Stime
Ammetto di non essere riuscito a risolverlo, voglio comunque proporlo a voi.
"Sia $f:RR\to RR$ una funzione derivabile due volte e supponiamo che esistano due costanti positive $M_0, M_2$ tali che $|f(x)|<=M_0$ e $|f''(x)|<=M_2$ per ogni $x\in RR$.
Allora $|f'(x)<=2\sqrt{M_0M_2}$."
"Sia $f:RR\to RR$ una funzione derivabile due volte e supponiamo che esistano due costanti positive $M_0, M_2$ tali che $|f(x)|<=M_0$ e $|f''(x)|<=M_2$ per ogni $x\in RR$.
Allora $|f'(x)<=2\sqrt{M_0M_2}$."
Risposte
Mi ricorda un esercizio che ho fatto tanto tempo fa.
Lemma. Sia [tex]f : \mathbb R \to \mathbb R[/tex] positiva e derivabile due volte con [tex]f''(x) \le M[/tex], [tex]M > 0[/tex], [tex]\forall x \in \mathbb R[/tex]. Allora per ogni [tex]x \in \mathbb R[/tex] si ha [tex]|f'(x)| < \sqrt{2 M f(x)}[/tex].
Proof. Utilizziamo lo sviluppo di Taylor al secondo ordine: [tex]f(x+h) = f(x) + f'(x) h + \frac{f''(\xi)}{2!} h^2[/tex] e quindi per ogni [tex]h \in \mathbb R[/tex] si ha [tex]0 \le f(x+h) \le f(x) + f'(x) h + \frac{M}{2} h^2[/tex], da cui [tex][f'(x)]^2 - 2Mf(x) < 0[/tex], ossia [tex]|f'(x)| < \sqrt{2 M f(x)}[/tex]. [tex]\square[/tex]
Questo conclude il tuo esercizio, dando una stima peraltro migliore, sotto l'ulteriore ipotesi che la funzione sia sempre positiva.
Nel caso generale, abbiamo l'ipotesi [tex]|f(x)| \le M_0[/tex] per ogni [tex]x \in \mathbb R[/tex]. Pertanto [tex]g(x) = f(x) + M_0[/tex] è derivabile due volte ed è sempre positiva. Inoltre [tex]g'(x) = f'(x)[/tex], sicché il lemma implica [tex]|f'(x)| = |g'(x)| < \sqrt{2 M_2 g(x)} = \sqrt{2 M_2 (M_0 + f(x))} \le \sqrt{4 M_0 M_2} = 2 \sqrt{M_0 M_2}[/tex].
Inutile dire che si possono indebolire le ipotesi. Se al posto della condizione [tex]|f(x)| \le M_0[/tex] sostituiamo [tex]f(x) \ge M_0[/tex] con [tex]M_0 \in \mathbb R[/tex] costante arbitraria allora otteniamo [tex]|f'(x)| \le \sqrt{2 M_2 (f(x) - M_0)}[/tex], valida anche se la funzione è illimitata superiormente.
Infine, mi sembra proprio di aver dimostrato la disuguaglianza stretta...
P.S. Eccolo! Beh, in effetti, non l'avevo risolto, all'epoca...
Però ho imparato la lezione, se non altro!
Lemma. Sia [tex]f : \mathbb R \to \mathbb R[/tex] positiva e derivabile due volte con [tex]f''(x) \le M[/tex], [tex]M > 0[/tex], [tex]\forall x \in \mathbb R[/tex]. Allora per ogni [tex]x \in \mathbb R[/tex] si ha [tex]|f'(x)| < \sqrt{2 M f(x)}[/tex].
Proof. Utilizziamo lo sviluppo di Taylor al secondo ordine: [tex]f(x+h) = f(x) + f'(x) h + \frac{f''(\xi)}{2!} h^2[/tex] e quindi per ogni [tex]h \in \mathbb R[/tex] si ha [tex]0 \le f(x+h) \le f(x) + f'(x) h + \frac{M}{2} h^2[/tex], da cui [tex][f'(x)]^2 - 2Mf(x) < 0[/tex], ossia [tex]|f'(x)| < \sqrt{2 M f(x)}[/tex]. [tex]\square[/tex]
Questo conclude il tuo esercizio, dando una stima peraltro migliore, sotto l'ulteriore ipotesi che la funzione sia sempre positiva.
