[Analisi] Un'equazione trascendente

[Richard_Dedekind]

Vi propongo questo piccolissimo esercizio che si risolve tranquillamente con le conoscenze di Analisi I. Non è chissà che, ma lo trovo piacevole.
Sia [tex]f\in C(0,+\infty )[/tex] con le proprietà che

[tex]\displaystyle{ \underset{x\to 0^+} \lim xf(x) = -\infty,\;\;\;\;\;\; \underset{x\to +\infty} \lim \frac {f(x)}{x} = +\infty }[/tex]

Dimostrare che l'equazione [tex]f(x)=\log (x)[/tex] ammette almeno una soluzione in [tex](0,+\infty)[/tex].

[Lemniscata1]

Boh, ci provo, sperando di non dire grosse sciocchezze.

Intanto l'equazione proposta si può scrivere come [tex]$f(x)-\log(x)=0$[/tex], e il primo membro è una funzione continua sull'intervallo [tex](0,+\infty)[/tex], viene quindi voglia di applicare il teorema di esistenza degli zeri. Per far questo noto che essendo [tex]\lim_{x \to 0^+}{xf(x)}=-\infty[/tex] per ipotesi, e dato che [tex]\lim_{x \to 0^+}{x\log(x)}=0[/tex], si ha [tex]\lim_{x \to 0^+}{xf(x)-x\log(x)}=-\infty[/tex], da cui per la permanenza del segno in un intorno destro di zero [tex]xf(x)-x\log(x)\lneq 0[/tex], da cui [tex]f(x)-\log(x)\lneq 0[/tex] per [tex]x \in (0,\delta)[/tex] con [tex]\delta[/tex] opportunamente piccolo. Similmente poiché per ipotesi [tex]\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=+\infty[/tex] e [tex]\lim_{x \to +\infty}{\frac{\log(x)}{x}}=0[/tex], si ha [tex]\lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x)-\log(x)}{x}}=+\infty[/tex], da cui per la permanenza del segno per [tex]x[/tex] positivo abbastanza grande [tex]\frac{f(x)-\log(x)}{x} \gneq 0[/tex], da cui [tex]f(x)-\log(x) \gneq 0[/tex] per [tex]x[/tex] positivo abbastanza grande.

Dunque la funzione continua [tex]f-\log[/tex] assume valori di ambo i segni nell'intervallo [tex](0,+\infty)[/tex], pertanto per il teorema di esistenza degli zeri si ha il risultato.

Dite se ho scritto stupidaggini.

[j18eos]

Esercizio carino!

@Lemniscata Se puoi mettere in spoiler la tua soluzione, così da indurre altri a risolverlo.