Suggestive successioni di interi
La diagonale di un quadrato è incommensurabile con il lato. Vuol dire che non esiste alcun segmentino che faccia da unità di misura $bar(u)$ e che possa essere riportato un numero intero di volte sul lato e un altro intero di volte sulla diagonale. Ovvero tale che $d=p*bar(u) $ e $ l=n*bar(u)$ con $p$ ed $n$ interi.
La relazione pitagorica tra segmenti geometrici $d^2=2*l^2$ diventa $p^2=2n^2 $ $ cdots [1]$ ovvero una relazione tra numeri interi che non può essere soddisfatta da nessuna coppia di numeri interi.
Ma supponiamo – per assurdo – che ci sia una coppia del genere e tramite un percorso originale proviamo a trovarla.
Con riferimento alla [1] scomponiamo $p$ nella somma $p=n+q$ in cui $n$ è l’intero che rappresenta il lato e $q$ quel che manca alla diagonale (intero anche lui).
Si ha allora che il $I^°$ membro della [1] diventa $(n+q)^2=n^2+2nq+q^2$
La [1] diventa $2nq+q^2=n^2 $ $ cdots [2]$ nelle variabili $n$ e $q$.
Adesso se scomponiamo ulteriormente $n$ nel modo seguente : $n=2*q+s$ $cdots [3]$ in cui $q$ ed $s$ sono interi e andiamo a sostituire nella [2] otteniamo:
I° membro $2q*(2q+s)+q^2=4q^2+2qs+q^2$
II° membro $(2q+s)^2=4q^2+4qs+s^2$
Da cui si ricava $2qs+s^2=q^2 $ $ cdots cdots [4] $ che è la stessa equazione [2] tra le variabili intere “derivate” $q$ ed $s$ al posto di $n$ e $q$.
Se io continuo spezzando $q$ in $s$ e $t$ secondo lo stesso criterio per cui $q=2*s+t $ $cdots cdots [5]$
ottengo $2st+t^2=s^2 $ $cdots cdots [6] $ sempre la stessa relazione tra variabili intere derivate di valore però sempre più piccolo rispetto alle originarie $n$ e $q$ .
Perciò se io ora capovolgo il procedimento e anziché partire da $n$ e $q$ parto da una coppia “piccola” di interi – scelta arbitrariamente - e applico la [5] in modo progressivo anziché in modo regressivo dovrei ottenere una relazione di tipo [2] sempre più soddisfatta man mano che la successione cresce.
Siccome gli interi (sempre positivi in questo contesto) più piccoli sono $0$ e $1$ partirò da lì per ottenere la seguente successione:
Veramente molto ma molto interessante perché il penultimo più l’ultimo termine rappresenta la diagonale ( o meglio un’approssimazione della diagonale) ovvero $n+q$ e l’ultimo rappresenta il lato ovvero $n$. Il rapporto tra loro è la radice di 2 sempre meglio approssimata man mano che la successione di interi aumenta. Provare per credere.
Niente male non è vero? Ma vedremo a cosa ci porta una impostazione del genere…….
La relazione pitagorica tra segmenti geometrici $d^2=2*l^2$ diventa $p^2=2n^2 $ $ cdots [1]$ ovvero una relazione tra numeri interi che non può essere soddisfatta da nessuna coppia di numeri interi.
Ma supponiamo – per assurdo – che ci sia una coppia del genere e tramite un percorso originale proviamo a trovarla.
Con riferimento alla [1] scomponiamo $p$ nella somma $p=n+q$ in cui $n$ è l’intero che rappresenta il lato e $q$ quel che manca alla diagonale (intero anche lui).
Si ha allora che il $I^°$ membro della [1] diventa $(n+q)^2=n^2+2nq+q^2$
La [1] diventa $2nq+q^2=n^2 $ $ cdots [2]$ nelle variabili $n$ e $q$.
Adesso se scomponiamo ulteriormente $n$ nel modo seguente : $n=2*q+s$ $cdots [3]$ in cui $q$ ed $s$ sono interi e andiamo a sostituire nella [2] otteniamo:
I° membro $2q*(2q+s)+q^2=4q^2+2qs+q^2$
II° membro $(2q+s)^2=4q^2+4qs+s^2$
Da cui si ricava $2qs+s^2=q^2 $ $ cdots cdots [4] $ che è la stessa equazione [2] tra le variabili intere “derivate” $q$ ed $s$ al posto di $n$ e $q$.
Se io continuo spezzando $q$ in $s$ e $t$ secondo lo stesso criterio per cui $q=2*s+t $ $cdots cdots [5]$
ottengo $2st+t^2=s^2 $ $cdots cdots [6] $ sempre la stessa relazione tra variabili intere derivate di valore però sempre più piccolo rispetto alle originarie $n$ e $q$ .
Perciò se io ora capovolgo il procedimento e anziché partire da $n$ e $q$ parto da una coppia “piccola” di interi – scelta arbitrariamente - e applico la [5] in modo progressivo anziché in modo regressivo dovrei ottenere una relazione di tipo [2] sempre più soddisfatta man mano che la successione cresce.
Siccome gli interi (sempre positivi in questo contesto) più piccoli sono $0$ e $1$ partirò da lì per ottenere la seguente successione:
$0,1,2,5,12,29,70,169…….$
Veramente molto ma molto interessante perché il penultimo più l’ultimo termine rappresenta la diagonale ( o meglio un’approssimazione della diagonale) ovvero $n+q$ e l’ultimo rappresenta il lato ovvero $n$. Il rapporto tra loro è la radice di 2 sempre meglio approssimata man mano che la successione di interi aumenta. Provare per credere.
Niente male non è vero? Ma vedremo a cosa ci porta una impostazione del genere…….
Risposte
Successioni di interi come queste che dici sono note fin dall'antichità ellenistica!
Mi è difficile, adesso, ripescare un articoletto del prof. Silvio Maracchia (allora docente di "Storia della Matematica" presso l'università "La Sapienza" – Roma) pubblicato sul foglio "MatematicaMente" della Mathesis di Verona (mensile nato con questo nome ben prima del presente sito) nel quale il prof. Maracchia porta proprio l'esempio di due successioni crescenti di numeri interi mutuamente collegate – diciamole a(n) e b(n) – tali che il rapporto a(n)/b(n) tende a $sqrt2$. La cosa interessante è che queste successioni sono ... storiche! Ossia: Maracchia le attribuisce a non ricordo più quale matematico ellenistico (cioè di circa 2000 anni fa).
Se tritroverò quell'articoletto, lo trascriverò in questo "thread".
D'altra parte ... ci sono infinite terne pitagoriche con differenza 1 tra i cateti. Si può quindi trovare un triangolo rettangolo con lati commensurabili che differisce dal triangolo rettangolo isoscele (cioè "mezzo quadrato") di una quanttà infinitesima.
Per trovarle, basta partire da t = [3, 4, 5] e moltiplicare la terna (come vettore) per la matrice simmetrica
|2, 1, 2|
|1, 2, 2| = C
|2, 2, 3|
Si ottiene, successivamente:
t0 = t·C^0 = t = [3, 4, 5]
t1 = t·C = [20, 21, 29]
t2 = t·C^2 = t1·C = [119, 120, 169]
t3 = t·C^3 = t2·C = [696, 697, 985]
t4 = t·C^4 = t4·C = [4059 4060, 5741]
---
Mi è difficile, adesso, ripescare un articoletto del prof. Silvio Maracchia (allora docente di "Storia della Matematica" presso l'università "La Sapienza" – Roma) pubblicato sul foglio "MatematicaMente" della Mathesis di Verona (mensile nato con questo nome ben prima del presente sito) nel quale il prof. Maracchia porta proprio l'esempio di due successioni crescenti di numeri interi mutuamente collegate – diciamole a(n) e b(n) – tali che il rapporto a(n)/b(n) tende a $sqrt2$. La cosa interessante è che queste successioni sono ... storiche! Ossia: Maracchia le attribuisce a non ricordo più quale matematico ellenistico (cioè di circa 2000 anni fa).
Se tritroverò quell'articoletto, lo trascriverò in questo "thread".
D'altra parte ... ci sono infinite terne pitagoriche con differenza 1 tra i cateti. Si può quindi trovare un triangolo rettangolo con lati commensurabili che differisce dal triangolo rettangolo isoscele (cioè "mezzo quadrato") di una quanttà infinitesima.
Per trovarle, basta partire da t = [3, 4, 5] e moltiplicare la terna (come vettore) per la matrice simmetrica
|2, 1, 2|
|1, 2, 2| = C
|2, 2, 3|
Si ottiene, successivamente:
t0 = t·C^0 = t = [3, 4, 5]
t1 = t·C = [20, 21, 29]
t2 = t·C^2 = t1·C = [119, 120, 169]
t3 = t·C^3 = t2·C = [696, 697, 985]
t4 = t·C^4 = t4·C = [4059 4060, 5741]
---
Erasmus, ti ringrazio per l’attenzione.
L’idea di sfruttare le terne pitagoriche che tu esponi per ricavare la radice di 2 necessita di una procedura attuativa più complicata della mia perché si tratta di applicare una matrice 3x3 ad ogni step. Inoltre non è chiaro perché tu usi proprio quella matrice.
La successione che ho descritto nasce invece da un modo particolare di “non risolvere” l’equazione diagonale/cateto relegando in sostanza l’errore nei primi termini di una successione di interi generata da un algoritmo.
Non si può negare che quella, la mia, è una successione semplice, elegante e potente.
Adesso proviamo a generalizzare il ragionamento un passo alla volta.
Io sono partito dal constatare che la seguente equazione avente $L$ come parametro intero
pensata nelle incognite $q$ ed $n$ (con $q
In cui le varabili intere “figlie” $s$ e $q$ prendono ESATTAMENTE il posto di $q$ ed $n$.
D’altra parte, nel tentativo di trovare una successione che converga alla radice quadrata di un numero qualsiasi $K$ noi vorremmo risolvere la seguente equazione: $ X+q/n=sqrt(K) $ in cui $X$ è la parte intera di $sqrt(K)$ e $q/n$ è la sua parte decimale sufficientemente approssimata. Tale equazione dopo quadratura diventa:
Adesso per avere successo devo adattare la [7] alla [9]. Il che si ottiene dividendo i suoi termini per $n^2$.
Dal confronto tra gli stessi termini della [9] e della [10] si ricava:
Quindi
Risultato molto interessante perché consente la chiusura dei primi passi finalizzati a una teoria di questo tipo di serie.
Infatti ora proviamo:
$L=5$ genera la serie $0,1,5,26,135,701 cdots$ il cui rapporto $q/n$ converge a $(sqrt(25+4)-5)/2$
$L=4$ genera la serie $0,1,4,17,72,305 cdots $ che converge a $(sqrt(16+4)-4)/2$
$L=3$ genera la serie $0,1,3,10,33,109 cdots$ che converge a $(sqrt(9+4)-3)/2$
$L=2$ genera la serie $0,1,2,5,12,29,70 cdots$ che converge a $(sqrt(4+4)-2)/2$ che è la mia serie
$L=1$ genera la serie $0,1,1,2,3,5,8,13 cdots$ che converge a $(sqrt(1+4)-1)/2$ che è di Fibonacci
Caro lettore, adesso non mi dire che tutto questo tu già lo sapevi…
Ma vedrai cosa apparirà ancora!
L’idea di sfruttare le terne pitagoriche che tu esponi per ricavare la radice di 2 necessita di una procedura attuativa più complicata della mia perché si tratta di applicare una matrice 3x3 ad ogni step. Inoltre non è chiaro perché tu usi proprio quella matrice.
La successione che ho descritto nasce invece da un modo particolare di “non risolvere” l’equazione diagonale/cateto relegando in sostanza l’errore nei primi termini di una successione di interi generata da un algoritmo.
Non si può negare che quella, la mia, è una successione semplice, elegante e potente.
Adesso proviamo a generalizzare il ragionamento un passo alla volta.
Io sono partito dal constatare che la seguente equazione avente $L$ come parametro intero
$7cdots $ $Lqn+q^2=n^2$
pensata nelle incognite $q$ ed $n$ (con $q
$8cdots $ $Lsq+s^2=q^2$
In cui le varabili intere “figlie” $s$ e $q$ prendono ESATTAMENTE il posto di $q$ ed $n$.
D’altra parte, nel tentativo di trovare una successione che converga alla radice quadrata di un numero qualsiasi $K$ noi vorremmo risolvere la seguente equazione: $ X+q/n=sqrt(K) $ in cui $X$ è la parte intera di $sqrt(K)$ e $q/n$ è la sua parte decimale sufficientemente approssimata. Tale equazione dopo quadratura diventa:
$9cdots $ $X^2+2Xq/n+q^2/n^2=K$
Adesso per avere successo devo adattare la [7] alla [9]. Il che si ottiene dividendo i suoi termini per $n^2$.
$10 cdots $ $Lq/n+q^2/n^2=1 $
Dal confronto tra gli stessi termini della [9] e della [10] si ricava:
a) $L=2*X$ e b) $K-X^2=1$
Quindi
$11cdots$ $q/n=(sqrt(L^2+4)-L)/2$
Risultato molto interessante perché consente la chiusura dei primi passi finalizzati a una teoria di questo tipo di serie.
Infatti ora proviamo:
$L=5$ genera la serie $0,1,5,26,135,701 cdots$ il cui rapporto $q/n$ converge a $(sqrt(25+4)-5)/2$
$L=4$ genera la serie $0,1,4,17,72,305 cdots $ che converge a $(sqrt(16+4)-4)/2$
$L=3$ genera la serie $0,1,3,10,33,109 cdots$ che converge a $(sqrt(9+4)-3)/2$
$L=2$ genera la serie $0,1,2,5,12,29,70 cdots$ che converge a $(sqrt(4+4)-2)/2$ che è la mia serie
$L=1$ genera la serie $0,1,1,2,3,5,8,13 cdots$ che converge a $(sqrt(1+4)-1)/2$ che è di Fibonacci
Caro lettore, adesso non mi dire che tutto questo tu già lo sapevi…
Ma vedrai cosa apparirà ancora!