Nel caso generale, abbiamo l'ipotesi [tex]|f(x)| \le M_0[/tex] per ogni [tex]x \in \mathbb R[/tex]. Pertanto [tex]g(x) = f(x) + M_0[/tex] è derivabile due volte ed è sempre positiva. Inoltre [tex]g'(x) = f'(x)[/tex], sicché il lemma implica [tex]|f'(x)| = |g'(x)| < \sqrt{2 M_2 g(x)} = \sqrt{2 M_2 (M_0 + f(x))} \le \sqrt{4 M_0 M_2} = 2 \sqrt{M_0 M_2}[/tex].
Inutile dire che si possono indebolire le ipotesi. Se al posto della condizione [tex]|f(x)| \le M_0[/tex] sostituiamo [tex]f(x) \ge M_0[/tex] con [tex]M_0 \in \mathbb R[/tex] costante arbitraria allora otteniamo [tex]|f'(x)| \le \sqrt{2 M_2 (f(x) - M_0)}[/tex], valida anche se la funzione è illimitata superiormente.
Infine, mi sembra proprio di aver dimostrato la disuguaglianza stretta...
P.S. Eccolo! Beh, in effetti, non l'avevo risolto, all'epoca...
Però ho imparato la lezione, se non altro!
M'era sfuggita questa discussione! Un approccio alternativo a quello (molto interessante) di maurer avevo seguito qui:
http://math.stackexchange.com/questions ... 4538#44538
http://math.stackexchange.com/questions ... 4538#44538
Noto che la disuguaglianza proposta da fu^2 si può scrivere al seguente modo:
[tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq 2\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex].
Prendiamo [tex]$f(x):=\arctan x$[/tex]; evidentemente [tex]$f(x)$[/tex] soddisfa le ipotesi del teorema e risulta:
[tex]$f^\prime (x)=\frac{1}{1+x^2}$[/tex] ed [tex]$f^{\prime \prime}(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$[/tex]
cosicché:
[tex]$\lVert f \rVert_\infty =\frac{\pi}{2}$[/tex], [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty = f^\prime (0)=1$[/tex] e [tex]$\lVert f^{\prime \prime }\rVert_\infty =f^{\prime \prime} (-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) =\frac{3\sqrt{3}}{8}$[/tex];
conseguentemente:
(*) [tex]$\frac{\lVert f^\prime\rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}} = \frac{4}{\ \sqrt{3\pi \sqrt{3}\ }\ } \approx 0.99002<2$[/tex]
e di qui la fatidica domanda:
Ovviamente, stante la (*), la migliore costante ha da essere [tex]$\leq 0.99002$[/tex].
Visto che siamo scesi già troppo sotto il valore "rozzo" [tex]$2$[/tex], è lecito pensare si possa scendere ancora di più.
Prendiamo la funzione [tex]$f(x):=e^{-x^2}$[/tex]: abbiamo:
[tex]$f^\prime(x)=-2x\ f(x)$[/tex] e [tex]$f^{\prime \prime }(x) =2(2x^2-1)\ f(x)$[/tex]
sicché si calcola:
[tex]$\lVert f\rVert_\infty =1$[/tex], [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty =f^\prime (-\tfrac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}\ e^{-\frac{1}{2}}$[/tex] e [tex]$\lVert f^{\prime \prime }\rVert_\infty = |f_n^{\prime \prime} (0)|=2$[/tex]
quindi:
[tex]$\frac{\lVert f^\prime\rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}} = e^{-\frac{1}{2}}\approx 0.606531$[/tex]
e la nostra costante migliore deve essere necessariamente [tex]$\leq e^{-\frac{1}{2}}$[/tex]...
Idee?
[tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq 2\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex].
Prendiamo [tex]$f(x):=\arctan x$[/tex]; evidentemente [tex]$f(x)$[/tex] soddisfa le ipotesi del teorema e risulta:
[tex]$f^\prime (x)=\frac{1}{1+x^2}$[/tex] ed [tex]$f^{\prime \prime}(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$[/tex]
cosicché:
[tex]$\lVert f \rVert_\infty =\frac{\pi}{2}$[/tex], [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty = f^\prime (0)=1$[/tex] e [tex]$\lVert f^{\prime \prime }\rVert_\infty =f^{\prime \prime} (-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) =\frac{3\sqrt{3}}{8}$[/tex];
conseguentemente:
(*) [tex]$\frac{\lVert f^\prime\rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}} = \frac{4}{\ \sqrt{3\pi \sqrt{3}\ }\ } \approx 0.99002<2$[/tex]
e di qui la fatidica domanda:
Qual è la migliore costante nella disuguaglianza [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq C\ \sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex]?
