La sostituzione di Emden-Fowler
Non ho ancora sufficiente dimestichezza con le equazioni del secondo ordine, quindi non ho ancora svolto questo problema.
Sia \(\displaystyle \varphi \in \mathcal{C}^2(0,\infty) \) con \(\displaystyle \varphi \ge 0 \) una soluzione dell'equazione \[\displaystyle \varphi''(r)+\frac{n-1}{r} \varphi'(r)=-n(n-2)\varphi(r)^{\frac{n+2}{n-2}} \qquad \text{con} \qquad r>0 \qquad [1] \] e sia \(\displaystyle \psi \in \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}) \) la funzione definita da \[\displaystyle \varphi(r)=r^{\frac{2-n}{2}} \psi(- \log r) \]
detta appunto sostituzione di Emden-Fowler.
i) Provare che esiste una costante \(\displaystyle C \in \mathbb{R} \) t.c. \[\displaystyle \psi'(r)^2=(n-2)^2 \left( \frac{1}{4} \psi(t)^2 - \psi(r) ^{\frac{2n}{n-2}} \right) + C \qquad [2] \]
ii) Assumendo \(\displaystyle \varphi \) limitata vicino a \(\displaystyle r=0 \) provare che deve essere \(\displaystyle C=0 \);
iii) Sia \(\displaystyle \varphi \in \mathcal{C}^2 ([0,\infty)) \), \(\displaystyle \varphi \ge 0 \), una soluzione di \(\displaystyle [1] \) e sia \(\displaystyle \vartheta \in \mathcal{C}^2 (0,\infty) \) la funzione definita da \[\displaystyle \varphi(r)= (r \vartheta(r))^{\frac{2-n}{2}} \]Usando \(\displaystyle [2] \) con \(\displaystyle C=0 \) provare che \(\displaystyle \vartheta \) risolve l'equazione di Eulero \[\displaystyle r^2 \vartheta'' + r \vartheta' - \vartheta=0 \]e quindi determinare \(\displaystyle \varphi \).
Qualcuno ha idea di cosa rappresentino queste equazioni? Hanno un significato fisico?
Edit. Correzione.
Sia \(\displaystyle \varphi \in \mathcal{C}^2(0,\infty) \) con \(\displaystyle \varphi \ge 0 \) una soluzione dell'equazione \[\displaystyle \varphi''(r)+\frac{n-1}{r} \varphi'(r)=-n(n-2)\varphi(r)^{\frac{n+2}{n-2}} \qquad \text{con} \qquad r>0 \qquad [1] \] e sia \(\displaystyle \psi \in \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}) \) la funzione definita da \[\displaystyle \varphi(r)=r^{\frac{2-n}{2}} \psi(- \log r) \]
detta appunto sostituzione di Emden-Fowler.
i) Provare che esiste una costante \(\displaystyle C \in \mathbb{R} \) t.c. \[\displaystyle \psi'(r)^2=(n-2)^2 \left( \frac{1}{4} \psi(t)^2 - \psi(r) ^{\frac{2n}{n-2}} \right) + C \qquad [2] \]
ii) Assumendo \(\displaystyle \varphi \) limitata vicino a \(\displaystyle r=0 \) provare che deve essere \(\displaystyle C=0 \);
iii) Sia \(\displaystyle \varphi \in \mathcal{C}^2 ([0,\infty)) \), \(\displaystyle \varphi \ge 0 \), una soluzione di \(\displaystyle [1] \) e sia \(\displaystyle \vartheta \in \mathcal{C}^2 (0,\infty) \) la funzione definita da \[\displaystyle \varphi(r)= (r \vartheta(r))^{\frac{2-n}{2}} \]Usando \(\displaystyle [2] \) con \(\displaystyle C=0 \) provare che \(\displaystyle \vartheta \) risolve l'equazione di Eulero \[\displaystyle r^2 \vartheta'' + r \vartheta' - \vartheta=0 \]e quindi determinare \(\displaystyle \varphi \).
Qualcuno ha idea di cosa rappresentino queste equazioni? Hanno un significato fisico?
Edit. Correzione.
Risposte
Il primo membro della [1] è un laplaciano in coordinate radiali; quindi risolvere quella schifezzeria lì equivale a cercare tutte le soluzioni radiali positive della PDE:
\[
-\Delta u = n(n-2)\ u^{\frac{n+2}{n-2}}
\]
definite in \(\mathbb{R}^n\).
L'equazione precedente è un'equazione di Poisson nonlineare, i.e. del tipo:
\[
-\Delta u =f(u)
\]
con la nonlinearità \(f\) del tipo:
\[
f(u):=|u|^{p-1}\ u\; .
\]
Queste equazioni sono abbastanza interessanti, perché esibiscono comportamenti "singolari".
Tanto per fare un esempio, immagina che sia assegnato il problema di Dirichlet:
\[
\tag{P}
\begin{cases}
-\Delta u = |u|^{p-1}\ u &\text{, in } U\\
u=0 &\text{, su } \partial U
\end{cases}
\]
ove \(U\subset \mathbb{R}^n\) è un aperto limitato con bordo sufficientemente "buono".
