfettamente all'altra, sicché l'area delle due parti sovrapposte coinciderebbe con tutta l'area del rettangolo.

Però la nostra, invece d'essere una massaia seria, è una di quelle massaie improvvisate, non troppo precise (come un uomo che fa i servizi in casa, insomma! ).
Infatti la nostra stende l'asciugamano sul filo riuscendo a far passare il filo per il centro del rettangolo, tuttavia non riesce ad adagiare il filo lungo l'asse dei lati lunghi!
In tal modo, il filo taglia il rettangolo in due trapezi (rettangoli, ovviamente) congruenti, che però non si sovrappongono interamente quando l'asciugamano risulta sospeso all'aria, lasciando scoperti dei triangolini laterali (vedi figura seguente: l'area delle parti sovrapposte è il doppio di quella evidenziata in giallino).
[asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=1;ymax=6;
noaxes();
line([-1,5],[6,5]);
stroke="red"; path([[1,5],[0.3,2.9],[3,2],[4,5]]);
stroke="blue"; path([[4,5],[4.7,2.9],[2,2],[1,5]]);
stroke="none"; fill="lightyellow"; path([[4,5],[3.125,2.375],[2.5,2.16],[1.875,2.375],[1,5]]);[/asvg]

Il problema è il seguente: supponendo che l'asciugamano abbia lati di lunghezza [tex]$0

Suggerimenti: Senza ledere la generalità si può supporre che uno dei lati, ad esempio quello corto, abbia lunghezza unitaria e l'altro lunghezza [tex]$a>1$[/tex] assegnata; infatti, nel caso generale, basterà riscalare il rettangolo con un'omotetia di rapporto [tex]$l$[/tex] per ricondursi al caso ora menzionato con [tex]$a=\tfrac{L}{l}$[/tex].
Risolto il problema nel caso particolare, basta sostituire [tex]$a=\tfrac{L}{l}$[/tex] e moltiplicare l'area minima e massima per [tex]$l^2$[/tex] (perchè le aree delle figure piane scalano con il quadrato del rapporto d'omotetia).
Inoltre si può pensare di usare come variabile l'ampiezza dell'angolo [tex]$x$[/tex] formato dal filo con l'asse minore del rettangolo; fatto ciò, data la simmetria del problema, ci si può restringere al considerare [tex]$x\in [0,\tfrac{\pi}{2}]$[/tex].

Suggerimenti grafici: Disegnamo il rettangolo e la circonferenza in cui esso è inscritto:
[asvg]noaxes();
stroke="red"; rect([-3,-4],[3,4]);
stroke="lightgrey"; circle([0,0],5);[/asvg]
Detto [tex]$x$[/tex] l'angolo che il filo forma con l'asse minore del rettangolo, per ottenere la figura che corrisponde alle parti sovrapposte dell'asciugamano basta simmetrizzare il rettangolo rispetto alla linea nera che rappresenta il filo:
[asvg]noaxes();
stroke="red"; rect([-3,-4],[3,4]);
stroke="blue"; path([[1.86,4.64],[-3.93,3.09],[-1.86,-4.64],[3.93,-3.09],[1.86,4.64]]);
stroke="lightgrey"; circle([0,0],5); line([-6,0],[6,0]);
stroke="black"; line([5.95,0.78],[-5.95,-0.78]);
stroke="green"; marker="dot"; arc([5,0],[4.957,0.65],5); text([5.2,0.4],"x",right);
stroke="lightgreen"; marker="arrow"; line([3,4],[3.93,-3.09]); line([-3,4],[-1.86,-4.64]); line([-3,-4],[-3.93,3.09]); line([3,-4],[1.86,4.64]);[/asvg]
Fatto ciò è evidente che l'area della figura si ottiene moltiplicando per [tex]$4$[/tex] l'area del quadrilatero [tex]$\text{OLMN}$[/tex] evidenziato nel disegno che segue:
[asvg]noaxes();
text([0,0],"O",belowleft); text([3,0.395],"L",aboveright); text([2.034,4],"M",aboveright); text([-0.526,4],"N",aboveleft);
stroke="red"; rect([-3,-4],[3,4]);
stroke="blue"; path([[1.86,4.64],[-3.93,3.09],[-1.86,-4.64],[3.93,-3.09],[1.86,4.64]]);
stroke="lightgrey"; circle([0,0],5); line([-6,0],[6,0]); stroke="orange"; line([-0.78,5.95],[0.78,-5.95]); line([5.95,0.78],[-5.95,-0.78]);
fill="lightyellow"; path([[0,0],[3,0.395],[2.034,4],[-0.526,4],[0,0]]);[/asvg]
Dal disegno si evince che, per [tex]$x$[/tex] piccoli (ossia compresi tra [tex]$0$[/tex] e l'angolo [tex]$\vartheta$[/tex] che la diagonale del rettangolo forma con l'asse minore del rettangolo) la figura è un ottagono irregolare; però non appena [tex]$x=\vartheta$[/tex] si trova:
[asvg]noaxes();
stroke="red"; rect([-3,-4],[3,4]);
stroke="blue"; path([[-3,-4],[-4.68,1.76],[3,4],[4.68,-1.76],[-3,-4]]);
stroke="lightgrey"; circle([0,0],5); line([-6,0],[6,0]);
stroke="black"; line([-5,-6.66],[5,6.66]);
stroke="green"; marker="dot"; arc([5,0],[3,4],5); text([5,2.5],"x",right);[/asvg]
cosicché la figura di cui si cerca l'area è il rombo la cui quarta parte è evidenziata nella figura seguente:
[asvg]noaxes();
stroke="red"; rect([-3,-4],[3,4]);
fill="lightyellow"; path([[3,4],[0,0],[-3,2.25],[3,4]]);
fill="none";
stroke="blue"; path([[-3,-4],[-4.68,1.76],[3,4],[4.68,-1.76],[-3,-4]]);
stroke="lightgrey"; circle([0,0],5); line([-6,0],[6,0]);
stroke="orange"; line([-5,-6.66],[5,6.66]); line([-6.66,5],[6.66,-5]);[/asvg]
Se, infine, [tex]$x$[/tex] è maggiore di [tex]$\theta$[/tex] ma minore di [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex] si ottengono nuovamente degli ottagoni irregolari.

***

Ovviamente è consentito ai laureati in Fisica ed Ingegneria di arrivare alla soluzione anche in modo "empirico"; però sono invitati a presentare i risultati dei loro esperimenti!

[miniBill]

è più difficile del previsto
sembra sia possibile risolverlo (dopo un'opportuna parametrizzazione) con solo Pitagora
ma vengono un BOTTO di conti

comunque, regalino: un file di Kig che disegna il coso parametrizzato
(provate a spostare i punti verdi e rossi)
http://minibill.users.anapnea.net/file/stendino.kig