Ovviamente, stante la (*), la migliore costante ha da essere [tex]$\leq 0.99002$[/tex].
Visto che siamo scesi già troppo sotto il valore "rozzo" [tex]$2$[/tex], è lecito pensare si possa scendere ancora di più.
Prendiamo la funzione [tex]$f(x):=e^{-x^2}$[/tex]: abbiamo:
[tex]$f^\prime(x)=-2x\ f(x)$[/tex] e [tex]$f^{\prime \prime }(x) =2(2x^2-1)\ f(x)$[/tex]
sicché si calcola:
[tex]$\lVert f\rVert_\infty =1$[/tex], [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty =f^\prime (-\tfrac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}\ e^{-\frac{1}{2}}$[/tex] e [tex]$\lVert f^{\prime \prime }\rVert_\infty = |f_n^{\prime \prime} (0)|=2$[/tex]
quindi:
[tex]$\frac{\lVert f^\prime\rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}} = e^{-\frac{1}{2}}\approx 0.606531$[/tex]
e la nostra costante migliore deve essere necessariamente [tex]$\leq e^{-\frac{1}{2}}$[/tex]...
Idee?
@gugo:
Non ho ben capito, forse mi è sfuggito qualcosa.
Dai tuoi conti segue che $C\ge 0.99002$ e analogamente nell'altro caso.
A meno che tu non voglia minimizzare il rapporto in (*) nella classe delle funzioni $f\in W^{1,2}$ con [tex]\|f''\|_{\infty} > 0[/tex].
Ma in tal caso le traslazioni $f\mapsto f+c$ mostrano che l'inf vale $0$:
Non ho ben capito, forse mi è sfuggito qualcosa.
Dai tuoi conti segue che $C\ge 0.99002$ e analogamente nell'altro caso.
A meno che tu non voglia minimizzare il rapporto in (*) nella classe delle funzioni $f\in W^{1,2}$ con [tex]\|f''\|_{\infty} > 0[/tex].
Ma in tal caso le traslazioni $f\mapsto f+c$ mostrano che l'inf vale $0$:
@Rigel: In effetti proponevo di minimizzare... E però, dopo aver scartato i riscalamenti (che non sono "visti" da quel rapporto), non mi sono accorto che si potevano ancora fare delle traslazioni che tiravano giù tutto!
Allora, mettiamo il vincolo che non sia possibile fare traslazioni... Ad esempio, se prendiamo il problema di minimo per il quoziente [tex]$\mathcal{R}[f]:=\tfrac{\lVert f^\prime \rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f \rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}}$[/tex] in [tex]$W_0^{2,\infty} (\mathbb{R})$[/tex] (o anche in [tex]$W_0^{2,\infty} (I)$[/tex], con [tex]$I$[/tex] intervallo limitato), che possiamo dire?
Ovviamente, se esiste non nullo lo [tex]$\inf \mathcal{R}[f]$[/tex] sarà la migliore costante nella disuguaglianza di fu^2... Ma siamo sicuri che non arriviamo a [tex]$0$[/tex]?
Allora, mettiamo il vincolo che non sia possibile fare traslazioni... Ad esempio, se prendiamo il problema di minimo per il quoziente [tex]$\mathcal{R}[f]:=\tfrac{\lVert f^\prime \rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f \rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}}$[/tex] in [tex]$W_0^{2,\infty} (\mathbb{R})$[/tex] (o anche in [tex]$W_0^{2,\infty} (I)$[/tex], con [tex]$I$[/tex] intervallo limitato), che possiamo dire?
Ovviamente, se esiste non nullo lo [tex]$\inf \mathcal{R}[f]$[/tex] sarà la migliore costante nella disuguaglianza di fu^2... Ma siamo sicuri che non arriviamo a [tex]$0$[/tex]?