Riprendo il filo dalle ultime conclusioni.
Chiedo venia per aver usato il termine serie dove avrei dovuto usare il termine successione.
Diciamo che una successione di interi $”a”$ generata dalla formula ricorsiva:
$a_(n+1)=L*a_(n)+a_(n-1)$ determina un rapporto $a_(n)/a_(n-1)$ che converge al valore $(sqrt(L^2+4)-L)/2$.
Prima osservazione. Una volta avviata la successione la fermeremo quando l’approssimazione sarà sufficiente in base al problema che abbiamo davanti. Lo stop alla successione dipende dalla natura del problema. Negli esempi che seguono troncherò le successioni al sesto termine compreso lo zero. Il che vuol dire che i numeri finali saranno 701,305,109,29,5 e che l’errore relativo cresce molto e passa da 1 su 701 a 1 su 5.
Seconda osservazione. Una volta definita una successione e cioè dopo averla scritta dal primo all’ultimo termine, possiamo utilizzare l’insieme degli interi che abbiamo generato in moltissimi modi. In particolare gli ultimi interi “di testa”. Per esempio il rapporto $(L*a_(n)+2*a_(n-1))/a_(n)$ approssima direttamente $sqrt(L^2+4)$ cosicché avremo:
Terza osservazione. Se una successione non viene avviata dalla coppia 0,1 ma da una coppia qualsiasi di interi la convergenza non viene alterata. Al massimo si può avere un ritardo nel raggiungere l’approssimazione voluta. Anziché 0,1 prendiamo ad esempio 5,2 e vediamo che succede:
$5, 2, 15, 77, 400, 2077 Rightarrow (5*2077+2*400)/2077 cong sqrt(29)$
$5, 2, 13, 54, 229, 970 Rightarrow (4*970+2*229)/970 cong sqrt(20)$
$5, 2, 11, 35, 116, 383 Rightarrow (3*383+2*116)/383 cong sqrt(13)$
$5, 2, 9, 20, 49, 118 Rightarrow (2*118+2*49)/118 cong sqrt(8)$
$5, 2, 7, 9, 16, 25 Rightarrow (1*25+2*16)/25 cong sqrt(5)$
Questa indipendenza dal valore della coppia iniziale di numeri non si spiega se non dal mio punto di vista. Come ho mostrato nel trattare il rapporto diagonale/lato l'errore - anche se di entità arbitraria - introdotto nella prima coppia, viene man mano relegato dalla reiterazione del calcolo. E' un processo che "si aggiusta da solo" man mano che va avanti.
Chiedo venia per aver usato il termine serie dove avrei dovuto usare il termine successione.
Diciamo che una successione di interi $”a”$ generata dalla formula ricorsiva:
$a_(n+1)=L*a_(n)+a_(n-1)$ determina un rapporto $a_(n)/a_(n-1)$ che converge al valore $(sqrt(L^2+4)-L)/2$.
Prima osservazione. Una volta avviata la successione la fermeremo quando l’approssimazione sarà sufficiente in base al problema che abbiamo davanti. Lo stop alla successione dipende dalla natura del problema. Negli esempi che seguono troncherò le successioni al sesto termine compreso lo zero. Il che vuol dire che i numeri finali saranno 701,305,109,29,5 e che l’errore relativo cresce molto e passa da 1 su 701 a 1 su 5.
Seconda osservazione. Una volta definita una successione e cioè dopo averla scritta dal primo all’ultimo termine, possiamo utilizzare l’insieme degli interi che abbiamo generato in moltissimi modi. In particolare gli ultimi interi “di testa”. Per esempio il rapporto $(L*a_(n)+2*a_(n-1))/a_(n)$ approssima direttamente $sqrt(L^2+4)$ cosicché avremo:
$sqrt(29)cong(5*701+2*135)/701$
$sqrt(20) cong (4*305+2*72)/305$
$sqrt(13)cong (3*109+2*33)/109$
$sqrt(8) =2sqrt(2)cong(2*29+2*12)/29$
$sqrt(5)cong(1*5+2*3)/5$
$sqrt(20) cong (4*305+2*72)/305$
$sqrt(13)cong (3*109+2*33)/109$
$sqrt(8) =2sqrt(2)cong(2*29+2*12)/29$
$sqrt(5)cong(1*5+2*3)/5$
Terza osservazione. Se una successione non viene avviata dalla coppia 0,1 ma da una coppia qualsiasi di interi la convergenza non viene alterata. Al massimo si può avere un ritardo nel raggiungere l’approssimazione voluta. Anziché 0,1 prendiamo ad esempio 5,2 e vediamo che succede:
$5, 2, 15, 77, 400, 2077 Rightarrow (5*2077+2*400)/2077 cong sqrt(29)$
$5, 2, 13, 54, 229, 970 Rightarrow (4*970+2*229)/970 cong sqrt(20)$
$5, 2, 11, 35, 116, 383 Rightarrow (3*383+2*116)/383 cong sqrt(13)$
$5, 2, 9, 20, 49, 118 Rightarrow (2*118+2*49)/118 cong sqrt(8)$
$5, 2, 7, 9, 16, 25 Rightarrow (1*25+2*16)/25 cong sqrt(5)$
Questa indipendenza dal valore della coppia iniziale di numeri non si spiega se non dal mio punto di vista. Come ho mostrato nel trattare il rapporto diagonale/lato l'errore - anche se di entità arbitraria - introdotto nella prima coppia, viene man mano relegato dalla reiterazione del calcolo. E' un processo che "si aggiusta da solo" man mano che va avanti.
Vedo che anche tu stai "scoprendo" autonomamente la teoria delle "sequenze linearmente dipendenti", cosa che a me – molto più vecchio di te – è capitata quarant'anni fa (giocando con la mia prima macchinetta calcolatrice elettronica).
In particolare ora stai elucubrando su quelle di ordine 2, cioè: un termine è combinazione lineare dei due precedenti.
Lasciami chiamare ${a_n}$ la successione che hai mostrato nel primo messaggio, cioè
$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, ...$ = 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, ...
Lasciami anche premettere $a_0$ = 0.
Questa è ovviamente la "sequenza" che , per ricorrenza, è così definita:
$a_0=0$; $a_1 = 1$; Per ogni n naturale $a_(n+2) = 2·a_(n+1)+a(n)$.
Vediamo se esiste qualche progressione geometrica $1, x, x^2, x^3, ...$ che verifica la stessa legge di ricorrenza, cioè:
$x^(n+2) = 2·x^(n+1) + x^n$
Se si scarta la soluzione banale x = 0, di progressioni geometriche che soddisfano questa legge ce ne sono due:
$x = 1+sqrt2$ e $x= 1 - sqrt2$.
Infatti
• $(1 + sqrt2)^2 = 3+ 2sqrt2 = 2·(1 + sqrt2) + 1$:
• $(1 - sqrt2)^2 = 3- 2sqrt2 = 2·(1- sqrt2) + 1$.
Allora, in generale, che soddisfano la legge di ricorrenza:
$y_(n+2)=2·y_(n+1) + y_n$
sono tutte le possibili combinazioni lineari di quelle due progressioni geometriche, ossia:
$y_n = A·(1+sqrt2)^n + B·(1-sqrt2)^n$ (con A e B costanti arbitrarie).
La tua successione è il caso particolare in cui
$A·(1 + sqrt2)^0 + B·(1-sqrt2)^0 = A + B = 0$ e
$A·(1 + sqrt2)^1 + B·(1-sqrt2)^1 = (A + B) + (A-B)·sqrt2 = 1$
ossia il caso particolare con $A = sqrt2/4$ e $B = -A = -sqrt2/4$.
• Per ogni n intero $a_n = sqrt2/4((1+sqrt2)^n - (1-sqrt2)^n)$
------
I numeri:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...
li possiamo far saltare fuori in mille modi.
Per esempio, dall'equazione che ha per soluzioni $x = 1±sqrt2$, ossia $x^2 -2x -1 = 0$, possiamo ricavare l'equazione che dà la frazione continua generatrice di "uno più radice quadrata di due":
$x^2 - 2x - 1 = 0$ ⇔ $x = 2 + 1/x$ ⇔ $x=2 + 1/(2 + 1/x)$ ⇔ $x=2+1/(2+1/(2+1/x))$ ecc.
Rimettendo i membri di destra in forma di frazione semplice abbiamo:
$x = (1 + 2x)/(0 + x)$ ⇔ $x=(2 + 5x)/(1 + 2x$ ⇔ $x=(5 + 12x)/(2+5x)$ ⇔ $x=(12 + 29x)/(5+12x)$ ⇔ $(29 + 70x)/(12 + 29x)$; ...
In generale quindi:
$x = (a_(n+1)+a_(n+2)x)(a_n+a_(n+1)x)$.
E si può passare da una frazione alla successiva (avanzando di un passo nelle successione ${a_n}$) sostituendo x con $2+1/x$ dal momento che vale proprio l'uguaglianza: $x =2+1/ x$.
-------------
Una trattazione sintetica (di una pagina) delle "sequenze linearmente dipendenti" ho pubblicato già qui in "matematicamente.it".
Sta dentro alla "pagina" con ques0 URL: ––> https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 0&t=145219
E' un'immagine PNG che ho messo in rete (caricata su postimage.org/) e che vedi cliccando sul seguente link
––>Sequenze linearmente dipendenti
_______
In particolare ora stai elucubrando su quelle di ordine 2, cioè: un termine è combinazione lineare dei due precedenti.
Lasciami chiamare ${a_n}$ la successione che hai mostrato nel primo messaggio, cioè
$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, ...$ = 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, ...
Lasciami anche premettere $a_0$ = 0.
Questa è ovviamente la "sequenza" che , per ricorrenza, è così definita:
$a_0=0$; $a_1 = 1$; Per ogni n naturale $a_(n+2) = 2·a_(n+1)+a(n)$.
Vediamo se esiste qualche progressione geometrica $1, x, x^2, x^3, ...$ che verifica la stessa legge di ricorrenza, cioè:
$x^(n+2) = 2·x^(n+1) + x^n$
Se si scarta la soluzione banale x = 0, di progressioni geometriche che soddisfano questa legge ce ne sono due:
$x = 1+sqrt2$ e $x= 1 - sqrt2$.
Infatti
• $(1 + sqrt2)^2 = 3+ 2sqrt2 = 2·(1 + sqrt2) + 1$:
• $(1 - sqrt2)^2 = 3- 2sqrt2 = 2·(1- sqrt2) + 1$.
Allora, in generale, che soddisfano la legge di ricorrenza:
$y_(n+2)=2·y_(n+1) + y_n$
sono tutte le possibili combinazioni lineari di quelle due progressioni geometriche, ossia:
$y_n = A·(1+sqrt2)^n + B·(1-sqrt2)^n$ (con A e B costanti arbitrarie).
La tua successione è il caso particolare in cui
$A·(1 + sqrt2)^0 + B·(1-sqrt2)^0 = A + B = 0$ e
$A·(1 + sqrt2)^1 + B·(1-sqrt2)^1 = (A + B) + (A-B)·sqrt2 = 1$
ossia il caso particolare con $A = sqrt2/4$ e $B = -A = -sqrt2/4$.
• Per ogni n intero $a_n = sqrt2/4((1+sqrt2)^n - (1-sqrt2)^n)$
------
I numeri:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...
li possiamo far saltare fuori in mille modi.
Per esempio, dall'equazione che ha per soluzioni $x = 1±sqrt2$, ossia $x^2 -2x -1 = 0$, possiamo ricavare l'equazione che dà la frazione continua generatrice di "uno più radice quadrata di due":
$x^2 - 2x - 1 = 0$ ⇔ $x = 2 + 1/x$ ⇔ $x=2 + 1/(2 + 1/x)$ ⇔ $x=2+1/(2+1/(2+1/x))$ ecc.
Rimettendo i membri di destra in forma di frazione semplice abbiamo:
$x = (1 + 2x)/(0 + x)$ ⇔ $x=(2 + 5x)/(1 + 2x$ ⇔ $x=(5 + 12x)/(2+5x)$ ⇔ $x=(12 + 29x)/(5+12x)$ ⇔ $(29 + 70x)/(12 + 29x)$; ...
In generale quindi:
$x = (a_(n+1)+a_(n+2)x)(a_n+a_(n+1)x)$.
E si può passare da una frazione alla successiva (avanzando di un passo nelle successione ${a_n}$) sostituendo x con $2+1/x$ dal momento che vale proprio l'uguaglianza: $x =2+1/ x$.
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Una trattazione sintetica (di una pagina) delle "sequenze linearmente dipendenti" ho pubblicato già qui in "matematicamente.it".
Sta dentro alla "pagina" con ques0 URL: ––> https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 0&t=145219
E' un'immagine PNG che ho messo in rete (caricata su postimage.org/) e che vedi cliccando sul seguente link
––>Sequenze linearmente dipendenti
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Erasmus, ti ringrazio per questo impegnativo contributo.
Quella che esponi – immagino sia tua – è una teoria delle sequenze di numeri complessi. Rispetto ad essa le mie successioni di interi positivi (i.e. naturali) costituiscono un sottoinsieme ristretto. Però le proprietà che io intendo indagare sono quelle che si evidenziano nell’analisi di alcuni problemi. Anche se noti e arcinoti. Ad esempio. Perché ci si imbatte in Fibonacci? Perché si vuol capire qualcosa sulla sezione aurea. Perché ci si imbatte nella successione che ho inventato io ( o qualche ellenista prima di me)? Perché si vuol capire qualcosa che riguarda l’incommensurabile rapporto diagonale/lato. Il cuore del problema dell’origine dei numeri.
Quando ero ragazzo mi posi una domanda. La diagonale è incommensurabile col lato per colpa della irriducibile natura geometrica dei segmenti o per colpa dei numeri che vorrebbero rappresentarli? E poi l’incommensurabilità è di un solo tipo o di più tipi se si considera anche quella che c’è tra l’arco e la corda?
Certo, ci son stati fior di matematici che hanno costruito una risposta. Per esempio Cantor e Dedekind non ebbero dubbi. La colpa era dei numeri e diedero una risposta potente che tu conoscerai certamente. Ma per me il lato e la diagonale del quadrato, l’arco e la corda sono come la luna. Sempre avvolta in un candido alone di mistero anche quando qualcuno l’ha conquistata e raggiunta.
