Polinomi e funzioni polinomiali
Un esercizio divertente per sbrogliarsi un po' tra polinomi e funzioni polinomiali!
Mi è venuta voglia di proporlo nel rispondere qui.
Sia [tex]K[/tex] un campo, e sia [tex]K[X][/tex] l'anello dei polinomi a coefficienti in [tex]K[/tex]. Per ogni [tex]P(X) \in K[X][/tex] sia [tex]f_P:K \to K[/tex] la funzione definita da [tex]f_P(a) := P(a)[/tex]. [tex]f_P[/tex] si dice "funzione polinomiale associata a [tex]P[/tex]". Sia [tex]F = K^K[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]K \to K[/tex], e consideriamo la funzione [tex]\varphi: K[X] \to F[/tex] definita da [tex]\varphi(P(X)) := f_P[/tex]. Mostrare che:
(1) [tex]\varphi[/tex] è iniettiva se e solo se [tex]K[/tex] è infinito;
(2) [tex]\varphi[/tex] è suriettiva se e solo se [tex]K[/tex] è finito.
Mi è venuta voglia di proporlo nel rispondere qui.
Sia [tex]K[/tex] un campo, e sia [tex]K[X][/tex] l'anello dei polinomi a coefficienti in [tex]K[/tex]. Per ogni [tex]P(X) \in K[X][/tex] sia [tex]f_P:K \to K[/tex] la funzione definita da [tex]f_P(a) := P(a)[/tex]. [tex]f_P[/tex] si dice "funzione polinomiale associata a [tex]P[/tex]". Sia [tex]F = K^K[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]K \to K[/tex], e consideriamo la funzione [tex]\varphi: K[X] \to F[/tex] definita da [tex]\varphi(P(X)) := f_P[/tex]. Mostrare che:
(1) [tex]\varphi[/tex] è iniettiva se e solo se [tex]K[/tex] è infinito;
(2) [tex]\varphi[/tex] è suriettiva se e solo se [tex]K[/tex] è finito.
Risposte
Provo a dare una risposta (dovrei essere il diretto interessato 
)
1) (a) Mostro che se φ è iniettiva allora K è infinito :
Se per assurdo K fosse finito avrei card(\(\displaystyle F \))=card(\(\displaystyle K^K \)) che sarebbe finita. I polinomi a coefficienti in un campo K sono infiniti e la funzione φ : K[x]-->F andrebbe da un insieme infinito ad uno finito. Dunque φ non potrebbe essere iniettiva! Assurdo.
(b) Mostro che se K è infinito allora φ è iniettiva:
Avendo K infinito ho card(\(\displaystyle F \))=card(\(\displaystyle K^K \))>= card(N) e φ va da un insieme infinito ad uno infinito. Ho che essendo K infinito la funzione polinomiale associata a P è biiettiva allora ma allora se ho φ(p(x))=φ(q(x)) --> p(x)=q(x) dunque φ è iniettiva!
)1) (a) Mostro che se φ è iniettiva allora K è infinito :
Se per assurdo K fosse finito avrei card(\(\displaystyle F \))=card(\(\displaystyle K^K \)) che sarebbe finita. I polinomi a coefficienti in un campo K sono infiniti e la funzione φ : K[x]-->F andrebbe da un insieme infinito ad uno finito. Dunque φ non potrebbe essere iniettiva! Assurdo.
(b) Mostro che se K è infinito allora φ è iniettiva:
Avendo K infinito ho card(\(\displaystyle F \))=card(\(\displaystyle K^K \))>= card(N) e φ va da un insieme infinito ad uno infinito. Ho che essendo K infinito la funzione polinomiale associata a P è biiettiva allora ma allora se ho φ(p(x))=φ(q(x)) --> p(x)=q(x) dunque φ è iniettiva!
Di primo acchito mi sembra più un'argomentazione, ma potrei sbagliarmi! 
Agenog, il punto (a) va bene ma il (b) non l'ho capito. Come fai a dire che se K è infinito la funzione polinomiale associata a P è biiettiva? E come fai da questo a concludere?
Sulla (b) ho fatto un po' confusione, Riprovo qui sotto dopo essermi tolto dei dubbi:
(b) Dimostro che se \(\displaystyle K \) è un campo infinito allora φ è iniettiva:
Essendo \(\displaystyle K \) un campo infinito vale il principio di identità dei polinomi. Quindi due polinomi \(\displaystyle P(x) \) e \(\displaystyle Q(x) \) a coefficienti in \(\displaystyle K \) campo infinito tali che \(\displaystyle P(x)= Q(x) \) $AA$ \(\displaystyle x \)$in$ \(\displaystyle K \) sono uguali. Ma allora se \(\displaystyle P(x) \) $!=$ \(\displaystyle Q(x) \) $=>$ \(\displaystyle φ(P(x))=f_p \) $!=$ \(\displaystyle φ(Q(x))=f_q \)
L' ultimo passaggio deriva dal fatto che a due polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse proprio per il fatto che vale il principio di identità dei polinomi
(b) Dimostro che se \(\displaystyle K \) è un campo infinito allora φ è iniettiva:
Essendo \(\displaystyle K \) un campo infinito vale il principio di identità dei polinomi. Quindi due polinomi \(\displaystyle P(x) \) e \(\displaystyle Q(x) \) a coefficienti in \(\displaystyle K \) campo infinito tali che \(\displaystyle P(x)= Q(x) \) $AA$ \(\displaystyle x \)$in$ \(\displaystyle K \) sono uguali. Ma allora se \(\displaystyle P(x) \) $!=$ \(\displaystyle Q(x) \) $=>$ \(\displaystyle φ(P(x))=f_p \) $!=$ \(\displaystyle φ(Q(x))=f_q \)
L' ultimo passaggio deriva dal fatto che a due polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse proprio per il fatto che vale il principio di identità dei polinomi
"agenog":Non per dire, ma è proprio questo che bisogna dimostrare
due polinomi \(\displaystyle P(x) \) e \(\displaystyle Q(x) \) a coefficienti in \(\displaystyle K \) campo infinito tali che \(\displaystyle P(x)= Q(x) \) $AA$ \(\displaystyle x \)$in$ \(\displaystyle K \) sono uguali.