Solo una informazione. Non so come si possa dimostrare, ho provato ad attaccare il problema ma senza giungere a qualcosa di interessante. La migliore costante che realizza la disuguaglianza è [[metto in spoiler]]
Minima correzione alla bellissima soluzione di maurer:
Io credo sia [tex]|f'(x)|\le \sqrt{2M f(x)}[/tex] e non minore stretto, potresti controllare?
. Un ulteriore richiesta, un esercizio come quello proposto da gugo fa parte di una teoria generale? Se si, potreste suggerirmi qualche testo? Mille grazie.Minima correzione alla bellissima soluzione di maurer:
Io credo sia [tex]|f'(x)|\le \sqrt{2M f(x)}[/tex] e non minore stretto, potresti controllare?
@Mathematico: Azz... Non avevo fatto ricerche in merito.
Ora che torno a casa (se ci riesco, vedi qui) faccio qualche ricerca bibliografica e vi informo.
Tuttavia, date le considerazioni di Righello sulle traslazioni, mi pare difficile che nel lavoro di Hadamard non sia imposta alcuna restrizione per evitare che l'insieme descritto dai rapporti [tex]\frac{\lVert f^\prime \rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f \rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}}[/tex] abbia estremo inferiore nullo...
Come detto, per non far diventare nullo lo [tex]\inf \mathcal{R}[f][/tex] o si impone una restrizione al comportamento all'infinito, oppure si fissa il valore in un punto, ovvero si fissa un valore per la media integrale, o si impone qualche altro vincolo che impedisca le traslazioni in [tex]$f$[/tex].
Ora che torno a casa (se ci riesco, vedi qui) faccio qualche ricerca bibliografica e vi informo.
Tuttavia, date le considerazioni di Righello sulle traslazioni, mi pare difficile che nel lavoro di Hadamard non sia imposta alcuna restrizione per evitare che l'insieme descritto dai rapporti [tex]\frac{\lVert f^\prime \rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f \rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}}[/tex] abbia estremo inferiore nullo...
Come detto, per non far diventare nullo lo [tex]\inf \mathcal{R}[f][/tex] o si impone una restrizione al comportamento all'infinito, oppure si fissa il valore in un punto, ovvero si fissa un valore per la media integrale, o si impone qualche altro vincolo che impedisca le traslazioni in [tex]$f$[/tex].
Secondo me, per miglior costante nella citazione di Mathematico si intende l'estremo superiore del rapporto in questione.
Se recuperi il lavoro di Hadamard dacci lumi sulla questione.
Se recuperi il lavoro di Hadamard dacci lumi sulla questione.
@Rigel: Hai perfettamente ragione.
Purtroppo nei giorni scorsi ho postato senza pensare e se ne sono viste le conseguenze. L'abitudine a trattare i problemi di migliore costante come problemi di minimo ha preso il sopravvento sul ragionamento, quindi non mi ero accorto che la costante stava dal "lato sbagliato" della disuguaglianza.
***
Spiego in due parole il mio errore.
La disuguaglianza di fu^2:
[tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq 2\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex]
valida per ogni [tex]$f$[/tex] tale che [tex]$f,f^{\prime \prime}\in L^\infty$[/tex] mostra che esistono costanti [tex]$c>0$[/tex] tali che per ogni [tex]$f\in\mathfrak{L}:=\{ f:\ f,f^{\prime \prime}\in L^\infty\}$[/tex] risulta:
(*) [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq c\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex];
inoltre è evidente che se la (*) vale per un valore [tex]$c_0$[/tex] allora essa vale per ogni [tex]$c\geq c_0$[/tex]. Conseguentemente, una volta dimostrata la disuguaglianza (*), ci si può chiedere quale sia la più piccola costante che la rende vera: un problema del genere si risolve determinando il valore [tex]$C:=\inf \{ c>0:\ \text{(*) è vera per la costante } c\}$[/tex], però questo problema di minimo non è risolvibile in maniera comoda.
Allora si preferisce impostare il problema della costante migliore come segue: se [tex]$C$[/tex] esiste, allora l'insieme descritto dai rapporti:
[tex]$\mathcal{R}[f]:=\tfrac{\lVert f^\prime \rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f \rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}}$[/tex]
al variare di [tex]$f\in \mathfrak{L}$[/tex] ha [tex]$C$[/tex] come estremo superiore; viceversa se esiste finito il [tex]$\sup_{f\in \mathfrak{L}} \mathcal{R}[f]$[/tex], allora esso è necessariamente la più piccola costante nella (*).