Riprendo il filo di sviluppo dalle ultime conclusioni.
Chiedo venia per aver sbagliato un pedice e ricomincio dal punto usato.
Diciamo che una successione di interi $”a”$ generata dalla formula ricorsiva:
$a_(n+1)=L*a_(n)+a_(n-1)$ determina un rapporto $a_(n+1)/a_(n)$ che converge al valore $(sqrt(L^2+4)-L)/2$.
Non c’è da stupirsi che trattandosi comunque di "sequenze linearmente dipendenti di ordine 2” - anche se limitate a “N” nel dominio di definizione e a “N” nel codominio - questo rapporto converga a uno degli zeri del polinomio caratteristico di ordine 2 i.e. $x^2-Lx-1=0$.
Questo vuol dire che il metodo originale che ho adoperato per trovare e dimostrare il limite verso cui converge la successione dei rapporti è coerente con un tipo di impostazione teorica completamente diversa.
La formula di ricorrenza è la chiave di tutto. Sto per esporre un problema di fisica in cui la successione generata dalla formula di ricorrenza non viene utilizzata per la convergenza ma per quello che è nel suo insieme. Ovvero una funzione di variabile discreta.
Ho adoperato finora formule ricorsive del tipo $a_(n+1)=L*a_(n)+K*a_(n-1)$ e ho posto sempre $K=1$. Se uno pone $L=2$ e $K=-1$ ottiene semplicemente la successione naturale dei numeri interi.
Ma se al posto di $ L=2$ si pone un razionale anche di poco minore di 2 si ottiene una successione di numeri razionali che oscillano apparentemente come una sinusoide.
Per esempio per L=1,99 e K=-1 si ottiene: 0; 1; 1,99; 2,9601; 3,900599 etc. il cui grafico è una sinusoide ( o appare tale).
C’è una spiegazione a tutto questo.
Quella che esponi – immagino sia tua – è una teoria delle sequenze di numeri complessi. Rispetto ad essa le mie successioni di interi positivi (i.e. naturali) costituiscono un sottoinsieme ristretto. Però le proprietà che io intendo indagare sono quelle che si evidenziano nell’analisi di alcuni problemi. Anche se noti e arcinoti. Ad esempio. Perché ci si imbatte in Fibonacci? Perché si vuol capire qualcosa sulla sezione aurea. Perché ci si imbatte nella successione che ho inventato io ( o qualche ellenista prima di me)? Perché si vuol capire qualcosa che riguarda l’incommensurabile rapporto diagonale/lato. Il cuore del problema dell’origine dei numeri.
Quando ero ragazzo mi posi una domanda. La diagonale è incommensurabile col lato per colpa della irriducibile natura geometrica dei segmenti o per colpa dei numeri che vorrebbero rappresentarli? E poi l’incommensurabilità è di un solo tipo o di più tipi se si considera anche quella che c’è tra l’arco e la corda?
Certo, ci son stati fior di matematici che hanno costruito una risposta. Per esempio Cantor e Dedekind non ebbero dubbi. La colpa era dei numeri e diedero una risposta potente che tu conoscerai certamente. Ma per me il lato e la diagonale del quadrato, l’arco e la corda sono come la luna. Sempre avvolta in un candido alone di mistero anche quando qualcuno l’ha conquistata e raggiunta.
Riprendo il filo di sviluppo dalle ultime conclusioni.
Chiedo venia per aver sbagliato un pedice e ricomincio dal punto usato.
Diciamo che una successione di interi $”a”$ generata dalla formula ricorsiva:
$a_(n+1)=L*a_(n)+a_(n-1)$ determina un rapporto $a_(n+1)/a_(n)$ che converge al valore $(sqrt(L^2+4)-L)/2$.
Non c’è da stupirsi che trattandosi comunque di "sequenze linearmente dipendenti di ordine 2” - anche se limitate a “N” nel dominio di definizione e a “N” nel codominio - questo rapporto converga a uno degli zeri del polinomio caratteristico di ordine 2 i.e. $x^2-Lx-1=0$.
Questo vuol dire che il metodo originale che ho adoperato per trovare e dimostrare il limite verso cui converge la successione dei rapporti è coerente con un tipo di impostazione teorica completamente diversa.
La formula di ricorrenza è la chiave di tutto. Sto per esporre un problema di fisica in cui la successione generata dalla formula di ricorrenza non viene utilizzata per la convergenza ma per quello che è nel suo insieme. Ovvero una funzione di variabile discreta.
Ho adoperato finora formule ricorsive del tipo $a_(n+1)=L*a_(n)+K*a_(n-1)$ e ho posto sempre $K=1$. Se uno pone $L=2$ e $K=-1$ ottiene semplicemente la successione naturale dei numeri interi.
Ma se al posto di $ L=2$ si pone un razionale anche di poco minore di 2 si ottiene una successione di numeri razionali che oscillano apparentemente come una sinusoide.
Per esempio per L=1,99 e K=-1 si ottiene: 0; 1; 1,99; 2,9601; 3,900599 etc. il cui grafico è una sinusoide ( o appare tale).
C’è una spiegazione a tutto questo.
Prima di esporre il problema di fisica volevo far notare a Erasmus che, almeno nel caso della “mia” successione non è necessario che tu determini le costanti $A$ e $B$ in base ai valori iniziali $0$ e $1$. Puoi scegliere una coppia di valori qualsiasi. Ovvero puoi scegliere $A$ e $B$ con criteri molto più larghi. Per esempio se scegli $A=1$ e $B=-1$ ottieni la successione $2,2,6,14,34 cdots $ il cui rapporto penultimo/ultimo converge sempre a $sqrt(2)-1$. Questo per il principio di “segregazione” – chiamiamolo così – che ho mostrato nel penultimo messaggio.
Ecco dunque il problema di fisica.
Un peso, immerso in un fluido è attaccato ad una molla. Equazione dell’oscillatore armonico smorzato.
Esprimiamo l’accelerazione come derivata della velocità e cerchiamo di risolvere l’equazione sostituendo il differenziale della velocità con la differenza finita. Il differenziale del tempo con la differenza finita $Delta t$.
Scriviamo l’equazione differenziale :
$R1cdots cdots mdv=-kxdt-betavdt+Cdt$
in cui $k$ è la costante elastica della forza di richiamo, $beta$ il coefficiente di viscosità della forza di attrito nel fluido, $C$ una forza costante qualsiasi che nel nostro caso è il peso. Il rapporto $k/m$ viene indicato con $omega^2$ perché rappresenta il quadrato di una pulsazione. Da tale equazione facciamo discendere:
$R2cdots cdots v_(2)-v_(1) = -omega^2x_(1)Delta t –beta/mv_(1)Delta t + C/mDelta t$
Si effettua il passo successivo considerando la velocità al terzo istante e quella al secondo istante; la relazione deve mantenere la stessa forma.
$R3cdots cdots v_(3)-v_(2) = -omega^2x_(2)Delta t –beta/mv_(2)Delta t + C/mDelta t$
Si ottengono due equazioni alle differenze finite che possono essere composte per sottrazione membro a membro ottenendo una relazione tra la velocità al terzo istante, quella al secondo istante e quella al primo. Nel passaggio la differenza $x_(2)-x_(1)$ viene approssimata da $ v_(2)Delta t$
Si ottiene:
$R4cdots cdots v_(3)= (2 -omega^2Delta t^2 –(beta)/m Delta t) v_(2) – (1–(beta)/m Delta t)v_(1)$
Una vera soddisfazione per me.
In questa formula viene evidenziato sia la possibilità di adattare – vedremo come - la formula di ricorrenza delle successioni alla grandezza fisica velocità sia un modello “fisico” interpretativo della “matematica” che stiamo indagando.
Infatti noi adesso vediamo in azione i due coefficienti $L$ e $K$ e finalmente abbiamo un modello per capire perché:
1) Se $ omega^2 =0$ e $ beta/m =0$ allora la successione/funzione delle velocità degenera in una semiretta
2) Se solo $ beta/m =0$ allora la successione/funzione delle velocità consiste in una sinusoide pura
3) Se $ omega^2 ne 0$ e $beta/m ne 0$ allora la successione/funzione delle velocità consiste in una sinusoide smorzata.
Ecco dunque il problema di fisica.
Un peso, immerso in un fluido è attaccato ad una molla. Equazione dell’oscillatore armonico smorzato.
Esprimiamo l’accelerazione come derivata della velocità e cerchiamo di risolvere l’equazione sostituendo il differenziale della velocità con la differenza finita. Il differenziale del tempo con la differenza finita $Delta t$.
Scriviamo l’equazione differenziale :
$R1cdots cdots mdv=-kxdt-betavdt+Cdt$
in cui $k$ è la costante elastica della forza di richiamo, $beta$ il coefficiente di viscosità della forza di attrito nel fluido, $C$ una forza costante qualsiasi che nel nostro caso è il peso. Il rapporto $k/m$ viene indicato con $omega^2$ perché rappresenta il quadrato di una pulsazione. Da tale equazione facciamo discendere:
$R2cdots cdots v_(2)-v_(1) = -omega^2x_(1)Delta t –beta/mv_(1)Delta t + C/mDelta t$
Si effettua il passo successivo considerando la velocità al terzo istante e quella al secondo istante; la relazione deve mantenere la stessa forma.
$R3cdots cdots v_(3)-v_(2) = -omega^2x_(2)Delta t –beta/mv_(2)Delta t + C/mDelta t$
Si ottengono due equazioni alle differenze finite che possono essere composte per sottrazione membro a membro ottenendo una relazione tra la velocità al terzo istante, quella al secondo istante e quella al primo. Nel passaggio la differenza $x_(2)-x_(1)$ viene approssimata da $ v_(2)Delta t$
Si ottiene:
$R4cdots cdots v_(3)= (2 -omega^2Delta t^2 –(beta)/m Delta t) v_(2) – (1–(beta)/m Delta t)v_(1)$
Una vera soddisfazione per me.
In questa formula viene evidenziato sia la possibilità di adattare – vedremo come - la formula di ricorrenza delle successioni alla grandezza fisica velocità sia un modello “fisico” interpretativo della “matematica” che stiamo indagando.
Infatti noi adesso vediamo in azione i due coefficienti $L$ e $K$ e finalmente abbiamo un modello per capire perché:
1) Se $ omega^2 =0$ e $ beta/m =0$ allora la successione/funzione delle velocità degenera in una semiretta
2) Se solo $ beta/m =0$ allora la successione/funzione delle velocità consiste in una sinusoide pura
3) Se $ omega^2 ne 0$ e $beta/m ne 0$ allora la successione/funzione delle velocità consiste in una sinusoide smorzata.
Esempio di applicazione della equazione del moto armonico
$R4cdots cdots v_(3)= (2 -omega^2Delta t^2 –(beta)/m Delta t) v_(2) – (1–(beta)/m Delta t)v_(1)$
Abbiamo un oscillatore costituito da una massa appesa ad una molla in un fluido viscoso qualsiasi.
Assumiamo come riferimento un asse verticale orientato verso l’alto, con origine nel centro di richiamo della forza elastica. Come forza costante rivolta verso il basso applicata al sistema consideriamo il semplice peso.
I dati sono:
massa m=1,0Kg
coefficiente elastico k =5 nw/mt
coefficiente d’attrito viscoso $beta$= 1,0 nw sec/mt
forza peso in newton rivolta verso il basso C =-1x9,8 nw
Da questi dati ricaviamo:
$omega$ = 2,24 rad/sec
$beta$/m = 1,0 nw sec/Kg mt
C/m = -9,80 nw/Kg
Per innescare la formula ricorsiva che genera la successione, occorre scegliere i primi due elementi. La scelta deve essere compatibile con le equazioni. Sappiamo che un’equazione differenziale del secondo ordine necessita di due costanti iniziali. Posizione e velocità.
Scegliamo quindi:
Posizione 10 mt
V1 iniziale 0,0 mt/sec
Deduciamo la V2 compatibilmente con l’equazione R2 che qui ripeto:
$R2cdots cdots v_(2)-v_(1) = -omega^2x_(1)Delta t –beta/mv_(1)Delta t + C/mDelta t$
Per farlo dobbiamo scegliere un intervallo di tempo (step) tale da rendere per noi soddisfacente il grafico della funzione. Se lo scegliamo troppo piccolo la rappresentazione in tabella diventa incredibilmente lunga e ci fa perdere la visione dell’andamento complessivo.
Comunque sta a noi deciderlo e perciò diciamo che va bene un passo di calcolo effettuato ogni 0,2 sec.
Con questa scelta avremo V2 = -11,96 mt/sec e, se uno bada bene alla R2 si accorge che a determinare il valore V2 concorre il $C/m$ ovvero la forza peso COSTANTE. Nella equazione R4 questo termine scompare ma i suoi effetti sono ben presenti in tutta la successione.
A questo punto possiamo determinare il valore che si sottrae al “2” nella R4. Ovvero il fattore L.
Analogamente possiamo calcolare il fattore K sempre nella R4.
Si ha L = 1,60 e K= -0,8.
Adesso la cosa si fa interessante. Vedremo il distendersi della sinusoide generata esclusivamente da numeri razionali senza nessun calcolo di seno o coseno o di esponenziale.
$R4cdots cdots v_(3)= (2 -omega^2Delta t^2 –(beta)/m Delta t) v_(2) – (1–(beta)/m Delta t)v_(1)$
Abbiamo un oscillatore costituito da una massa appesa ad una molla in un fluido viscoso qualsiasi.
Assumiamo come riferimento un asse verticale orientato verso l’alto, con origine nel centro di richiamo della forza elastica. Come forza costante rivolta verso il basso applicata al sistema consideriamo il semplice peso.