Il principio di identità dei polinomi non dice quello che sostieni, dice che due polinomi sono uguali se e solo se sono uguali i coefficienti associati ai rispettivi gradi. Il principio di identità dei polinomi non è altro che la definizione di polinomio: un polinomio è univocamente determinato dalla successione dei coefficienti associati ai rispettivi gradi.
e allora si ha:
φ inittiva significa: \(\displaystyle φ(P(x))= φ(Q(x)) \) $rArr$ \(\displaystyle P(x)=Q(x) \)
suppondo per assurdo che \(\displaystyle P(x) \) $!=$ \(\displaystyle Q(x) \)
Ora scelgo un' applicazione \(\displaystyle L(x)=P(x)-Q(x) \) $!=$ $0$
Avendo \(\displaystyle φ(P(x))= φ(Q(x)) \) ho che $AA$ $k$ $in$ $K$ \(\displaystyle φ(P(x))(k)= φ(Q(x))(k) \) ovvero \(\displaystyle P(k)=Q(k) \) $AA$ $k$ $in$ $K$
Ma allora ogni K è una radice di L(x) e quindi L(x) avrebbe infinite radici, ma questo è assurdo perchè le radice di un polinomio sono al massimo un numero pari al grado del polinomio stesso.
φ inittiva significa: \(\displaystyle φ(P(x))= φ(Q(x)) \) $rArr$ \(\displaystyle P(x)=Q(x) \)
suppondo per assurdo che \(\displaystyle P(x) \) $!=$ \(\displaystyle Q(x) \)
Ora scelgo un' applicazione \(\displaystyle L(x)=P(x)-Q(x) \) $!=$ $0$
Avendo \(\displaystyle φ(P(x))= φ(Q(x)) \) ho che $AA$ $k$ $in$ $K$ \(\displaystyle φ(P(x))(k)= φ(Q(x))(k) \) ovvero \(\displaystyle P(k)=Q(k) \) $AA$ $k$ $in$ $K$
Ma allora ogni K è una radice di L(x) e quindi L(x) avrebbe infinite radici, ma questo è assurdo perchè le radice di un polinomio sono al massimo un numero pari al grado del polinomio stesso.
2) (a) se $φ$ è suriettiva allora K è finito non mi sembra vero.
Infatti a ogni funzione polinomiale c'è almeno una controimmagine ovvero il polinomio che ha gli stessi coefficienti.
(Ovviamente essendo $φ$ sempre suriettiva, la proposizione (b)"se K è finito allora $φ$ è suriettiva" è vera)
Infatti a ogni funzione polinomiale c'è almeno una controimmagine ovvero il polinomio che ha gli stessi coefficienti.
(Ovviamente essendo $φ$ sempre suriettiva, la proposizione (b)"se K è finito allora $φ$ è suriettiva" è vera)
Ora il punto 1b va bene. Osserva che per dire che un polinomio ha al più tanti zeri quant'è il suo grado ti serve che [tex]K[/tex] sia un campo (almeno un dominio). Per esempio [tex]X^2-X[/tex] ha quattro zeri in [tex]\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[/tex].
Giusto per esibire un esempio esplicito a proposito di 1a, osservo che i polinomi [tex]X^2+X[/tex] e [tex]0[/tex] sono diversi ma sul campo [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] le funzioni polinomiali associate sono le stesse.
Giusto per esibire un esempio esplicito a proposito di 1a, osservo che i polinomi [tex]X^2+X[/tex] e [tex]0[/tex] sono diversi ma sul campo [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] le funzioni polinomiali associate sono le stesse.
"agenog":Osserva che il codominio di [tex]\varphi[/tex] non è l'insieme delle funzioni polinomiali [tex]K \to K[/tex], è l'insieme di tutte le funzioni [tex]K \to K[/tex]. Per esempio la funzione [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto \sin(x)[/tex] non è una funzione polinomiale (ha infiniti zeri).
2) (a) se $φ$ è suriettiva allora K è finito non mi sembra vero.
Infatti a ogni funzione polinomiale c'è almeno una controimmagine ovvero il polinomio che ha gli stessi coefficienti.
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