[EX topologia] Uno spazio quoziente di matrici

[j18eos]

Siano \(\mathbb{K}\) il campo dei numeri reali o complessi ed \(n\in\mathbb{N}\), sullo spazio vettoriale \(\mathbb{K}^n_n\) si consideri la topologia debole (*) \(\mathcal{D}\) generata dalla funzione \(\det\) mediante lo spazio topologico \((\mathbb{K};\mathcal{T}_{nat})\); allora:

[*:1qy12eei] confrontare la topologia \(\mathcal{D}\) con la topologia \(\mathcal{T}_{nat}\) di \(\mathbb{K}^n_n\);[/*:m:1qy12eei]
[*:1qy12eei] quozientare i precedenti spazi topologici rispetto alle seguente relazione, che risulta essere di equivalenza (dimostrarlo): due matrici sono in relazione se e solo se hanno la stessa forma normale di Jordan;[/*:m:1qy12eei][/list:u:1qy12eei]
studiando:



[*:1qy12eei] gli assiomi di separazione;[/*:m:1qy12eei]
[*:1qy12eei] la connessione e la compattezza.[/*:m:1qy12eei][/list:u:1qy12eei]

Per chiarezza, bisogna distinguere il caso reale dal caso complesso!

§§§

(*) In letteratura si utilizza anche la denominazione di topologia immagine inversa di una data topologia mediante una funzione assegnata!

OUT OF SELF: non mi ricordo le risposte e non le ho segnate da qualche parte ;
l'esercizio è una mia perfida creatura.

[j18eos]

Dopo un mese manco un tentativo?

Vabbeh, se è troppo astratto vi do un suggerimento (e siate buoni altrimenti San Nicola il 25 dicembre non vi porta in dono le 3 uova d'oro): sia \(n=1\), che accade nel caso reale?, eppoi nel caso complesso?

In questa ipotesi si vede qualche simpatica sorpresa!