I dati sono:
massa m=1,0Kg
coefficiente elastico k =5 nw/mt
coefficiente d’attrito viscoso $beta$= 1,0 nw sec/mt
forza peso in newton rivolta verso il basso C =-1x9,8 nw
Da questi dati ricaviamo:
$omega$ = 2,24 rad/sec
$beta$/m = 1,0 nw sec/Kg mt
C/m = -9,80 nw/Kg
Per innescare la formula ricorsiva che genera la successione, occorre scegliere i primi due elementi. La scelta deve essere compatibile con le equazioni. Sappiamo che un’equazione differenziale del secondo ordine necessita di due costanti iniziali. Posizione e velocità.
Scegliamo quindi:
Posizione 10 mt
V1 iniziale 0,0 mt/sec
Deduciamo la V2 compatibilmente con l’equazione R2 che qui ripeto:
$R2cdots cdots v_(2)-v_(1) = -omega^2x_(1)Delta t –beta/mv_(1)Delta t + C/mDelta t$
Per farlo dobbiamo scegliere un intervallo di tempo (step) tale da rendere per noi soddisfacente il grafico della funzione. Se lo scegliamo troppo piccolo la rappresentazione in tabella diventa incredibilmente lunga e ci fa perdere la visione dell’andamento complessivo.
Comunque sta a noi deciderlo e perciò diciamo che va bene un passo di calcolo effettuato ogni 0,2 sec.
Con questa scelta avremo V2 = -11,96 mt/sec e, se uno bada bene alla R2 si accorge che a determinare il valore V2 concorre il $C/m$ ovvero la forza peso COSTANTE. Nella equazione R4 questo termine scompare ma i suoi effetti sono ben presenti in tutta la successione.
A questo punto possiamo determinare il valore che si sottrae al “2” nella R4. Ovvero il fattore L.
Analogamente possiamo calcolare il fattore K sempre nella R4.
Si ha L = 1,60 e K= -0,8.
Adesso la cosa si fa interessante. Vedremo il distendersi della sinusoide generata esclusivamente da numeri razionali senza nessun calcolo di seno o coseno o di esponenziale.
La formula di ricorrenza genera un moto armonico.
Nel post precedente ho considerato un peso legato mediante una molla a un punto origine. Il peso inizialmente è tenuto fermo sotto la tensione della molla, in alto, a 10 mt secondo un asse verticale orientato verso l’alto. Su di lui - finché è fermo – agiscono due forze. La forza peso di -9,8 Nw e la forza di richiamo elastica che in quel punto vale -50Nw. Nel momento in cui viene lasciato – senza spinta – si manifesta una forza d’attrito viscoso proporzionale alla velocità che man mano viene raggiunta. All’inizio è 0 perché è fermo, ma dopo 0,2 sec, quando la velocità ha raggiunto V2 = -11,96 mt/sec, tale terza forza vale +11,96 Nw ed è puntata verso l’alto.
Come mostrato nel post l’evoluzione successiva è guidata dalla formula di ricorrenza
$R5cdots cdots cdots V_(n+1)=1,60V_(n)-0,8V_(n-1)$
Da cui ricaviamo la successione di numeri razionali:
$0; -11,96; -19,136; -21,0496; -18,37056; -12,553216; -5,3886976; +1,42065664; cdots cdots $
In corrispondenza dei tempi: $0;0,2;0,4;0,6; 0,8;1,0; 1,2;1,4 cdots cdots cdots $
Nel grafico che segue in rosso è l’andamento della velocità istantanea e in verde la posizione del punto materiale. La posizione è ricavata semplicemente moltiplicando la velocità per lo step temporale più la posizione precedente.
$10,00;7,61;3,78;-0,43;-4,10;-6,61;-7,69 cdots cdots $
[asvg]width=550; // specifica la larghezza della figura (in pixel)
height=550; // specifica l'altezza della figura (in pixel)
setBorder(10);
initPicture(-0.5,5,-25,15);
axes(1,1, "labels", 1);
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
path([[0.0,0.00],[0.2,-11.96],[0.4,-19.136],[0.6,-21.0496],[0.8,-18.371],[1.0,-12.553],[1.2,-5.389],[1.4,1.420],[1.6,6.58],[1.8,9.398],[2.0,9.769],[2.2,8.11],[2.4,5.165],[2.6,1.774],[2.8,-1.294],[3.0,-3.489],[3.2,-4.548],[3.4,-4.485],[3.6,-3.538],[3.8,-2.072],[4.0,-0.485],[4.2,0.881], [4.4,1.798],[4.6,2.172],[4.8,2.037],[5.0,1.521]]);
stroke="green"; // seleziona il colore verde
path([[0.00,10.00],[0.20,7.61],[0.40,3.78],[0.60,-0.43],[0.80,-4.10],[1.00,-6.61],[1.20,-7.69],[1.40,-7.41],[1.60,-6.09],[1.80,-4.21],[2.00,-2.26],[2.20,-0.63],[2.40,0.40], [2.60,0.75],[2.80,0.49],[3.00,-0.20],[3.20,-1.11],[3.40,-2.01],[3.60,-2.72],[3.80,-3.13],[4.00,-3.23],[4.20,-3.05],[4.40,-2.69],[4.60,-2.26],[4.80,-1.85],[5.00,-1.55]]);[/asvg]
E’ veramente meraviglioso constatare con quanta semplicità ed eleganza si ottiene la soluzione generale dell’equazione armonica.
Tuttavia bisogna essere ben sicuri che il grafico ottenuto si sovrapponga a quello ottenuto mediante le funzioni sinusoidali. Il che comporta una valutazione critica che per il momento non intendo svolgere.
Mi preme far notare che se la pulsazione è zero insieme alla forza d’attrito viscoso la R5 diventa:
$R6cdots cdots cdots V_(n+1)=2*V_(n)-1*V_(n-1)$
Essa rappresenta una variazione costante della velocità decisa solo dai primi due valori. Ciò accade quando un corpo è soggetto esclusivamente a una forza costante e costituisce il cosiddetto moto uniformemente accelerato.
Nel post precedente ho considerato un peso legato mediante una molla a un punto origine. Il peso inizialmente è tenuto fermo sotto la tensione della molla, in alto, a 10 mt secondo un asse verticale orientato verso l’alto. Su di lui - finché è fermo – agiscono due forze. La forza peso di -9,8 Nw e la forza di richiamo elastica che in quel punto vale -50Nw. Nel momento in cui viene lasciato – senza spinta – si manifesta una forza d’attrito viscoso proporzionale alla velocità che man mano viene raggiunta. All’inizio è 0 perché è fermo, ma dopo 0,2 sec, quando la velocità ha raggiunto V2 = -11,96 mt/sec, tale terza forza vale +11,96 Nw ed è puntata verso l’alto.
Come mostrato nel post l’evoluzione successiva è guidata dalla formula di ricorrenza
$R5cdots cdots cdots V_(n+1)=1,60V_(n)-0,8V_(n-1)$
Da cui ricaviamo la successione di numeri razionali:
$0; -11,96; -19,136; -21,0496; -18,37056; -12,553216; -5,3886976; +1,42065664; cdots cdots $
In corrispondenza dei tempi: $0;0,2;0,4;0,6; 0,8;1,0; 1,2;1,4 cdots cdots cdots $
Nel grafico che segue in rosso è l’andamento della velocità istantanea e in verde la posizione del punto materiale. La posizione è ricavata semplicemente moltiplicando la velocità per lo step temporale più la posizione precedente.
$10,00;7,61;3,78;-0,43;-4,10;-6,61;-7,69 cdots cdots $
[asvg]width=550; // specifica la larghezza della figura (in pixel)
height=550; // specifica l'altezza della figura (in pixel)
setBorder(10);
initPicture(-0.5,5,-25,15);
axes(1,1, "labels", 1);
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
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E’ veramente meraviglioso constatare con quanta semplicità ed eleganza si ottiene la soluzione generale dell’equazione armonica.
Tuttavia bisogna essere ben sicuri che il grafico ottenuto si sovrapponga a quello ottenuto mediante le funzioni sinusoidali. Il che comporta una valutazione critica che per il momento non intendo svolgere.
Mi preme far notare che se la pulsazione è zero insieme alla forza d’attrito viscoso la R5 diventa:
$R6cdots cdots cdots V_(n+1)=2*V_(n)-1*V_(n-1)$
Essa rappresenta una variazione costante della velocità decisa solo dai primi due valori. Ciò accade quando un corpo è soggetto esclusivamente a una forza costante e costituisce il cosiddetto moto uniformemente accelerato.
Caro Erasmus.
Penso che quel che sto per esporre meriterà certamente un tuo gradito apprezzamento.
Tutto ciò che, post dopo post, ho esposto su questo argomento nasce da una successione che ho inventato io. Almeno così mi sembra, allo stato attuale delle mie conoscenze.
Questa successione di interi positivi è
$Q1$
E’ generata dalla formula di ricorrenza $Q2cdots cdots cdots a_(n+1)=2*a_(n)+a_(n-1)$ e da una scelta arbitraria iniziale dei primi due termini $a_(1)= 0 $ e $ a_(2)=1$
Passo a dimostrare due proprietà .
Consideriamo un insieme di 4 numeri legati tra loro dalla formula di ricorrenza Q2 appartenenti idealmente a una successione: $Q3cdots cdots cdots a_(n-1), a_(n),a_(n+1),a_(n+2)$.
Questo spezzone di successione, per evitare il noioso simbolismo con gli indici lo indicherò meglio con quattro lettere. $Q3cdots cdots cdots s,q,a,b$
Proprietà 1: In una successione di numeri REALI o INTERI di tipo Q3 generati dalla formula di ricorrenza Q2 si ha che: $as+bq=a^2+q^2$ che si può scrivere $as-q^2=-1(bq-a^2) = pm E$ in cui E è una costante il cui significato vedremo dopo.
Dimostrazione: Per sostituzione si ha: $as=2qs+s^2$
$bq=2aq+q^2$ da cui $as+bq= sa+2qa+q^2=a(2q+s)+q^2=a^2+q^2$
CDD
Proprietà 2: In una successione di numeri REALI di tipo Q3 linearmente dipendenti secondo la Q2 accade che se $Q4cdotscdotscdotsa+q=sqrt(2)*a$
allora anche i numeri s e q generati dalla formula di ricorrenza Q2 $a=2q+s$ soddisfano alla stessa equazione
$q+s=sqrt(2)*q$.
Nota bene che la $sqrt(2)$ è individuata da numeri positivi e perciò è di segno più senza ambiguità.
Ecco i passaggi:
I° membro della Q4 $a+q=2q+s+q$
II° membro della Q4 $sqrt(2)*a=sqrt(2)*2q+sqrt(2)s$
Se $2q+s+q=sqrt(2)*2q+sqrt(2)s$ allora $q=(sqrt(2)-1)*2q+(sqrt(2)-1)*s$ e quindi $(sqrt(2)+1)q=2q+s$ e poi $(sqrt(2)+1)q-q=q+s$ e infine $sqrt(2)*q=q+s$ CDD
Alla luce di queste due proprietà affrontiamo adesso il tema della convergenza della successione derivata dalla $Q1$ che chiamiamo $R$ perché ottenuta dai rapporti del tipo antecedente/successivo $R_(n) = a_(n)/a_(n+1)$.
Uno dei criteri generali di convergenza è dato dalla dimostrazione che la quantità $│R_(n-1)-R_(n)│$ possa essere resa infinitesima al crescere dell’indice n.
Usando il nostro simbolismo, si tratta di dimostrare che $│s/q-q/a│$ tende a zero. Il che si ottiene sviluppando la differenza $│s/q-q/a│ =│( as-q^2)/(aq)│$
Qui noi applichiamo la proprietà 1. $│as-q^2│= │pm E│=E$. Essa consente di evidenziare una COSTANTE che chiamiamo E il cui modulo è una caratteristica della successione. Il segno di tale costante non è determinabile per via simbolica, ovvero se non si conosce l’indice n o proprio i numeri effettivi. Ma poiché ai fini del criterio vale il modulo della differenza tra i rapporti, si ha che $│s/q-q/a│ =│( as-q^2)/(aq)│=E/(aq)$
Questo è sufficiente per dimostrare la convergenza poiché al crescere dell’indice della successione primitiva i valori a e q aumentano indefinitamente mentre il numeratore E resta lo stesso.
Il valore di E è fissato dalla prima coppia di numeri – interi o reali che siano - che viene scelta per creare la successione. Il suo peso relativo viene ridotto progressivamente. E’ ciò che ho chiamato principio di segregazione.
Vediamo alcuni esempi di terne iniziali.
Es. 1 $ 0,1,2 $ implica E = -1; Es. 2 $ 1,1,3 $ implica E = +2 Es. 3 $ 2,1,4 $ implica E = +7
Es. 4 $ 1,0,1 $ implica E = +1; Es. 5 $ 2,0,2 $ implica E = +4
Es. 6 già visto precedentemente $ 5,2,9 $ implica E = +41
Dalla semplice esperienza si può notare che non è possibile avviare una successione di INTERI con errore E =0.
Gli interi possono dar luogo a dei rapporti convergenti a un limite reale, ma non possono evitare di contenere un errore, una specie di peccato originale, fin dalla prima terna.
In compenso, visto che non c’è limite all’entità dell’errore originale si può avviare la successione con una scelta completamente arbitraria di due interi (positivi in questo nostro contesto).
Una volta commesso l’errore originale arrangiando la prima terna, lo sviluppo della successione provvederà a ridurlo sempre di più – in altre parole segregandolo nei primi termini - fino ad ottenere un rapporto di convergenza quasi perfetto ovvero perfetto fin che si vuole.
D’altra parte se noi avessimo già due numeri REALI tali che $a+q=sqrt(2)*a$ in base alla seconda proprietà potremmo sempre derivare altri due precursori tali che $q+s=sqrt(2)*q$.
Di conseguenza dalle due uguaglianze si avrebbe $(a+q)/a=(q+s)/q$ e dunque $q/a=s/q$ e quindi E = 0. Possiamo quindi pensare che si possa costruire una successione di numeri reali con errore zero fin dall’inizio. Insomma una successione che mantiene una catena di rapporti di tipo antecedente/successivo tutti uguali e perfetti.