Pertanto il problema della migliore costante in (*) equivale al problema di determinare l'estremo superiore dei rapporti [tex]$\mathcal{R}[f]$[/tex] al variare di [tex]$f\in \mathfrak{L}$[/tex].
Nei precedenti post ho confuso l'estremo superiore con l'estremo inferiore, ecco tutto.
Purtroppo nei giorni scorsi ho postato senza pensare e se ne sono viste le conseguenze. L'abitudine a trattare i problemi di migliore costante come problemi di minimo ha preso il sopravvento sul ragionamento, quindi non mi ero accorto che la costante stava dal "lato sbagliato" della disuguaglianza.
***
Spiego in due parole il mio errore.
La disuguaglianza di fu^2:
[tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq 2\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex]
valida per ogni [tex]$f$[/tex] tale che [tex]$f,f^{\prime \prime}\in L^\infty$[/tex] mostra che esistono costanti [tex]$c>0$[/tex] tali che per ogni [tex]$f\in\mathfrak{L}:=\{ f:\ f,f^{\prime \prime}\in L^\infty\}$[/tex] risulta:
(*) [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq c\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex];
inoltre è evidente che se la (*) vale per un valore [tex]$c_0$[/tex] allora essa vale per ogni [tex]$c\geq c_0$[/tex]. Conseguentemente, una volta dimostrata la disuguaglianza (*), ci si può chiedere quale sia la più piccola costante che la rende vera: un problema del genere si risolve determinando il valore [tex]$C:=\inf \{ c>0:\ \text{(*) è vera per la costante } c\}$[/tex], però questo problema di minimo non è risolvibile in maniera comoda.
Allora si preferisce impostare il problema della costante migliore come segue: se [tex]$C$[/tex] esiste, allora l'insieme descritto dai rapporti:
[tex]$\mathcal{R}[f]:=\tfrac{\lVert f^\prime \rVert_\infty}{\sqrt{\lVert f \rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}}$[/tex]
al variare di [tex]$f\in \mathfrak{L}$[/tex] ha [tex]$C$[/tex] come estremo superiore; viceversa se esiste finito il [tex]$\sup_{f\in \mathfrak{L}} \mathcal{R}[f]$[/tex], allora esso è necessariamente la più piccola costante nella (*).
Pertanto il problema della migliore costante in (*) equivale al problema di determinare l'estremo superiore dei rapporti [tex]$\mathcal{R}[f]$[/tex] al variare di [tex]$f\in \mathfrak{L}$[/tex].
Nei precedenti post ho confuso l'estremo superiore con l'estremo inferiore, ecco tutto.
Ho cercato un po' in rete, ma niente da fare: il lavoro di Hadamard proprio non l'ho trovato.
Tuttavia ho dato uno sguardo al libro di Finch, Mathematical Constants, ed al Mitrinović/Pečarić/Fink, Inequalities involving functions and their integrals and derivatives ed sono state delle letture istruttive.
Queste disuguaglianze che coinvolgono norme (di vario genere) delle derivate successive d'una stessa funzione si chiamano disuguaglianze di Landau-Kolmogorov (come suggerito da Mathematico); la generica disuguaglianza di L-K è del tipo:
[tex]$\lVert f^{(k)}\lVert_{p,I} \leq c\ \lVert f\rVert_{p,I}^{1-\frac{k}{n}}\ \lVert f^{(n)}\rVert_{p,I}^{\frac{k}{n}}$[/tex],
ove [tex]$f:I\to \mathbb{E}$[/tex], ed essa, in soldoni, dice che se [tex]$f$[/tex] è derivabile [tex]$n$[/tex] volte e se [tex]$f,f^{(n)}\in L^p(I)$[/tex], allora ogni derivata intermedia [tex]$f^{(k)}$[/tex] (con [tex]$k=1,\ldots ,n-1$[/tex]) è a sua volta in [tex]$L^p(I)$[/tex].
In particolare, la disuguaglianza di fu^2 è quella con [tex]$p=\infty$[/tex], [tex]$I=\mathbb{R}$[/tex], [tex]$n=2$[/tex] e [tex]$k=1$[/tex], ed è proprio una delle prime studiate (da Landau e Hadamard).
