SNS di Pisa 1960/1961 Problema Numero 1
Riporto il testo del Problema Numero 1 del test d'ammissione alla SNS di Pisa del 1960/1961.
In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da $r$, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due, $A, B$, sulla circonferenza, in modo che la somma della base $AB$ e della relativa altezza sia uguale a un dato segmento misurato da $a$, supponendo $a < 2r$.
Questa è la soluzione che ho tentato io.
Sia $O$ il centro della circonferenza e $H$ la sua proiezione su $AB$. Risulta $OH=\sqrt{r^{2}-(\frac{AB}{2})^{2})}$. Deve essere $AB+OH=a$, quindi si ha $AB+\sqrt{r^{2}-(\frac{AB}{2})^{2})}=a$: questa equazione risolta rispetto ad $AB$ ci fornisce la misura di $AB$ in funzione di $a$ che risolve il problema.
Ecco quello che voglio chiedervi.
1) La mia soluzione è molto banale e credo che nella sua banalità funzioni, però resta comunque il problema che della corda $AB$ si determina una misura, mentre a me il problema pare chiedere di tracciare letteralmente il triangolo.
2) Esiste una soluzione sintetica?
In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da $r$, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due, $A, B$, sulla circonferenza, in modo che la somma della base $AB$ e della relativa altezza sia uguale a un dato segmento misurato da $a$, supponendo $a < 2r$.
Questa è la soluzione che ho tentato io.
Sia $O$ il centro della circonferenza e $H$ la sua proiezione su $AB$. Risulta $OH=\sqrt{r^{2}-(\frac{AB}{2})^{2})}$. Deve essere $AB+OH=a$, quindi si ha $AB+\sqrt{r^{2}-(\frac{AB}{2})^{2})}=a$: questa equazione risolta rispetto ad $AB$ ci fornisce la misura di $AB$ in funzione di $a$ che risolve il problema.
Ecco quello che voglio chiedervi.
1) La mia soluzione è molto banale e credo che nella sua banalità funzioni, però resta comunque il problema che della corda $AB$ si determina una misura, mentre a me il problema pare chiedere di tracciare letteralmente il triangolo.
2) Esiste una soluzione sintetica?
Risposte
provando a discutere, senza risolverla, l'equazione da te posta, con la condizione $a<2r$ si dovrebbe ottenere la condizione su $AB$: $AB<6/5 r$.
suppongo sia questa la richiesta: tu in che termini daresti la soluzione?
suppongo sia questa la richiesta: tu in che termini daresti la soluzione?
Ho posto $\frac{AB}{2}=x$, quindi l'equazione che ne viene fuori è $5x^{2}-4ax+a^{2}-r^{2}=0$, da cui $\Delta=20r^{2}-4a^{2}$ e questo garantisce l'esistenza delle soluzioni (poiché $a<2r=>a^{2}<4r^{2}=>4a^{2}<16r^{2}<20r^{2}$); le soluzioni che ho sono allora $x_{1}=\frac{2a+\sqrt{5r^{2}-a^{2}}}{5}$ e, nel caso che $r
Da dove ricavi quel risultato? A me non esce...
Da dove ricavi quel risultato? A me non esce...
con lo stesso $x$. da $2x+sqrt(r^2-x^2)=a -> sqrt(r^2-x^2)=a-2x<2r-2x=2(r-x)$, essendo $a<2r$.
confrontando il primo e l'ultimo membro, si ha la condizione $x
spero di non aver preso cantonate e di essere stata chiara. ciao.
confrontando il primo e l'ultimo membro, si ha la condizione $x
spero di non aver preso cantonate e di essere stata chiara. ciao.
E adesso il prossimo passo qual è?