Per generare la terna iniziale abbiamo due possibilità-
Prima possibilità: Scegliamo il primo numero che chiamiamo “p”, il secondo lo chiamiamo “x” e il terzo, generato dalla ricorrenza, sarà $ 2x+p$. La terna deve soddisfare la prima proprietà con E= 0. Perciò $E=(2x+p)*p-x^2 =0$ implica $x= p(sqrt(2)+1)$. La terna è $p,p(sqrt(2)+1), 2p(sqrt(2)+1)+p$
NB. Dobbiamo rifiutare il segno – davanti alla radice che renderebbe negativa tutta la soluzione. Il che, ripeto, non è compatibile con una successione di numeri Reali o interi POSTIVI.
Seconda possibilità: Scegliamo il primo numero che chiamiamo “x”, il secondo lo chiamiamo “p” e il terzo, generato dalla ricorrenza, sarà $ 2p+x$. Perciò $E=(2x+p)*p-x^2 =0$ implica $x= p(sqrt(2)-1)$. La terna è $p(sqrt(2)-1), p, 2p +p(sqrt(2)-1)$
NB. Dobbiamo sempre rifiutare il segno – davanti alla radice.
Esempio numerico:
Se il primo numero scelto da noi vale 1, il secondo lo chiamiamo x e il terzo, generato dalla ricorrenza, vale $2x+1$, la terna che soddisfa il criterio di E= 0 è: $1,(1+sqrt(2)), 3+2sqrt(2)$.
Nel prossimo post mi riprometto di generalizzare le due proprietà che ho esposto oggi.
Se continuate a seguirmi, scopriremo insieme vere e proprie magie dei numeri interi.
Penso che quel che sto per esporre meriterà certamente un tuo gradito apprezzamento.
Tutto ciò che, post dopo post, ho esposto su questo argomento nasce da una successione che ho inventato io. Almeno così mi sembra, allo stato attuale delle mie conoscenze.
Questa successione di interi positivi è
$Q1$
$ 0,1,2,5,12,29,70, 169, cdots cdots cdots$
E’ generata dalla formula di ricorrenza $Q2cdots cdots cdots a_(n+1)=2*a_(n)+a_(n-1)$ e da una scelta arbitraria iniziale dei primi due termini $a_(1)= 0 $ e $ a_(2)=1$
Passo a dimostrare due proprietà .
Consideriamo un insieme di 4 numeri legati tra loro dalla formula di ricorrenza Q2 appartenenti idealmente a una successione: $Q3cdots cdots cdots a_(n-1), a_(n),a_(n+1),a_(n+2)$.
Questo spezzone di successione, per evitare il noioso simbolismo con gli indici lo indicherò meglio con quattro lettere. $Q3cdots cdots cdots s,q,a,b$
Proprietà 1: In una successione di numeri REALI o INTERI di tipo Q3 generati dalla formula di ricorrenza Q2 si ha che: $as+bq=a^2+q^2$ che si può scrivere $as-q^2=-1(bq-a^2) = pm E$ in cui E è una costante il cui significato vedremo dopo.
Dimostrazione: Per sostituzione si ha: $as=2qs+s^2$
$bq=2aq+q^2$ da cui $as+bq= sa+2qa+q^2=a(2q+s)+q^2=a^2+q^2$
CDD
Proprietà 2: In una successione di numeri REALI di tipo Q3 linearmente dipendenti secondo la Q2 accade che se $Q4cdotscdotscdotsa+q=sqrt(2)*a$
allora anche i numeri s e q generati dalla formula di ricorrenza Q2 $a=2q+s$ soddisfano alla stessa equazione
$q+s=sqrt(2)*q$.
Nota bene che la $sqrt(2)$ è individuata da numeri positivi e perciò è di segno più senza ambiguità.
Ecco i passaggi:
I° membro della Q4 $a+q=2q+s+q$
II° membro della Q4 $sqrt(2)*a=sqrt(2)*2q+sqrt(2)s$
Se $2q+s+q=sqrt(2)*2q+sqrt(2)s$ allora $q=(sqrt(2)-1)*2q+(sqrt(2)-1)*s$ e quindi $(sqrt(2)+1)q=2q+s$ e poi $(sqrt(2)+1)q-q=q+s$ e infine $sqrt(2)*q=q+s$ CDD
Alla luce di queste due proprietà affrontiamo adesso il tema della convergenza della successione derivata dalla $Q1$ che chiamiamo $R$ perché ottenuta dai rapporti del tipo antecedente/successivo $R_(n) = a_(n)/a_(n+1)$.
Uno dei criteri generali di convergenza è dato dalla dimostrazione che la quantità $│R_(n-1)-R_(n)│$ possa essere resa infinitesima al crescere dell’indice n.
Usando il nostro simbolismo, si tratta di dimostrare che $│s/q-q/a│$ tende a zero. Il che si ottiene sviluppando la differenza $│s/q-q/a│ =│( as-q^2)/(aq)│$
Qui noi applichiamo la proprietà 1. $│as-q^2│= │pm E│=E$. Essa consente di evidenziare una COSTANTE che chiamiamo E il cui modulo è una caratteristica della successione. Il segno di tale costante non è determinabile per via simbolica, ovvero se non si conosce l’indice n o proprio i numeri effettivi. Ma poiché ai fini del criterio vale il modulo della differenza tra i rapporti, si ha che $│s/q-q/a│ =│( as-q^2)/(aq)│=E/(aq)$
Questo è sufficiente per dimostrare la convergenza poiché al crescere dell’indice della successione primitiva i valori a e q aumentano indefinitamente mentre il numeratore E resta lo stesso.
Il valore di E è fissato dalla prima coppia di numeri – interi o reali che siano - che viene scelta per creare la successione. Il suo peso relativo viene ridotto progressivamente. E’ ciò che ho chiamato principio di segregazione.
Vediamo alcuni esempi di terne iniziali.
Es. 1 $ 0,1,2 $ implica E = -1; Es. 2 $ 1,1,3 $ implica E = +2 Es. 3 $ 2,1,4 $ implica E = +7
Es. 4 $ 1,0,1 $ implica E = +1; Es. 5 $ 2,0,2 $ implica E = +4
Es. 6 già visto precedentemente $ 5,2,9 $ implica E = +41
Dalla semplice esperienza si può notare che non è possibile avviare una successione di INTERI con errore E =0.
Gli interi possono dar luogo a dei rapporti convergenti a un limite reale, ma non possono evitare di contenere un errore, una specie di peccato originale, fin dalla prima terna.
In compenso, visto che non c’è limite all’entità dell’errore originale si può avviare la successione con una scelta completamente arbitraria di due interi (positivi in questo nostro contesto).
Una volta commesso l’errore originale arrangiando la prima terna, lo sviluppo della successione provvederà a ridurlo sempre di più – in altre parole segregandolo nei primi termini - fino ad ottenere un rapporto di convergenza quasi perfetto ovvero perfetto fin che si vuole.
D’altra parte se noi avessimo già due numeri REALI tali che $a+q=sqrt(2)*a$ in base alla seconda proprietà potremmo sempre derivare altri due precursori tali che $q+s=sqrt(2)*q$.
Di conseguenza dalle due uguaglianze si avrebbe $(a+q)/a=(q+s)/q$ e dunque $q/a=s/q$ e quindi E = 0. Possiamo quindi pensare che si possa costruire una successione di numeri reali con errore zero fin dall’inizio. Insomma una successione che mantiene una catena di rapporti di tipo antecedente/successivo tutti uguali e perfetti.
Per generare la terna iniziale abbiamo due possibilità-
Prima possibilità: Scegliamo il primo numero che chiamiamo “p”, il secondo lo chiamiamo “x” e il terzo, generato dalla ricorrenza, sarà $ 2x+p$. La terna deve soddisfare la prima proprietà con E= 0. Perciò $E=(2x+p)*p-x^2 =0$ implica $x= p(sqrt(2)+1)$. La terna è $p,p(sqrt(2)+1), 2p(sqrt(2)+1)+p$
NB. Dobbiamo rifiutare il segno – davanti alla radice che renderebbe negativa tutta la soluzione. Il che, ripeto, non è compatibile con una successione di numeri Reali o interi POSTIVI.
Seconda possibilità: Scegliamo il primo numero che chiamiamo “x”, il secondo lo chiamiamo “p” e il terzo, generato dalla ricorrenza, sarà $ 2p+x$. Perciò $E=(2x+p)*p-x^2 =0$ implica $x= p(sqrt(2)-1)$. La terna è $p(sqrt(2)-1), p, 2p +p(sqrt(2)-1)$
NB. Dobbiamo sempre rifiutare il segno – davanti alla radice.
Esempio numerico:
Se il primo numero scelto da noi vale 1, il secondo lo chiamiamo x e il terzo, generato dalla ricorrenza, vale $2x+1$, la terna che soddisfa il criterio di E= 0 è: $1,(1+sqrt(2)), 3+2sqrt(2)$.
Nel prossimo post mi riprometto di generalizzare le due proprietà che ho esposto oggi.
Se continuate a seguirmi, scopriremo insieme vere e proprie magie dei numeri interi.
Una proprietà generale di queste successioni
Riprendo il discorso lasciato nel post precedente e ringrazio chi mi ha seguito fin qui.
Consideriamo una successione di numeri qualsiasi generate da un formula di ricorrenza del tipo:
$R1cdots cdots cdots a_(n+1)=L*a_(n)+K*a_(n-1)$ in cui $L$ e $K$ sono due parametri non necessariamente interi
e da una scelta arbitraria iniziale dei primi due termini $a_(1)$ e $ a_(2)$
Dati quattro elementi consecutivi della successione si ha sempre:
$K* a_(n)*a_(n+2)-K* a_(n+1)^2+a_(n+1) a_(n+3)-a_(n+2)^2= 0$
La dimostrazione, non difficile, la lascio a voi che mi leggete.
Esempio n. 1 $L=5; K=2$ scelta iniziale $ a_(1)=0; a_(2)=1$
Incipit della successione $0;1;5;27;145; 779; 4185; cdots cdots cdots $
Scegliamo la quaterna $a_(1);a_(2);a_(3);a_(4)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(1)*a_(3)-K* a_(2)^2+a_(2) a_(4)-a_(3)^2 = 2*(0*5-1^2)+(1*27-5^2) = -2 +2 =0 $
Scegliamo la quaterna $a_(2);a_(3);a_(4);a_(5)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(2)*a_(4)-K* a_(3)^2+a_(3) a_(5)-a_(4)^2 = 2*(1*27-5^2)+(5*145-27^2) = 4 -4 =0 $
Esempio n. 2 $L=5; K=2$ scelta iniziale $ a_(1)=1; a_(2)=0$
Incipit della successione $1;0;2;10;54; 290; 1558; cdots cdots cdots $
Scegliamo la quaterna $a_(1); a_(2); a_(3); a_(4)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(1)*a_(3)-K* a_(2)^2+a_(2) a_(4)-a_(3)^2 = 2*(1*2-0^2)+(0*10-2^2) = 4-4 =0 $
Scegliamo la quaterna $a_(2); a_(3);a_(4);a_(5)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(2)*a_(4)-K* a_(3)^2+a_(3) a_(5)-a_(4)^2 = 2*(0*10-2^2)+(2*54-10^2) = -8+8 =0 $
Riprendo il discorso lasciato nel post precedente e ringrazio chi mi ha seguito fin qui.
Consideriamo una successione di numeri qualsiasi generate da un formula di ricorrenza del tipo:
$R1cdots cdots cdots a_(n+1)=L*a_(n)+K*a_(n-1)$ in cui $L$ e $K$ sono due parametri non necessariamente interi
e da una scelta arbitraria iniziale dei primi due termini $a_(1)$ e $ a_(2)$
Dati quattro elementi consecutivi della successione si ha sempre:
$K* a_(n)*a_(n+2)-K* a_(n+1)^2+a_(n+1) a_(n+3)-a_(n+2)^2= 0$
La dimostrazione, non difficile, la lascio a voi che mi leggete.
Esempio n. 1 $L=5; K=2$ scelta iniziale $ a_(1)=0; a_(2)=1$
Incipit della successione $0;1;5;27;145; 779; 4185; cdots cdots cdots $
Scegliamo la quaterna $a_(1);a_(2);a_(3);a_(4)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(1)*a_(3)-K* a_(2)^2+a_(2) a_(4)-a_(3)^2 = 2*(0*5-1^2)+(1*27-5^2) = -2 +2 =0 $
Scegliamo la quaterna $a_(2);a_(3);a_(4);a_(5)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(2)*a_(4)-K* a_(3)^2+a_(3) a_(5)-a_(4)^2 = 2*(1*27-5^2)+(5*145-27^2) = 4 -4 =0 $
Esempio n. 2 $L=5; K=2$ scelta iniziale $ a_(1)=1; a_(2)=0$
Incipit della successione $1;0;2;10;54; 290; 1558; cdots cdots cdots $
Scegliamo la quaterna $a_(1); a_(2); a_(3); a_(4)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(1)*a_(3)-K* a_(2)^2+a_(2) a_(4)-a_(3)^2 = 2*(1*2-0^2)+(0*10-2^2) = 4-4 =0 $
Scegliamo la quaterna $a_(2); a_(3);a_(4);a_(5)$
Calcoliamo quindi: $ K*a_(2)*a_(4)-K* a_(3)^2+a_(3) a_(5)-a_(4)^2 = 2*(0*10-2^2)+(2*54-10^2) = -8+8 =0 $
"Vincenzo10":Tu qui con la parola "valori" intendi in realtà "indici".
[...] volevo far notare [...] che, almeno nel caso della “mia” successione non è necessario che tu determini le costanti $A$ e $B$ in base ai valori iniziali $0$ e $1$. Puoi scegliere una coppia di valori qualsiasi.
Certo: servono termini della "successione" di indice distinto, non conta che siano quelli di indice 0 e 1 e nemmeno che siano consecutivi. Si tratta infatti di risolvere un sistema lineare le cui soluzioni non cambiano cambiando gli indici dei termini considerati (purché si tratti di "sequenza linearmente dipendente").
Occho: tu continui ad usare la parola "successione" ... che è anche appropriata se, come fai, consideri sempre indici naturali.
Ma le tue "successioni" sono ... "mezze sequenze".