Applicando il Mountain Pass Lemma di Ambrosetti e Rabinowitz si dimostra che esiste un esponente \(p_*(n) \in ]1,\infty[\) tale che (P) ha soluzioni deboli in \(W^{1,p}(U)\) non banali, cioè non identicamente nulle, per \(1Partial Differential Equations - second edition, §8.5).
Ma, se invece prendi \(p>p_*(n)\) succede che in alcuni casi (P) non ha alcuna soluzione debole non banale: infatti, se ad esempio il dominio \(U\) è un aperto stellato con frontiera \(C^1\), la cosiddetta identità di Derrick-Pohozaev ti dice che ogni soluzione debole \(u\) del problema deve soddisfare \(\int_U |u|^{p+1}\ \text{d} x\leq 0\) e perciò deve necessariamente essere nulla.
L'esponente \(p_*(n)\), che separa i casi "buoni" (in cui l'esistenza di soluzioni non banali è assicurata dalla teoria) dai casi "cattivi" (in cui non è certo ci siano soluzioni non banali), si chiama esponente critico per il problema (P).
E, per ricollegarmi al tuo problema, si dimostra che l'esponente critico del problema di cui sopra è:
\[
p_*(n) := \frac{n+2}{n-2}
\]
che è proprio l'esponente della tua nonlinearità.
Per quanto riguarda il significato fisico dell'equazione, ahimé non posso esserti d'aiuto.
Potresti, però, cercare un po' in giro.
P.S.: Si chiama Emden, il tizio della sostituzione.
\[
-\Delta u = n(n-2)\ u^{\frac{n+2}{n-2}}
\]
definite in \(\mathbb{R}^n\).
L'equazione precedente è un'equazione di Poisson nonlineare, i.e. del tipo:
\[
-\Delta u =f(u)
\]
con la nonlinearità \(f\) del tipo:
\[
f(u):=|u|^{p-1}\ u\; .
\]
Queste equazioni sono abbastanza interessanti, perché esibiscono comportamenti "singolari".
Tanto per fare un esempio, immagina che sia assegnato il problema di Dirichlet:
\[
\tag{P}
\begin{cases}
-\Delta u = |u|^{p-1}\ u &\text{, in } U\\
u=0 &\text{, su } \partial U
\end{cases}
\]
ove \(U\subset \mathbb{R}^n\) è un aperto limitato con bordo sufficientemente "buono".
Applicando il Mountain Pass Lemma di Ambrosetti e Rabinowitz si dimostra che esiste un esponente \(p_*(n) \in ]1,\infty[\) tale che (P) ha soluzioni deboli in \(W^{1,p}(U)\) non banali, cioè non identicamente nulle, per \(1
Ma, se invece prendi \(p>p_*(n)\) succede che in alcuni casi (P) non ha alcuna soluzione debole non banale: infatti, se ad esempio il dominio \(U\) è un aperto stellato con frontiera \(C^1\), la cosiddetta identità di Derrick-Pohozaev ti dice che ogni soluzione debole \(u\) del problema deve soddisfare \(\int_U |u|^{p+1}\ \text{d} x\leq 0\) e perciò deve necessariamente essere nulla.
L'esponente \(p_*(n)\), che separa i casi "buoni" (in cui l'esistenza di soluzioni non banali è assicurata dalla teoria) dai casi "cattivi" (in cui non è certo ci siano soluzioni non banali), si chiama esponente critico per il problema (P).
E, per ricollegarmi al tuo problema, si dimostra che l'esponente critico del problema di cui sopra è:
\[
p_*(n) := \frac{n+2}{n-2}
\]
che è proprio l'esponente della tua nonlinearità.
Per quanto riguarda il significato fisico dell'equazione, ahimé non posso esserti d'aiuto.
Potresti, però, cercare un po' in giro.
P.S.: Si chiama Emden, il tizio della sostituzione.
Grazie per l'excursus, Gugo; immaginavo ci fosse dietro qualcosa di grosso.
Quanto al tizio della sostituzione... Sei sicuro del suo nome? Perché è scritto così anche sulle dispense da cui ho tratto l'esercizio.
Quanto al tizio della sostituzione... Sei sicuro del suo nome? Perché è scritto così anche sulle dispense da cui ho tratto l'esercizio.
Per il nome ho fatto riferimento a Evans, loc. cit., §4.7, esercizio 4.
Per ulteriore conferma, googleggia un po'.
Per ulteriore conferma, googleggia un po'.
C'hai ragione.
Ho fatto un giro in rete ed ho reperito un po' di materiale, tipo questo o questo.
In particolare si parla di Generalized Emden-Fowler Equation.
Ho fatto un giro in rete ed ho reperito un po' di materiale, tipo questo o questo.
In particolare si parla di Generalized Emden-Fowler Equation.
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