... il prossimo passo per quale risultato?
se ti riferisci ad $AB<6/5r$ ... mi prendi in giro?
da $AB<6/5r$, si potrebbe trovare facilmente una limitazione sull'angolo $hat(AOB)<2arctg(3/4)$
se ti riferisci ad altro, anch'io ho trovato le due soluzioni, ma non sono andata avanti con la discussione. potresti controllare se è possibile che siano comprese tra 0 e 3/5 r ...
la questione posta da te non era sull'interpretazione del testo e sulla possibilità di trovare soluzioni alternative?
se ti riferisci ad $AB<6/5r$ ... mi prendi in giro?
da $AB<6/5r$, si potrebbe trovare facilmente una limitazione sull'angolo $hat(AOB)<2arctg(3/4)$
se ti riferisci ad altro, anch'io ho trovato le due soluzioni, ma non sono andata avanti con la discussione. potresti controllare se è possibile che siano comprese tra 0 e 3/5 r ...
la questione posta da te non era sull'interpretazione del testo e sulla possibilità di trovare soluzioni alternative?
"adaBTTLS":
... il prossimo passo per quale risultato?
se ti riferisci ad $AB<6/5r$ ... mi prendi in giro?
da $AB<6/5r$, si potrebbe trovare facilmente una limitazione sull'angolo $hat(AOB)<2arctg(3/4)$
se ti riferisci ad altro, anch'io ho trovato le due soluzioni, ma non sono andata avanti con la discussione. potresti controllare se è possibile che siano comprese tra 0 e 3/5 r ...
la questione posta da te non era sull'interpretazione del testo e sulla possibilità di trovare soluzioni alternative?
Non ti prendo in giro, è che veramente mi sto rimbambendo
Allora: io sono partito sparato con l'equazione, ho trovato le due soluzioni $x_{1}$ e $x_{2}$ e credevo che il problema fosse risolto, quindi cercavo una soluzione sintetica. Poi però mi hai fatto notare che ci sono delle limitazioni, quindi credo di dovere rivalutare la soluzione cui ero giunto.
Quindi... posto $(AB)/2=x$ abbiamo la condizione iniziale $a<2r$, poi ricaviamo la condizione aggiuntiva $x<3/5 r$ e da questa si dovrebbe ricavare $a<2/5 r$, sicché la soluzione $x_{2}$ non funge e si resta con la sola $x_{1}$: quindi il problema è risolvibile quando $a<2/5 r < 2r$ e in questo caso la soluzione si ha prendendo una corda $AB$ di lunghezza $x_{1}$. Sei d'accordo?
mi sono persa. perché $a<2/5r$ ?
"adaBTTLS":
mi sono persa. perché $a<2/5r$ ?
Perché ho posto $x_{1}< 3/5 r$ ed è uscito $a<2/5r$, mentre $x_{2}<3/5r$ è uscito impossibile.
considera che la condizione "limite" da non accettare (perché si deve imporre a<2r e non a=2r) sarebbe $AB=6/5 r$, $AH=4/5 r$, con $a=2r$ (vedi anche le terne pitagoriche) e l'angolo $hat(AOB)=2arctg(3/4)$. se non sbaglio, aumentando l'angolo diventa $AB>6/5r$ ed $a>2r$, nonostante un addendo che fornisce $a$ aumenti ed uno diminuisca, mi pare comunque che al contrario, se l'angolo diminuisce, $r
d'altronde io ho impostato l'equazione goniometrica con incognita $x=hat(AOH)$ e con le formule parametriche, con $t=tg(x/2)$, si ha $t_(1,2)=(2r+-sqrt(5r^2-a^2))/(a+r)$, con lo stesso discriminante...
d'altronde io ho impostato l'equazione goniometrica con incognita $x=hat(AOH)$ e con le formule parametriche, con $t=tg(x/2)$, si ha $t_(1,2)=(2r+-sqrt(5r^2-a^2))/(a+r)$, con lo stesso discriminante...
"adaBTTLS":
con la verifica delle soluzioni ho ricavato anch'io $a<2/5r$, ma se pensi al significato geometrico è impossibile.
Perdonami, ma perché è impossibile?