[Sai che io con "sequenza" intendo una infinità di numeri in corrispondenza biunivoca con gli interi $ZZ$, interi negativi compresi].
Infatti, tutti gli esempi che fai sono sfilze di interi estendibili anche a sinistra, con indice negativo da $-1$ a $-∞$. Per esempio la tua "successione" iniziale:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...
è caratterizzata dalla legge di ricorrenza
$a_(n+2) = 2·a_(n+1) + a_n$ (che è valida $∀n ∈ NN$, ma che va bene anche $∀n∈ZZ$).
A parole: dati tre termini in fila della sequenza, il terzo la somma del primo e del doppio del secondo.
Sicché da due termini consecutivi puoi andare "in avanti" a piacere un termine alla volta.
Ma la stessa legge si può dire anche così: dati tre termini in fila, il primo è la differenza tra il terzo ed il doppio del secondo.
E allora da due termini consecutivi puoi anche andare "all'indietro" a piacere un termine alla volta.
Nell'esempio in corso, prolungando a sinistra la tua "mezza sequenza" si trova che per indice negativo i termini della "mezza sequenza" di sinistra "sequenza" hanno segno alterno:
$∀n∈NN$ $a_(-n) = -(-1)^n·a_n$;
$... 169, -70, 29, -12, 5, -2, 1, 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 129, ...$.
Nel caso di "ordine 2" , – diciamo $a_(n+2) = α·a_(n+1) + β·a_n$, $n$ intero ed autovalori distinti – si scelgono i termini consecutivi $a_0, a_1$ solo perché sono i più comodi (non c'è da fare potenze di $x_(1,2)=(α ± sqrt(α^2+4β))/2$).
[Ti faccio notare che – sempre nel caso del 2° ordine – se gli autovalori $x_1$ e $x_2$ non sono distinti, diciasmo se $x_1 = x_2 = k ≠ 0$ – la soluzione generale non è del tipo
$a_n = A·x_1^n + B·x_2^n$
bensì del tipo
$a_n = (A + B·n)·k^n$, (dove k è l'unico autovalore).
In particolare, per $k=1$ – cioè per legge di ricorrenza $∀n∈ZZ$ $a_(n+2)=2·a_(n+1) - a_n$ – la soluzione è del tipo
$a_n = A+n·B$ (si riduce cioè ad una progressione aritmetica di ragione B).
"Vincenzo10":
[...] una successione di interi [...] generata dalla formula B:
$a_(n+1)=L*a_(n)+a_(n-1)$ determina un rapporto $a_(n)/a_(n-1)$ che converge al valore $(sqrt(L^2+4)-L)/2$.
Occhio ai segni! $(sqrt(L^2+4)+L)/2$.
Dalla legge di ricorrenza $a_(n+1)=L*a_n+a_(n-1)$ viene il polinomio caratteristico
$x^2 - L·x - 1$
i cui autovalori sono
$x_1=(L + sqrt(L^2+4))/2$; $x_2=(L - sqrt(L^2+4))/2$.
Pertanto la soluzione generale è del tipo
$a_n = A·((L+sqrt(L^2+4))/2)^n + B((L-sqrt(L^2+4))/2)^n$.
Vedi che questa – come deve essere in generale – è la somma di due progressioni geometriche, una di ragione $x_1$ e l'altra di ragione $x_2$.
Se il prodotto dei due autovalori è 1 oppure –1 ed uno dei due è positivo e aggiore di 1, l'altro deve essere di modulo minore di 1. Allora una progressione cresce e diverge, l'altra invece è infinitesima (tende a zero). A lungo andare la prima è dominante; ed il rapporto tra un termine ed il precedente tende alla ragione della progressione geometrica dominante, cioè all'autovalore maggiore di 1.
Nel caso B che menzioni tu appunto $(sqrt(L^2+4)+L)/2$.
"Vincenzo10":Non è proprio così!
[...] formule ricorsive del tipo $a_(n+1)=L⋅a_n+K⋅a_(n−1)$ [...]. Se uno pone $L=2$ e $K=−$1 ottiene semplicemente la successione naturale dei numeri interi.
Ho già fatto notare, più sopra, che le "sequenze linearmente dipendenti di ordine 2" con un solo autovalore (di molteplicità 2) – diciamolo $k ≠ 0$– sono in generale del tipo
$a_n = (A + n·B)·k^n$
e pertanto, se in particolare è $k = 1$, si riducono a progressioni aritmetiche di ragione B.
Per esempio:
$... –14, -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...$
verifica la legge di ricorrenza
$∀n∈ZZ a_(n+1) = 2·a_n – 1·a_(n-1)$
ma non è la "successione dei naturali".
Vedi che è comunque una progressione aritmetica.
Ovviamente, se imponi che due termini consecutivi siano interi ed il secondo sia un'unità maggiore del primo, la ragione della progressione aritmetica è 1, tutti i termini sono interi e pertando si tratta proprio della sequenza degli interi $ZZ$ (la quale subordina la successione dei naturali a partire dal termine che vale "0" [al quale puoi assegnare un arbitrario indicescelto a piacere tra gli interi $ZZ$]).
–––––––
Ho dato un'occhiata a tutte le tue "successioni", e vedo che sono tutte esempi di "sequenze linearmente dipendenti" (in particolare "di ordine 2") .
Ciao ciao.
Mi ha fatto piacere leggere il post di Erasmus dopo mesi che non mi ero dedicato a questo tema e che pensavo di non più riprendere sia per esaurimento del tema e sia perché non riesco a trovare un’applicazione interessante di queste successioni. Ho qualcosa in testa ma non mi quadra.
Erasmus. Stavolta hai messo giù, per me, un notevole impegno e ti ringrazio veramente.
In questi ultimi mesi, tra le faccende di famiglia, non ho studiato come bene avrei voluto, la teoria delle tue sequenze linearmente dipendenti; almeno quel che si legge nel documento che hai inserito qui nel post del 9/10/16. Però ora ho ripreso a interessarmene proprio perché la mia teoria è “immersa” in quella tua che è più generale.
Per quanto riguarda aspetti molto particolari che non capisco, vorrei parlartene “in privato” solo per non inzeppare inutilmente la successione di post che hanno finora caratterizzato questo tema.
Di nuovo grazie.
Erasmus. Stavolta hai messo giù, per me, un notevole impegno e ti ringrazio veramente.
In questi ultimi mesi, tra le faccende di famiglia, non ho studiato come bene avrei voluto, la teoria delle tue sequenze linearmente dipendenti; almeno quel che si legge nel documento che hai inserito qui nel post del 9/10/16. Però ora ho ripreso a interessarmene proprio perché la mia teoria è “immersa” in quella tua che è più generale.
Per quanto riguarda aspetti molto particolari che non capisco, vorrei parlartene “in privato” solo per non inzeppare inutilmente la successione di post che hanno finora caratterizzato questo tema.
Di nuovo grazie.
Mi sono dedicato alle successioni di numeri interi, possibilmente positivi, per risolvere problemi come questo. Calcolare le cifre del pi greco con un algoritmo efficiente.
Un giorno, per varie ragioni, ho pensato di usare la tangente di angoli sempre più piccoli per approssimarne l’arco corrispondente secondo il seguente schema:
Ora a partire dalla figura è facile costruire una ricorrenza del tipo $ a_(n+1)=sqrt(a_(n)^2+1) + a_(n)$ con $ a_(0)=1$ con la quale generare quei numeri reali che sono rappresentati come punti $B; C; D; E; cdots $ sull’asse orizzontale. Se ogni punto viene immaginato come centro di una circonferenza passante per l’origine si ricava che il segmento unitario verticale ne è la tangente.
Si tratta di una tangente fissa di valore 1 per circonferenze sempre più grandi di raggio $a_0; a_1; cdots a_n$ . Perciò se decido di fermarmi a “N” avrò: 1) che l’angolo corrispondente sarà un dimezzamento di grado N dell’angolo unitario ( per noi quello di 45 gradi); 2) che $2^N$ segmenti di lunghezza 1 costituiranno un inviluppo dell’arco costituito da $2^N$ angoli elementari; 3) che questo inviluppo lungo $2^N$ unità metriche prescelte è una misura approssimata dell’arco corrispondente all’angolo unitario (di 45 gradi) e 4) che il rapporto $2^N/a_N$ tende proprio alla costante $pi/4$.
Perciò tutto sta a costruire la successione $ a_(n+1)=sqrt(a_(n)^2+1) + a_(n)$ e fermarla a un certo punto.
Vorrei usare un foglio di calcolo excel. Osservo che in un foglio excel su un PC commerciale ordinario il calcolo delle radici quadrate si ferma a 15 cifre significative (parte intera e parte decimale) e se ammettiamo che questa quantità di informazione dovrebbe essere sempre mantenuta dagli algoritmi del computer, possiamo pensare che la successione fornita dal foglio excel sia relativamente “perfetta” ovvero esente da errori almeno- per quel che ci basta - nelle prime tre cifre decimali.
Esse sono ( esponendo solo tre cifre (per troncamento) nei decimali) :
$1;2,414; 5,027; 10,153; 20,355; 40,735 cdots cdots $
Ribadisco che in ognuno dei passaggi intermedi l’algoritmo del computer taglia il numero di input a 15 cifre, e ferma il suo algoritmo a un numero a 15 cifre in output. Concettualmente questo è un errore perché taglia tutta l’informazione contenuta nelle cifre successive, ma per quel che riguarda il mio esempio si può ben ammettere che 1) relativamente alle prime tre cifre decimali NON CI SIA alcun errore di approssimazione in ogni singolo termine della successione e 2) che il numero di termini della successione ( 5 termini decimali ) sia sufficientemente piccolo da non creare errore di accumulazione nel termine finale.
Adesso prendiamo nota di quel che abbiamo ottenuto calcolando la successione fino al termine num. 5.
Il rapporto tra $2^5=32$ e $a_5=40,735…..$ - secondo il computer (a 15 cifre) è 0,785555907485614000000
NB la filza di zeri finali è solo per mostrare che non c'è più calcolo dopo la quindicesima cifra.
A questo punto ho pensato di fare una simulazione di come andrebbero le cose se si usasse un algoritmo per le radici quadrate - perfetto in sé - ma in grado di lavorare solo con numeri a due cifre decimali sia in input che in output. Ho pensato che un algoritmo a 15 cifre possa essere considerato sufficientemente perfetto e preciso per questo tipo di calcolo “ridotto”.
Ho ottenuto:
$1; 2,41; 5,01; 10,11; 20,26; 40,54$
In cui, voglio chiarire, ogni termine è ottenuto utilizzando solo le due cifre esposte del termine precedente e troncando “a mano” il termine di output (i.e. il successivo) alle prime due cifre decimali.
Naturalmente qui si può vedere che il termine $40,54$ è diverso da quello della prima successione di riferimento che è $40,735$ e uno si può chiedere se questa differenza potrebbe essere riassorbita dal progredire della successione stessa. Domanda ingenua ma comprensibile.
La risposta è che non solo l’errore di approssimazione sui decimali non viene riassorbito ma la successione converge a un altro numero definitivamente.
In pratica abbiamo:
1) Il numero che il computer espone per conto suo per $pi/4$ è $0,7853981633974480000$ e, per noi, è il riferimento “vero”.
2) Il numero della successione di riferimento ( a 15 cifre) calcolata dal computer al 5° termine è $0,7855559074856140000$
3) Il numero della successione a 2 cifre calcolata al 5° termine è $0,7893438579181060000$
4) il numero a cui tende la successione a 2 cifre sembra essere $0,7892465162165500000$
Cioè risulta un errore “definitivo” già sulla terza cifra decimale. Inoltre questo valore dal sesto step in poi non evolve più e si fissa lì.
Con questo esempio ho messo in evidenza qualcosa che tutti i matematici sanno.
Cioè che le successioni di numeri reali non possono convergere a un numero reale se non in modo simbolico. Se uno vuole utilizzare i numeri “a cifre” deve stabilire “a priori” a) quanti termini della successione gli occorrono b) di quante cifre ogni termine deve esser composto perché il troncamento non influisca sul risultato finale.
Nel caso di pi greco come di un qualunque numero reale, non è un problema di poco conto poiché si tratta di trovare una regola di troncamento che riguardi, per dirla in sintesi, un numero di “infiniti procedimenti infinitamente lunghi”.
Nel prossimo post svilupperò considerazioni sulla serie di Taylor e vi porterò man mano ad amare i numeri interi perché, come vi ho fatto vedere, il calcolo con cui si vorrebbe determinare un numero reale è strutturalmente incompleto. E questo genera l'enorme difficoltà pratica di utilizzarlo in procedure sequenziali costituite da termini di numeri reali.
Un giorno, per varie ragioni, ho pensato di usare la tangente di angoli sempre più piccoli per approssimarne l’arco corrispondente secondo il seguente schema:
Ora a partire dalla figura è facile costruire una ricorrenza del tipo $ a_(n+1)=sqrt(a_(n)^2+1) + a_(n)$ con $ a_(0)=1$ con la quale generare quei numeri reali che sono rappresentati come punti $B; C; D; E; cdots $ sull’asse orizzontale. Se ogni punto viene immaginato come centro di una circonferenza passante per l’origine si ricava che il segmento unitario verticale ne è la tangente.
Si tratta di una tangente fissa di valore 1 per circonferenze sempre più grandi di raggio $a_0; a_1; cdots a_n$ . Perciò se decido di fermarmi a “N” avrò: 1) che l’angolo corrispondente sarà un dimezzamento di grado N dell’angolo unitario ( per noi quello di 45 gradi); 2) che $2^N$ segmenti di lunghezza 1 costituiranno un inviluppo dell’arco costituito da $2^N$ angoli elementari; 3) che questo inviluppo lungo $2^N$ unità metriche prescelte è una misura approssimata dell’arco corrispondente all’angolo unitario (di 45 gradi) e 4) che il rapporto $2^N/a_N$ tende proprio alla costante $pi/4$.
Perciò tutto sta a costruire la successione $ a_(n+1)=sqrt(a_(n)^2+1) + a_(n)$ e fermarla a un certo punto.