Le disuguaglianze L-K sono state abbastanza studiate: dalle cose che ho avuto modo di leggere, c'è differenza tra il caso in cui il problema si consideri in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed il caso in cui lo si consideri in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] e, sotto alcuni aspetti, il caso [tex]$I=]0,+\infty[$[/tex] è un po' più complesso di quello in cui [tex]$I=\mathbb{R}$[/tex].
Infatti in entrambi i casi una disuguaglianza del tipo:
(*) [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq c\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex]
è valida per [tex]$f\in \mathfrak{L}$[/tex] (riprendo la notazione del post precedente), però la migliore costante cambia giacché:
- nel caso in cui [tex]$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$[/tex] la migliore costante è [tex]$C=\sqrt{2}$[/tex] (determinata da Hadamard);
- nel caso in cui [tex]$f:]0,+\infty[\to \mathbb{R}$[/tex] la migliore costante è [tex]$C=2$[/tex] (determinata da Landau).
Nel caso di funzioni definite su tutta la linea reale, la costante [tex]$C=\sqrt{2}$[/tex] si può raggiungere usando la funzione periodica di periodo [tex]$2\pi$[/tex] la cui espressione in [tex]$[0,2\pi]$[/tex] è:
[tex]$\phi_2 (x)=\frac{\pi^2}{2}+\frac{\pi}{2}\ x -\frac{1}{2}\ |x-\pi| (x-\pi)$[/tex];
si vede che la [tex]$\phi_2(x)$[/tex] è la seconda primitiva con media nulla sul periodo della funzione [tex]$\phi_0 (x)=\text{sign} (\sin x)$[/tex] (i.e., si ottiene da [tex]$\phi_0(x)$[/tex] integrando una volta, imponendo la condizione di media nulla alla primitiva, integrando tale primitiva ed imponendo la condizione di media nulla alla primitiva seconda).
[asvg]xmin=-6;xmax=6; ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("-4.9348 + 1.5708*x - 0.5*(-3.14159 + x)*abs(-3.14159 + x)",0,6.283);
plot("-4.9348 + 1.5708*(6.28319 + x) - 0.5*(3.14159 + x)*abs(3.14159 + x)",-6.283,0);[/asvg]
Tale funzione non è derivabile due volte in [tex]$\pi$[/tex] (e quindi in tutti i punti [tex]$k\pi$[/tex] con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]), quindi se non si vuole incappare in questa difficoltà, bisogna scegliere una successione di funzioni derivabili due volte che la approssimi (che si può costruire esplicitamente gioccando un po' con le parabole).
Passati su questa difficoltà minore, troviamo:
[tex]$\lVert \phi_2\rVert_\infty =|\phi_2 (\tfrac{\pi}{2})|=\frac{\pi^2}{8}$[/tex], [tex]$\lVert \phi_2^\prime \rVert_\infty =\phi_2^\prime (\pi) =\frac{\pi}{2}$[/tex] ed [tex]$\lVert \phi_2^{\prime \prime}\rVert_\infty =1$[/tex],
ergo:
[tex]$\mathcal{R}[\phi_2]=\frac{\lVert \phi_2^\prime \rVert_\infty}{\sqrt{\lVert \phi_2 \rVert_\infty\ \lVert \phi_2^{\prime \prime}\rVert_\infty}} = \sqrt{2}$[/tex];
quindi l'unica cosa che manca è dimostrare che [tex]$\mathcal{R}[f]\leq \mathcal{R}[\phi_2]$[/tex].
Tuttavia ho dato uno sguardo al libro di Finch, Mathematical Constants, ed al Mitrinović/Pečarić/Fink, Inequalities involving functions and their integrals and derivatives ed sono state delle letture istruttive.
Queste disuguaglianze che coinvolgono norme (di vario genere) delle derivate successive d'una stessa funzione si chiamano disuguaglianze di Landau-Kolmogorov (come suggerito da Mathematico); la generica disuguaglianza di L-K è del tipo:
[tex]$\lVert f^{(k)}\lVert_{p,I} \leq c\ \lVert f\rVert_{p,I}^{1-\frac{k}{n}}\ \lVert f^{(n)}\rVert_{p,I}^{\frac{k}{n}}$[/tex],
ove [tex]$f:I\to \mathbb{E}$[/tex], ed essa, in soldoni, dice che se [tex]$f$[/tex] è derivabile [tex]$n$[/tex] volte e se [tex]$f,f^{(n)}\in L^p(I)$[/tex], allora ogni derivata intermedia [tex]$f^{(k)}$[/tex] (con [tex]$k=1,\ldots ,n-1$[/tex]) è a sua volta in [tex]$L^p(I)$[/tex].