$a$ è base più altezza di un triangolo isoscele di lato $r$.
per la disuguaglianza triangolare metà base più altezza è maggiore di $r$, dunque $a>r$.
i casi limite sono $a=r$ quando la base è ridotta ad un punto; $a=2r$ quando la base è un diametro, ma anche nel triangolo trovato da me nei primi post, quando la base è $6/5r$ e l'altezza $4/5r$, quindi suppongo che per valori della base compresi tra $6/5r$ e $2r$ sia $a>2r$, ma non ho verificato tale disuguaglianza (anche se viene banalmente dalla disuguaglianza di verso opposto a quella che mi ha permesso di ricavare $x<3/5r$), ... , ma, dalle soluzioni trovate per $x$, se si sostituisce $a=r$ si ha base zero oppure $8/5r$, se si sostituisce $a=2r$ si ha base $2r$ oppure $6/5r$.
per la disuguaglianza triangolare metà base più altezza è maggiore di $r$, dunque $a>r$.
i casi limite sono $a=r$ quando la base è ridotta ad un punto; $a=2r$ quando la base è un diametro, ma anche nel triangolo trovato da me nei primi post, quando la base è $6/5r$ e l'altezza $4/5r$, quindi suppongo che per valori della base compresi tra $6/5r$ e $2r$ sia $a>2r$, ma non ho verificato tale disuguaglianza (anche se viene banalmente dalla disuguaglianza di verso opposto a quella che mi ha permesso di ricavare $x<3/5r$), ... , ma, dalle soluzioni trovate per $x$, se si sostituisce $a=r$ si ha base zero oppure $8/5r$, se si sostituisce $a=2r$ si ha base $2r$ oppure $6/5r$.
http://olimpiadi.dm.unibo.it/oliForum/v ... 2a9882daf6
Al link sopra riportato c'è una soluzione proposta sull'OliForum. Oggi non ho proprio tempo, rimando quindi ogni mio commento a domani. La lascio nel caso la volessi vedere.
Al link sopra riportato c'è una soluzione proposta sull'OliForum. Oggi non ho proprio tempo, rimando quindi ogni mio commento a domani. La lascio nel caso la volessi vedere.
grazie. lo vedrò con più calma. per ora non mi pare né che sia in contraddizione con quanto già detto in questo topic, né che fornisca una soluzione "definitiva".
riprendo la discussione per un chiarimento.
quando ho parlato di verifica delle soluzioni che mi ha portato ad $a<2/5r$, peraltro incompatibile con la soluzione geometrica, in realtà sono stata poco precisa:
avevo eseguito rapidamente alcuni conti, mischiando quelli riguardanti le due soluzioni (perché le radici delle equazioni associate coincidevano, ma non coincidevano le soluzioni delle disequazioni).
dunque, per la soluzione maggiore (quella con il "+") si ottiene $a<2/5r vv a>2r$, dunque incompatibile.
per la soluzione minore (quella con il "-") si ha esattamente il contrario ($2/5r
dunque $0
fammi sapere. ciao.
quando ho parlato di verifica delle soluzioni che mi ha portato ad $a<2/5r$, peraltro incompatibile con la soluzione geometrica, in realtà sono stata poco precisa:
avevo eseguito rapidamente alcuni conti, mischiando quelli riguardanti le due soluzioni (perché le radici delle equazioni associate coincidevano, ma non coincidevano le soluzioni delle disequazioni).
dunque, per la soluzione maggiore (quella con il "+") si ottiene $a<2/5r vv a>2r$, dunque incompatibile.
per la soluzione minore (quella con il "-") si ha esattamente il contrario ($2/5r
dunque $0
fammi sapere. ciao.
@adaBTTLS
Ho appena rivisto il contenuto del link all'Oliforum e ho notato che l'autore ha apportato dei cambiamenti. Non mi ci sono soffermato più di tanto e credo che non lo farò nei prossimi giorni: sono alle prese con la preparazione dell'esame di Fisica, ergo credo che limiterò i miei interventi sul forum al minimo. Ho letto anche il tuo ultimo post, ma prima di porre altre domande lo voglio rileggere con calma, quindi credo che ti romperò le scatole non ora ma nei prossimi giorni.