Vorrei usare un foglio di calcolo excel. Osservo che in un foglio excel su un PC commerciale ordinario il calcolo delle radici quadrate si ferma a 15 cifre significative (parte intera e parte decimale) e se ammettiamo che questa quantità di informazione dovrebbe essere sempre mantenuta dagli algoritmi del computer, possiamo pensare che la successione fornita dal foglio excel sia relativamente “perfetta” ovvero esente da errori almeno- per quel che ci basta - nelle prime tre cifre decimali.
Esse sono ( esponendo solo tre cifre (per troncamento) nei decimali) :
$1;2,414; 5,027; 10,153; 20,355; 40,735 cdots cdots $
Ribadisco che in ognuno dei passaggi intermedi l’algoritmo del computer taglia il numero di input a 15 cifre, e ferma il suo algoritmo a un numero a 15 cifre in output. Concettualmente questo è un errore perché taglia tutta l’informazione contenuta nelle cifre successive, ma per quel che riguarda il mio esempio si può ben ammettere che 1) relativamente alle prime tre cifre decimali NON CI SIA alcun errore di approssimazione in ogni singolo termine della successione e 2) che il numero di termini della successione ( 5 termini decimali ) sia sufficientemente piccolo da non creare errore di accumulazione nel termine finale.
Adesso prendiamo nota di quel che abbiamo ottenuto calcolando la successione fino al termine num. 5.
Il rapporto tra $2^5=32$ e $a_5=40,735…..$ - secondo il computer (a 15 cifre) è 0,785555907485614000000
NB la filza di zeri finali è solo per mostrare che non c'è più calcolo dopo la quindicesima cifra.
A questo punto ho pensato di fare una simulazione di come andrebbero le cose se si usasse un algoritmo per le radici quadrate - perfetto in sé - ma in grado di lavorare solo con numeri a due cifre decimali sia in input che in output. Ho pensato che un algoritmo a 15 cifre possa essere considerato sufficientemente perfetto e preciso per questo tipo di calcolo “ridotto”.
Ho ottenuto:
$1; 2,41; 5,01; 10,11; 20,26; 40,54$
In cui, voglio chiarire, ogni termine è ottenuto utilizzando solo le due cifre esposte del termine precedente e troncando “a mano” il termine di output (i.e. il successivo) alle prime due cifre decimali.
Naturalmente qui si può vedere che il termine $40,54$ è diverso da quello della prima successione di riferimento che è $40,735$ e uno si può chiedere se questa differenza potrebbe essere riassorbita dal progredire della successione stessa. Domanda ingenua ma comprensibile.
La risposta è che non solo l’errore di approssimazione sui decimali non viene riassorbito ma la successione converge a un altro numero definitivamente.
In pratica abbiamo:
1) Il numero che il computer espone per conto suo per $pi/4$ è $0,7853981633974480000$ e, per noi, è il riferimento “vero”.
2) Il numero della successione di riferimento ( a 15 cifre) calcolata dal computer al 5° termine è $0,7855559074856140000$
3) Il numero della successione a 2 cifre calcolata al 5° termine è $0,7893438579181060000$
4) il numero a cui tende la successione a 2 cifre sembra essere $0,7892465162165500000$
Cioè risulta un errore “definitivo” già sulla terza cifra decimale. Inoltre questo valore dal sesto step in poi non evolve più e si fissa lì.
Con questo esempio ho messo in evidenza qualcosa che tutti i matematici sanno.
Cioè che le successioni di numeri reali non possono convergere a un numero reale se non in modo simbolico. Se uno vuole utilizzare i numeri “a cifre” deve stabilire “a priori” a) quanti termini della successione gli occorrono b) di quante cifre ogni termine deve esser composto perché il troncamento non influisca sul risultato finale.
Nel caso di pi greco come di un qualunque numero reale, non è un problema di poco conto poiché si tratta di trovare una regola di troncamento che riguardi, per dirla in sintesi, un numero di “infiniti procedimenti infinitamente lunghi”.
Nel prossimo post svilupperò considerazioni sulla serie di Taylor e vi porterò man mano ad amare i numeri interi perché, come vi ho fatto vedere, il calcolo con cui si vorrebbe determinare un numero reale è strutturalmente incompleto. E questo genera l'enorme difficoltà pratica di utilizzarlo in procedure sequenziali costituite da termini di numeri reali.
Una successione di interi per $pi$ ?
Come molti sanno per calcolare il valore di $pi/4$ si usa la serie di Leibniz ovvero lo sviluppo in serie di Taylor dell’arcotangente in $x=1$. Il grande vantaggio di questa serie è che è fatta di numeri razionali e questi sono riconducibili a coppie di numeri interi (numeratore e denominatore).
$arctan x = x-x^3/3+x^5/5 cdots ((-1)^n * x^(2n+1))/(2n+1) $
Ora però quando si va ad utilizzare un foglio excel si nota che la convergenza è molto lenta. Per quel che mi sembra non è perfettamente provata la convergenza in $x=1$.
Cosicché ottenere le prime tre cifre decimali di $pi/4$ diventa un’impresa. Al quinto termine si ha $0,744$ e al sesto si risale a $0,820$ e questa oscillazione compare ancora, sulla seconda cifra decimale, tra il 25mo e il 26mo termine. Questo succede sia se utilizzate subito ad ogni termine la decimalizzazione e quindi lavorate con dei decimali approssimati dal soft a 15 cifre e sia se calcolate separatamente la serie di interi che rappresenta i numeratori poi quella dei denominatori e poi in ultimo fate una sola divisione per la rappresentazione decimale. Ovvero si constata che la lentezza della convergenza è un fatto strutturale.
Devo ora fare una precisazione. Immagino che i matematici che hanno determinato le cifre di $pi$ (conosciuto oggi fino alla settecentesima cifra – mi pare - ) non hanno seguito la serie dell’arcotangente e hanno sviluppato degli algoritmi particolari. Io però non intendo essere più bravo di loro per andare a scoprire l’acqua calda. Io ho l’obiettivo più ambizioso ( o forse solo più ingenuo) di sviluppare la comprensione delle successioni di numeri interi per sostituirli alle successioni (o anche alle serie) di numeri razionali.
Questo perché mi sembra che usare un numero razionale significhi solo utilizzare una coppia di interi. Però essi sono più semplici da usare e soprattutto sono privi di errori di troncamento.
Ho molta fiducia nelle formule di ricorrenza per due grandi motivi.
Il primo è che “segregano” gli errori della partenza come ho già spiegato.
Il secondo è che dalla successione generata da una formula di ricorrenza si possono ricavare vari tipi di frazioni ( e quindi numeri razionali che approssimano il valore reale che cerchiamo).
Per esempio dalla successione $ 0,1,2,5,12,29,70, 169, cdots cdots cdots$ si possono ricavare due tipi di rapporto a) $ a_(n+1) /(a_n) $ che tende a $sqrt(2) + 1 $ e b) $ a_(n)/a_(n+1)$ che tende a $sqrt(2) - 1 $. Ma nulla vieta di pensare di comporre tre termini “finali” se la cosa ha un senso.
A ciò si aggiunge il lavoro fatto da Erasmus che ho studiato da poco e che non solo consente di ottenere la funzione intensiva dalla equazione di ricorrenza ma anche di trasformare la successione in una sequenza e di estendere la ricorrenza agli indici negativi.
Come molti sanno per calcolare il valore di $pi/4$ si usa la serie di Leibniz ovvero lo sviluppo in serie di Taylor dell’arcotangente in $x=1$. Il grande vantaggio di questa serie è che è fatta di numeri razionali e questi sono riconducibili a coppie di numeri interi (numeratore e denominatore).
$arctan x = x-x^3/3+x^5/5 cdots ((-1)^n * x^(2n+1))/(2n+1) $
Ora però quando si va ad utilizzare un foglio excel si nota che la convergenza è molto lenta. Per quel che mi sembra non è perfettamente provata la convergenza in $x=1$.
Cosicché ottenere le prime tre cifre decimali di $pi/4$ diventa un’impresa. Al quinto termine si ha $0,744$ e al sesto si risale a $0,820$ e questa oscillazione compare ancora, sulla seconda cifra decimale, tra il 25mo e il 26mo termine. Questo succede sia se utilizzate subito ad ogni termine la decimalizzazione e quindi lavorate con dei decimali approssimati dal soft a 15 cifre e sia se calcolate separatamente la serie di interi che rappresenta i numeratori poi quella dei denominatori e poi in ultimo fate una sola divisione per la rappresentazione decimale. Ovvero si constata che la lentezza della convergenza è un fatto strutturale.
Devo ora fare una precisazione. Immagino che i matematici che hanno determinato le cifre di $pi$ (conosciuto oggi fino alla settecentesima cifra – mi pare - ) non hanno seguito la serie dell’arcotangente e hanno sviluppato degli algoritmi particolari. Io però non intendo essere più bravo di loro per andare a scoprire l’acqua calda. Io ho l’obiettivo più ambizioso ( o forse solo più ingenuo) di sviluppare la comprensione delle successioni di numeri interi per sostituirli alle successioni (o anche alle serie) di numeri razionali.
Questo perché mi sembra che usare un numero razionale significhi solo utilizzare una coppia di interi. Però essi sono più semplici da usare e soprattutto sono privi di errori di troncamento.
Ho molta fiducia nelle formule di ricorrenza per due grandi motivi.
Il primo è che “segregano” gli errori della partenza come ho già spiegato.
Il secondo è che dalla successione generata da una formula di ricorrenza si possono ricavare vari tipi di frazioni ( e quindi numeri razionali che approssimano il valore reale che cerchiamo).
Per esempio dalla successione $ 0,1,2,5,12,29,70, 169, cdots cdots cdots$ si possono ricavare due tipi di rapporto a) $ a_(n+1) /(a_n) $ che tende a $sqrt(2) + 1 $ e b) $ a_(n)/a_(n+1)$ che tende a $sqrt(2) - 1 $. Ma nulla vieta di pensare di comporre tre termini “finali” se la cosa ha un senso.
A ciò si aggiunge il lavoro fatto da Erasmus che ho studiato da poco e che non solo consente di ottenere la funzione intensiva dalla equazione di ricorrenza ma anche di trasformare la successione in una sequenza e di estendere la ricorrenza agli indici negativi.
Siccome vorrei utilizzare la teoria delle sequenze di Erasmus devo precisare che per successione intendo una funzione definita sull’insieme $N$ dei numeri interi positivi incluso lo zero. Avverto che in alcuni post precedenti le mie successioni sono partite da 1, così senza badare. Per sequenza intendo una funzione definita sull’insieme dei numeri relativi $Z$ e per serie intendo una successione i cui termini sono ottenuti dalla somma di tutti i precedenti.
Vorrei ora utilizzare la teoria di Erasmus per sequenze del II ordine.
Parto dal considerare due costanti arbitrarie $alpha$ e $beta$ quali zeri di un polinomio di II grado.
Due zeri distinti e di molteplicità = 1.
Ciò premesso, si sa che il polinomio che ha i due zeri prescelti è $(alpha-x)*(beta-x)$ ovvero $alpha*beta –(alpha+beta)*x +x^2$ . Questo è già il polinomio caratteristico della sequenza di cui parla Erasmus. O meglio, di tutti i polinomi possibili, i cui termini vengono individuati a meno di una costante arbitraria, è quello che porta 1 come coefficiente del termine in $x^2$
Si ha dunque $ C_0 = alpha*beta; C_1 = (-1)* (alpha+beta); C_2 = 1$.
Tali coefficienti definiranno la seguente dipendenza lineare
$ C_0*a_n+C_1*a_(n+1)+C_2*a_(n+2) = 0$
mediante la quale, dati due termini consecutivi di una sequenza potremo sempre calcolare i successivi o i precedenti.
Scritta in questo modo la formula della dipendenza lineare, si può ricavare facilmente il significato della “x” nel polinomio caratteristico. E’ sufficiente dividere l’equazione di cui sopra per $a_(n+1)$ e definire il rapporto $x=a_(n+2)/a_(n+1)$. Poi si può fare l’ipotesi che al tendere di n all’infinito, avvero per n sufficientemente maggiore di zero, si abbia una convergenza per cui $a_(n+1)/a_n = x= a_(n+2)/a_(n+1)$
Cosicché x assume il significato del limite ( se esistente o no vedremo dopo) della sequenza dei rapporti tra il consecutivo e il precedente.
Introdotto questo significato, si può dare analogo significato al secondo zero che si ottiene risolvendo l’equazione del polinomio caratteristico del II ordine. Precisamente si può dire che il secondo zero è il limite della sequenza dei rapporti tra il consecutivo e il precedente per n che tende a meno infinito, ovvero per n sufficientemente minore di zero.
Poniamo adesso $alpha = 1+sqrt(2)$ e $beta = 1-sqrt(2)$
avremo $C_0=(1-2)=-1$ e $C_1=-2$ che portati nella equazione di ricorrenza diventano $ 1*a_n + 2*a_(n+1) =1*a_(n+2) $ .
Ricordando i miei vecchi simboli sarebbero: $L=2$ e $K=1$
Partiamo ora da una scelta del tutto arbitraria di due termini della sequenza che vogliamo esporre. Poniamo $a_0 = 0 $ e $ a_1=1$ e otterremo, per un indice che va da -5 a +5 :
che è una bellissima sequenza e, come tale, illimitata sia a sinistra che a destra. E’ bella perché è simmetrica nei valori assoluti, perché la parte con indice negativo è una funzione oscillante e quella positiva è monotona crescente e anche perché c’è un unico zero.
La teoria di Erasmus consente di scrivere la forma generale della funzione “intensiva” e cioè di quella che ci dà direttamente il termine ennesimo. Dato che ci sono due zeri distinti essa è $A*alpha^n + B*beta^n$ con A e B costanti da determinare.
Per fare questo faremo uso di un sistema di due equazioni che uguaglieremo a due termini qualsiasi della sequenza. Per semplicità useremo gli stessi termini iniziali $a_0 = 0 $ e $ a_1=1$ con cui abbiamo innescato la ricorrenza.
