Cardinalità delle applicazioni bigettive di N in se stesso

[red3]

Calcolare la cardinalità dell’insieme B di tutte le applicazioni bigettive di N-->N

[Studente Anonimo]

Ci provo

Sia \( \mathcal{F} \) l'insieme di tali biiezioni. Sia \( A \subseteq \mathbb{N} \) un sottoinsieme di \(\mathbb{N} \) e denotiamo con \( \mathcal{F}_A := \{ f \in \mathcal{F} : f(a) = a , \forall a \in A \} \). Abbiamo chiaramente che
\[ \mathcal{F} = \coprod_{A \subseteq \mathbb{N} } \mathcal{F}_A \]
Con l'assioma della scelta scegliamo un rappresentante per ogni \( \mathcal{F}_A \) denotato con \(f_A \).
Abbiamo chiaramente che
\[ \coprod_{A \subseteq \mathbb{N} } \{ f_A \} \subseteq \mathcal{F} \]
inoltre esiste un biiezione naturale tra
\[ \varphi : \coprod_{A \subseteq \mathbb{N} } \{ f_A \} \to \mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right) \]
Pertanto abbiamo che
\[ \left| \coprod_{A \subseteq \mathbb{N} } \{ f_A \} \right| = \mathfrak{c} \]
da cui risulta chiaramente che
\[ \mathfrak{c} \leq \left| \mathcal{F} \right| \]

Facciamo l'altra direzione.

Risulta chiaro che date \( f,g \in \mathcal{F}_A \) esiste \(n \in \mathbb{N} \setminus A \) tale che \( f(n) \neq g(n) \). Pertanto abbiamo che
\[ \phi : \mathcal{F}_A \to \mathbb{R} \]
\[ f \mapsto \phi(f) = \sum_{ n \in \mathbb{N} \setminus A } \frac{1}{10^{f(n)}} \]
è un iniezione da cui risulta che
\[ \left| \mathcal{F}_A \right| \leq \left| \mathbb{R} \right| \]
Pertanto
\[ \left| \mathcal{F} \right| = \left| \coprod_{A \subseteq \mathbb{N}} \mathcal{F}_A \right| = \sum_{A \subseteq \mathbb{N}} \left| \mathcal{F}_A \right| \leq \sum_{A \subseteq \mathbb{N}} \left| \mathbb{R} \right| = \left| \mathcal{P}(\mathbb{N}) \right| \cdot \left| \mathbb{R} \right| = \mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c} \]

[megas_archon]

\[ \mathcal{F} = \coprod_{A \subseteq \mathbb{N} } \mathcal{F}_A \]

L'identità sta nell'intersezione di tutti gli \(\mathcal F_A\)...

[Studente Anonimo]

"megas_archon":

\[ \mathcal{F} = \coprod_{A \subseteq \mathbb{N} } \mathcal{F}_A \]

L'identità sta nell'intersezione di tutti gli \(\mathcal F_A\)...

Si ho scritto male, intendevo dire tutte le biiezioni che fissano solo \(A\), quindi l'identità è solo dentro \( \mathcal{F}_{\mathbb{N}} \).

Edit: Non so più esprimermi, intendo tutte le biiezioni \(f\) dove \(A\) è il sottoinsieme più grande per cui \(f\) ristretta ad \(A\) è l'identità su \(A\) ma non è l'identità ristretta ad ogni sottoinsieme di \( \mathbb{N} \) che contiene strettamente \(A\).
Chiaramente per \( B \subset A \) abbiamo sia \(f\mid_A = \operatorname{id}_{A} \) ma anche \( f\mid_B = \operatorname{id}_B \), però \(B\) non è il più grande (per \(f\)) quindi \( f \in \mathcal{F}_A \) e \( f \not\in \mathcal{F}_B \).

[red3]

A me piace. Pensa che io invece avevo considerato all'opposto una corrispondenza fra P(N) e le f: N → N bigettive e tali che f(n) = n se e solo se n ∉ A e poi applicato AC. Meglio il tuo mi sembra. Spero sia stato interessante. Fra l'altro penso che le uniche strade per dimostrarlo siano queste; altrimenti bisogna sapere quanto vale N^N con altri metodi, e dimostrare che la cardinalità cercata è > |N|, unitamente all'ipotesi del continuo.

[Studente Anonimo]

Se ho capito bene come hai fatto, mi sembra più o meno la stessa cosa, no?
Comunque si è stato interessante. Onestamente non so se questi siano le uniche strade. Secondo me c'è un modo per dimostrarlo anche senza l'assioma della scelta, ma potrei sbagliarmi.

[red3]

"3m0o":Se ho capito bene come hai fatto, mi sembra più o meno la stessa cosa, no?
si, più o meno
Comunque si è stato interessante. Onestamente non so se questi siano le uniche strade. Secondo me c'è un modo per dimostrarlo anche senza l'assioma della scelta, ma potrei sbagliarmi.

questo non lo so. Ma senza AC non è che si dimostrino tante cose , nemmeno la numerabilità dell'unione numerabile