Ho appena rivisto il contenuto del link all'Oliforum e ho notato che l'autore ha apportato dei cambiamenti. Non mi ci sono soffermato più di tanto e credo che non lo farò nei prossimi giorni: sono alle prese con la preparazione dell'esame di Fisica, ergo credo che limiterò i miei interventi sul forum al minimo. Ho letto anche il tuo ultimo post, ma prima di porre altre domande lo voglio rileggere con calma, quindi credo che ti romperò le scatole non ora ma nei prossimi giorni.
meglio così.
io martedì finisco con la scuola e uno dei giorni successivi dovrò andare a "casa" per il sopralluogo con i tecnici della Protezione Civile.
io martedì finisco con la scuola e uno dei giorni successivi dovrò andare a "casa" per il sopralluogo con i tecnici della Protezione Civile.
Beh, in bocca al lupo per il sopralluogo, allora.
grazie... crepi il lupo!
soprattutto in bocca al lupo a te per l'esame di Fisica!
soprattutto in bocca al lupo a te per l'esame di Fisica!
ciao a tutti! Vorrei proporre un metodo diverso usando la trigonometria.
Ho chiamato $\hat{A B O}$ = $\alpha$
quindi OH = $ r cos (\alpha /2) $
AB usando il teorema del coseno o di carnot = $ 2r^2 (1-cos\alpha) $
Quindi :
$ 2r^2 (1-cos\alpha) + r cos (\alpha /2) <2r $
$ 2r (1-cos\alpha) +- sqrt((1+cos\alpha)/2) <2 $
si ha ora una disequazione in cui compare solo l' incognita $cos\alpha$
Si impostano i due sistemi che risolvono il problema:
$ (1+cos\alpha)/2 >= 0 $ $nn$ $2r-2rcos\alpha-2<0$
$2r-2rcos\alpha-2>0$ $nn$ $(1+cos\alpha)/2> (2r-2rcos\alpha-2)^2$
Si ottengono cosi delle limitazioni sull' angolo. Cosa ne pensate di questo procedimento?
Ho chiamato $\hat{A B O}$ = $\alpha$
quindi OH = $ r cos (\alpha /2) $
AB usando il teorema del coseno o di carnot = $ 2r^2 (1-cos\alpha) $
Quindi :
$ 2r^2 (1-cos\alpha) + r cos (\alpha /2) <2r $
$ 2r (1-cos\alpha) +- sqrt((1+cos\alpha)/2) <2 $
si ha ora una disequazione in cui compare solo l' incognita $cos\alpha$
Si impostano i due sistemi che risolvono il problema:
$ (1+cos\alpha)/2 >= 0 $ $nn$ $2r-2rcos\alpha-2<0$
$2r-2rcos\alpha-2>0$ $nn$ $(1+cos\alpha)/2> (2r-2rcos\alpha-2)^2$
Si ottengono cosi delle limitazioni sull' angolo. Cosa ne pensate di questo procedimento?
"G.D.":Forse il testo è stato scritto da un impiegato dell'UCCS (= Ufficio Complicazioni Cose Semplici).
In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da $r$, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due, $A, B$, sulla circonferenza, in modo che la somma della base $AB$ e della relativa altezza sia uguale a un dato segmento misurato da $a$, supponendo $a < 2r$.
Detto 2φ l'angolo al centro sotto il quale è vista la corda AB, si ha:
Dunque φ deve essere tale che risulti:
2sin(φ)+ cos(φ) < 2 (*)
Posto (per comodità) c= cos(φ), dalla (*) segue (mettendo in conto che è c > 0):
4 – 4·c^2 < 4 – 4·c + c^2 ⇔ 5c^2 > 4·c ⇒ c >4/5 ⇔ sin(φ) < 3/5 ⇒ 0 < AB < 1,2·r.
________
Erasmus
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