Per n= 0 $A+B = 0$ e per n= 1 $ A * (1+sqrt(2))+B*(1-sqrt(2)) = 1$ risolvendo le quali otterremo $A= 1/(2*sqrt(2)) $ e $ B = (-1)/(2*sqrt(2))$
Per provare la tenuta di quel che abbiamo scritto provate voi a calcolare il termine di indice +5 della sequenza che, mediante la ricorrenza, sappiamo che fa 29.
Io non faccio il calcolo qui perché è noioso ma vi posso assicurare che non sbaglia.
Se provate potete scegliere due modi. Uno è quello di usare un foglio excel e ottenete facilmente il risultato 29 tondo. Oppure potete utilizzare, come è il vero metodo giusto, il calcolo simbolico; sviluppando il binomio senza mai calcolare alcun decimale della radice di 2.
Vorrei ora utilizzare la teoria di Erasmus per sequenze del II ordine.
Parto dal considerare due costanti arbitrarie $alpha$ e $beta$ quali zeri di un polinomio di II grado.
Due zeri distinti e di molteplicità = 1.
Ciò premesso, si sa che il polinomio che ha i due zeri prescelti è $(alpha-x)*(beta-x)$ ovvero $alpha*beta –(alpha+beta)*x +x^2$ . Questo è già il polinomio caratteristico della sequenza di cui parla Erasmus. O meglio, di tutti i polinomi possibili, i cui termini vengono individuati a meno di una costante arbitraria, è quello che porta 1 come coefficiente del termine in $x^2$
Si ha dunque $ C_0 = alpha*beta; C_1 = (-1)* (alpha+beta); C_2 = 1$.
Tali coefficienti definiranno la seguente dipendenza lineare
$ C_0*a_n+C_1*a_(n+1)+C_2*a_(n+2) = 0$
mediante la quale, dati due termini consecutivi di una sequenza potremo sempre calcolare i successivi o i precedenti.
Scritta in questo modo la formula della dipendenza lineare, si può ricavare facilmente il significato della “x” nel polinomio caratteristico. E’ sufficiente dividere l’equazione di cui sopra per $a_(n+1)$ e definire il rapporto $x=a_(n+2)/a_(n+1)$. Poi si può fare l’ipotesi che al tendere di n all’infinito, avvero per n sufficientemente maggiore di zero, si abbia una convergenza per cui $a_(n+1)/a_n = x= a_(n+2)/a_(n+1)$
Cosicché x assume il significato del limite ( se esistente o no vedremo dopo) della sequenza dei rapporti tra il consecutivo e il precedente.
Introdotto questo significato, si può dare analogo significato al secondo zero che si ottiene risolvendo l’equazione del polinomio caratteristico del II ordine. Precisamente si può dire che il secondo zero è il limite della sequenza dei rapporti tra il consecutivo e il precedente per n che tende a meno infinito, ovvero per n sufficientemente minore di zero.
Poniamo adesso $alpha = 1+sqrt(2)$ e $beta = 1-sqrt(2)$
avremo $C_0=(1-2)=-1$ e $C_1=-2$ che portati nella equazione di ricorrenza diventano $ 1*a_n + 2*a_(n+1) =1*a_(n+2) $ .
Ricordando i miei vecchi simboli sarebbero: $L=2$ e $K=1$
Partiamo ora da una scelta del tutto arbitraria di due termini della sequenza che vogliamo esporre. Poniamo $a_0 = 0 $ e $ a_1=1$ e otterremo, per un indice che va da -5 a +5 :
$cdots 29;-12;5;-2;1;0;1; 2;5;12;29 cdots$
che è una bellissima sequenza e, come tale, illimitata sia a sinistra che a destra. E’ bella perché è simmetrica nei valori assoluti, perché la parte con indice negativo è una funzione oscillante e quella positiva è monotona crescente e anche perché c’è un unico zero.
La teoria di Erasmus consente di scrivere la forma generale della funzione “intensiva” e cioè di quella che ci dà direttamente il termine ennesimo. Dato che ci sono due zeri distinti essa è $A*alpha^n + B*beta^n$ con A e B costanti da determinare.
Per fare questo faremo uso di un sistema di due equazioni che uguaglieremo a due termini qualsiasi della sequenza. Per semplicità useremo gli stessi termini iniziali $a_0 = 0 $ e $ a_1=1$ con cui abbiamo innescato la ricorrenza.
Per n= 0 $A+B = 0$ e per n= 1 $ A * (1+sqrt(2))+B*(1-sqrt(2)) = 1$ risolvendo le quali otterremo $A= 1/(2*sqrt(2)) $ e $ B = (-1)/(2*sqrt(2))$
Per provare la tenuta di quel che abbiamo scritto provate voi a calcolare il termine di indice +5 della sequenza che, mediante la ricorrenza, sappiamo che fa 29.
Io non faccio il calcolo qui perché è noioso ma vi posso assicurare che non sbaglia.
Se provate potete scegliere due modi. Uno è quello di usare un foglio excel e ottenete facilmente il risultato 29 tondo. Oppure potete utilizzare, come è il vero metodo giusto, il calcolo simbolico; sviluppando il binomio senza mai calcolare alcun decimale della radice di 2.
Due inghiottitoi
Adesso sono in grado di mettere in forma più generale il tipo di sequenze con polinomio caratteristico del II ordine con cui ho avuto a che fare fin qui.
Le mie sequenze sono caratterizzate da una coppia di zeri prescelti $alpha$ e $beta$ distinti e di molteplicità uno. La coppia è inoltre formata da numeri misti costituiti da una parte intera e da una parte rappresentata dalla radice quadrata di un secondo numero intero. Tipo $ alpha = A+sqrt(I); cdots beta = A-sqrt(I)$. Questi numeri misti sono l’aspetto più interessante su cui stiamo per soffermarci. Il polinomio è $(alpha-x)*(beta-x)$ ovvero $alpha*beta –(alpha+beta)*x +x^2$ da cui la formula sequenziale $(-1)*alpha*beta *a_n+(alpha+beta)*a_(n+1)=a_(n+2)$.
Se andiamo a sostituire gli zeri con i numeri misti e se usiamo vecchi simboli L e K per praticità avremo:
entrambi numeri interi.
Per quanto detto già, la formula di ricorrenza genera una sequenza di numeri interi – diciamola primitiva - dalla quale è possibile ricavare una seconda sequenza di numeri razionali costituita dal rapporto $a_(n+1)/a_n$ - diciamola ricavata. Questa, come abbiamo dimostrato, converge per n tendente a più infinito a $A+sqrt(I)$ e per n tendente a meno infinito a $A-sqrt(I)$.
Per inciso faccio notare che la formula di ricorrenza lascia indeterminata la scelta dei primi due termini ( quello con indice 0 e quello con indice 1) i quali perciò possono essere scelti arbitrariamente. Essi determinano il valore di tutti gli altri sia della sequenza “primitiva” che di quella “ricavata” fatta di numeri razionali. Ma i due limiti caratteristici di quest’ultima non mutano.
Per precisione diremo meglio che la formula di ricorrenza individua una classe di sequenze a meno di due costanti arbitrarie.
Adesso vi mostro una importante applicazione di quel che si è detto finora.
Partiamo dalla solita sequenza caratterizzata da L = 2 e K = 1. La coppia d’origine stavolta però non è “0” e “1” bensì “1” e “1” . Avremo:
Da cui costruiamo i rapporti $a_(n+1)/a_n$
Che in rappresentazione decimale diventano
La mia idea è che si può dare una interpretazione geometrica a tutto questo.
Nella figura che segue è illustrato un angolo $alpha$ formato dall'ipotenusa HA e dal cateto orizzontale OA di un triangolo rettangolo arrangiato sugli assi cartesiani. Riportando l'ipotenusa HA sull'ascissa si ottengono due punti: uno in "B'" e uno in "B".
Quindi, dal punto di vista numerico, due segmenti di lunghezza "h" e "a" individuano un triangolo rettangolo e uno dei due angoli ($alpha$) che sta sull’ascissa positiva la cui tangente è $h/a$ L'ipotenusa è lunga $sqrt(a^2+h^2)$ . La si può riportare sull’ascissa in due modi 1) si aggiunge al segmento di lunghezza “a” per dar luogo a un rapporto $h/(a+ sqrt(a^2+h^2))$ che definisce la tangente di $alpha/2$ oppure 2) si sottrae al segmento di lunghezza “a” per dar luogo a un rapporto
$h/(a- sqrt(a^2+h^2))$ che definisce la tangente del complementare $pi/2-alpha/2$.
Adesso è facile immaginare come si possa creare una sequenza a partire da “h” e da “a” e pervenire ai valori “L” e “K”. Tra le infinite sequenze possibili che si determinano a partire dalla scelta dei due numeri centrali di indice “0” e “1” potremo scegliere quella più semplice da calcolare anche perché non ho ancora capito bene quale potrebbe essere un altro criterio. Fatto sta che una volta montata una sequenza “primitiva” possiamo generare la sequenza dei numeri razionali del tipo $a_(n+1)/a_n$ detta da noi "ricavata" e poi possiamo rappresentare tali numeri sull’ascissa della figura che vi ho mostrato sopra. E se si fa questo si nota che si formano due punti di accumulazione che coincidono con i due zeri del polinomio caratteristico di Erasmus.
Direi che la parte magica di questo studio sta proprio nel dare un significato geometricamente riconoscibile agli zeri del polinomio caratteristico. Sono due inghiottitoi che stanno uno a sinistra e uno a destra dello zero dell’asse delle ascisse.
Adesso sono in grado di mettere in forma più generale il tipo di sequenze con polinomio caratteristico del II ordine con cui ho avuto a che fare fin qui.
Le mie sequenze sono caratterizzate da una coppia di zeri prescelti $alpha$ e $beta$ distinti e di molteplicità uno. La coppia è inoltre formata da numeri misti costituiti da una parte intera e da una parte rappresentata dalla radice quadrata di un secondo numero intero. Tipo $ alpha = A+sqrt(I); cdots beta = A-sqrt(I)$. Questi numeri misti sono l’aspetto più interessante su cui stiamo per soffermarci. Il polinomio è $(alpha-x)*(beta-x)$ ovvero $alpha*beta –(alpha+beta)*x +x^2$ da cui la formula sequenziale $(-1)*alpha*beta *a_n+(alpha+beta)*a_(n+1)=a_(n+2)$.
Se andiamo a sostituire gli zeri con i numeri misti e se usiamo vecchi simboli L e K per praticità avremo:
$L = alpha+beta= 2*A$
e $K = (-1)*alpha*beta = I -A^2 $
entrambi numeri interi.
Per quanto detto già, la formula di ricorrenza genera una sequenza di numeri interi – diciamola primitiva - dalla quale è possibile ricavare una seconda sequenza di numeri razionali costituita dal rapporto $a_(n+1)/a_n$ - diciamola ricavata. Questa, come abbiamo dimostrato, converge per n tendente a più infinito a $A+sqrt(I)$ e per n tendente a meno infinito a $A-sqrt(I)$.
Per inciso faccio notare che la formula di ricorrenza lascia indeterminata la scelta dei primi due termini ( quello con indice 0 e quello con indice 1) i quali perciò possono essere scelti arbitrariamente. Essi determinano il valore di tutti gli altri sia della sequenza “primitiva” che di quella “ricavata” fatta di numeri razionali. Ma i due limiti caratteristici di quest’ultima non mutano.
Per precisione diremo meglio che la formula di ricorrenza individua una classe di sequenze a meno di due costanti arbitrarie.
Adesso vi mostro una importante applicazione di quel che si è detto finora.
Partiamo dalla solita sequenza caratterizzata da L = 2 e K = 1. La coppia d’origine stavolta però non è “0” e “1” bensì “1” e “1” . Avremo:
$cdots 17;-7;3;-1;1;1; 3;7;17;41 cdots$
Da cui costruiamo i rapporti $a_(n+1)/a_n$
$cdots (-7/17);(3/-7);(-1/3);(1/-1);(1/1);(3/1);(7/3);(17/7);(41/17); cdots$
Che in rappresentazione decimale diventano
$cdots -0,412;-0,429;-0,333;-1,000;1,000;3,000;2,333;2,429;2,412; cdots$
La mia idea è che si può dare una interpretazione geometrica a tutto questo.
Nella figura che segue è illustrato un angolo $alpha$ formato dall'ipotenusa HA e dal cateto orizzontale OA di un triangolo rettangolo arrangiato sugli assi cartesiani. Riportando l'ipotenusa HA sull'ascissa si ottengono due punti: uno in "B'" e uno in "B".
Quindi, dal punto di vista numerico, due segmenti di lunghezza "h" e "a" individuano un triangolo rettangolo e uno dei due angoli ($alpha$) che sta sull’ascissa positiva la cui tangente è $h/a$ L'ipotenusa è lunga $sqrt(a^2+h^2)$ . La si può riportare sull’ascissa in due modi 1) si aggiunge al segmento di lunghezza “a” per dar luogo a un rapporto $h/(a+ sqrt(a^2+h^2))$ che definisce la tangente di $alpha/2$ oppure 2) si sottrae al segmento di lunghezza “a” per dar luogo a un rapporto
$h/(a- sqrt(a^2+h^2))$ che definisce la tangente del complementare $pi/2-alpha/2$.
Adesso è facile immaginare come si possa creare una sequenza a partire da “h” e da “a” e pervenire ai valori “L” e “K”. Tra le infinite sequenze possibili che si determinano a partire dalla scelta dei due numeri centrali di indice “0” e “1” potremo scegliere quella più semplice da calcolare anche perché non ho ancora capito bene quale potrebbe essere un altro criterio. Fatto sta che una volta montata una sequenza “primitiva” possiamo generare la sequenza dei numeri razionali del tipo $a_(n+1)/a_n$ detta da noi "ricavata" e poi possiamo rappresentare tali numeri sull’ascissa della figura che vi ho mostrato sopra. E se si fa questo si nota che si formano due punti di accumulazione che coincidono con i due zeri del polinomio caratteristico di Erasmus.
Direi che la parte magica di questo studio sta proprio nel dare un significato geometricamente riconoscibile agli zeri del polinomio caratteristico. Sono due inghiottitoi che stanno uno a sinistra e uno a destra dello zero dell’asse delle ascisse.
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