In particolare, la disuguaglianza di fu^2 è quella con [tex]$p=\infty$[/tex], [tex]$I=\mathbb{R}$[/tex], [tex]$n=2$[/tex] e [tex]$k=1$[/tex], ed è proprio una delle prime studiate (da Landau e Hadamard).
Le disuguaglianze L-K sono state abbastanza studiate: dalle cose che ho avuto modo di leggere, c'è differenza tra il caso in cui il problema si consideri in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed il caso in cui lo si consideri in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] e, sotto alcuni aspetti, il caso [tex]$I=]0,+\infty[$[/tex] è un po' più complesso di quello in cui [tex]$I=\mathbb{R}$[/tex].
Infatti in entrambi i casi una disuguaglianza del tipo:
(*) [tex]$\lVert f^\prime \rVert_\infty \leq c\sqrt{\lVert f\rVert_\infty\ \lVert f^{\prime \prime}\rVert_\infty}$[/tex]
è valida per [tex]$f\in \mathfrak{L}$[/tex] (riprendo la notazione del post precedente), però la migliore costante cambia giacché:
- nel caso in cui [tex]$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$[/tex] la migliore costante è [tex]$C=\sqrt{2}$[/tex] (determinata da Hadamard);
- nel caso in cui [tex]$f:]0,+\infty[\to \mathbb{R}$[/tex] la migliore costante è [tex]$C=2$[/tex] (determinata da Landau).
Nel caso di funzioni definite su tutta la linea reale, la costante [tex]$C=\sqrt{2}$[/tex] si può raggiungere usando la funzione periodica di periodo [tex]$2\pi$[/tex] la cui espressione in [tex]$[0,2\pi]$[/tex] è:
[tex]$\phi_2 (x)=\frac{\pi^2}{2}+\frac{\pi}{2}\ x -\frac{1}{2}\ |x-\pi| (x-\pi)$[/tex];
si vede che la [tex]$\phi_2(x)$[/tex] è la seconda primitiva con media nulla sul periodo della funzione [tex]$\phi_0 (x)=\text{sign} (\sin x)$[/tex] (i.e., si ottiene da [tex]$\phi_0(x)$[/tex] integrando una volta, imponendo la condizione di media nulla alla primitiva, integrando tale primitiva ed imponendo la condizione di media nulla alla primitiva seconda).
[asvg]xmin=-6;xmax=6; ymin=-3;ymax=3;
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plot("-4.9348 + 1.5708*x - 0.5*(-3.14159 + x)*abs(-3.14159 + x)",0,6.283);
plot("-4.9348 + 1.5708*(6.28319 + x) - 0.5*(3.14159 + x)*abs(3.14159 + x)",-6.283,0);[/asvg]
Tale funzione non è derivabile due volte in [tex]$\pi$[/tex] (e quindi in tutti i punti [tex]$k\pi$[/tex] con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]), quindi se non si vuole incappare in questa difficoltà, bisogna scegliere una successione di funzioni derivabili due volte che la approssimi (che si può costruire esplicitamente gioccando un po' con le parabole).
Passati su questa difficoltà minore, troviamo:
[tex]$\lVert \phi_2\rVert_\infty =|\phi_2 (\tfrac{\pi}{2})|=\frac{\pi^2}{8}$[/tex], [tex]$\lVert \phi_2^\prime \rVert_\infty =\phi_2^\prime (\pi) =\frac{\pi}{2}$[/tex] ed [tex]$\lVert \phi_2^{\prime \prime}\rVert_\infty =1$[/tex],
ergo:
[tex]$\mathcal{R}[\phi_2]=\frac{\lVert \phi_2^\prime \rVert_\infty}{\sqrt{\lVert \phi_2 \rVert_\infty\ \lVert \phi_2^{\prime \prime}\rVert_\infty}} = \sqrt{2}$[/tex];
quindi l'unica cosa che manca è dimostrare che [tex]$\mathcal{R}[f]\leq \mathcal{R}[\phi_2]$[/tex].
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