Espressioni che legano "π" a "e"

[Erasmus_First]

Calcolare la serie
$S =1/(1+π^2)+1/(1+4π^2)+1/(1+9π^2)+...+1/(1+(nπ)^2)+...$
ossia $S = $ <somma, per $n$ da $1$ a $+∞$, di $1/(1+(nπ)^2)$>.

Suggerimento:
Calcolato empiricamente $S$ con buona approssimazione, si ponga $S = 1/(x^2 - 1)$ e si calcoli $x$, cioè
$x=sqrt(1+1/S)$.
Si riconoscerà al volo cos'è $x$ allo stesso modo che si riconosce di colpo che 1,41421356... è $sqrt2$.

Dopo di che ... viene la parte più difficile ma più interessante: dimostrare che, se S è il limite di quella serie, allora
$sqrt(1+1/S)$
è davvero (cioè esattamente) quel reale che si è riconosciuto nel numero x calcolato empiricamente.
______

[Rigel1]

Non so se questa verrà accettata come risposta, comunque ci provo
Denotando con \(\psi\) la funzione digamma, definita da \(\psi(z) := \Gamma'(z) / \Gamma(z)\), si ha che
\[
Im\, \psi(1+iy) = -\frac{1}{2y} + \frac{\pi}{2}\, \coth(\pi y) = y \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+y^2}
\,, \qquad y\in\mathbb{R}
\]
(si veda Abramowitz & Stegun, eq. (6.3.13)).
Valutando questa relazione per \(y = 1/\pi\) si ha
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2 \pi^2} = \frac{1}{\pi} \, Im\, \psi(1+ i/\pi)
= \frac{1}{\pi}\left[-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \coth(1)\right] = \frac{1}{e^2-1}.
\]

[Erasmus_First]

"Rigel":[...] da \(\psi(z) := \Gamma'(z) / \Gamma(z)\), si ha che
\[
Im\, \psi(i+iy) = -\frac{1}{2y} + \frac{\pi}{2}\, \coth(\pi y) = y \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+y^2}
\,, \qquad y\in\mathbb{R}
\]
(si veda Abramowitz & Stegun, eq. (6.3.13)).
Valutando questa relazione per \(y = 1/\pi\) [...]

@ Rigel
a) Il simbolismo del 1° membro della formula [da te citata] 6.3.13 del manuale "Abramowitz & Stegun" ...non sembra lo stesso di quello della formula che scrivi tu (e io non capisco quello della formula di Abramowitz & Stegun).
Ecco la formula dalla quale dici che viene la tua:

––>Abramowitz&Stegun, Eq. 6.3.13

b) Occhio: il valore della variabile complessa è $z = 1+iy$ (con fase π/4), non $i+iy$ (che è lo stesso di $i(1+y)$ la cui fase è invece π/2).
c) Anche se siamo in una sezione da "Università" credo che siano ben pochi quelli che conoscono questa funziione:
$ψ(z)= d/(dz)ln[Γ(z)]$ (dove è $z=x+iy$ con $x$ e $y$ reali)
e probabilmente nessuno saprebbe provare le uguaglianze contenute nella formula 6.3.13.
Insomma: Visto che alla uguaglianza
$S = 1/(e^2 - 1)$

ci si arriva anche sperimentalmente (seguendo il mio suggerimento), siamo rimasti ancora "a monte" della prova dell'uguaglianza

.

_______

[Rigel1]

Sì, certo, l'argomento è \(z=1+iy\), come del resto riportato correttamente subito sotto.

[Erasmus_First]

"Rigel":Sì, certo, l'argomento è \(z=1+iy\), come del resto riportato correttamente subito sotto.

Ma l'obiezione principale era che forse NESSUNO (qui in "matematicamente.it") saprebbe provare quel che tu hai citato dal (famoso) manuale Abramowitz & Stegun.

Nel 2006, al congresso nazionale della "Mathesis" (che si tenne a Trento), ho presentato una "Comunicazione" in cui trattavo qualche esempio di funzioni periodiche (diciamo di periodo X) costituite da sequenze di funzioni impulsive h(x - kX) ottenute per traslazione di ascissa di ampiezza kX (per ogni k intero ed X reale positivo) dalla medesima funzione impulsiva h(x). Però ... non posso citarmi perché, quell'anno, non fu redatto il solito libro "Atti del Congresso".
Giorni fa, rovistando tra i vecchi file del mio vecchiio computer, ho trovato casualmente il testo di quella "Comunicazione al Congresso". Il quiz che ho messo qui è un caso particolare (che là nemmeno è considerato) di uno degli esempi discussi in quel "saggio".
Siccome nessun altro è più intervenuto, metto io la soluzione del quesito.

–––> Teoremino dimostrato (Teoremino.png)

Ciao Rigel, ciao a tutti

_____

[dan952]

Sì può usare la formula di sommazione di Poisson
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\mathcal{F}[f](k)$
Dove $\mathcal{F}[f](k)$ è la trasformata di Fourier di $f$ che nel nostro caso è $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

[Erasmus_First]

"dan95":Sì può usare la formula di sommazione di Poisson
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\mathcal{F}[f](k)$
Dove $\mathcal{F}[f](k)$ è la trasformata di Fourier di $f$ che nel nostro caso è $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

@ dan95
Non sapevo (prima di questa tua nota) che Poisson si fosse occupato di somme di Fourier-trasformate.
[Sono adesso andato a leggere di Poisson su Wikipedia scoprendo che fu docente all'École Polytechnique (di Parigi) mentre ne era presidente Fourier e fu il successore di Fourier nella Presidenza della stessa.]
Come ho spiegato nel "paper" allegato, la serie con termini che sono funzioni di "π" e limite che è funzione di "e" me l'ero inventata io (autonomamente ai tempi in cui non c'era ancora Internet ... ma senza presunzione di originalità) prprio sviluppando in serie di Fourier la funzione periodica $F(x)$ (di periodo $X$) somma di funzioni impulsive $f(x-kX)$ ottenute per traslazione in ascissa di $kX$ (con k intero da $-∞$ a $+∞$ e $X=2$) della funzione impulsiva $f(x) = e^(-|x|)$ . Nel "paper" presentato al Congresso naszionale della Mathesis del 2006, la sere d Fourier era trovata proprio usando la Fourier-trasformata di $f(x)$. Qui non ho fatto così perché mi pareva più chiaro sommare direttamente le funzioni impulsive (la cui somma, per $f(x) = e^(-|x|)$ è facilissima). Ma nel "paper" originale c'era anche un esempio tra quelli in cui è difficile e laborioso fare la somma delle funzioni impulsive $f(x-kX)$ –(con $X$ costante positiva e $k$ intero da $-∞$ a $+∞$) e poi lo sviluppo in serie di Fourier della somma, mentre era molto facile e sbrigativo avere la serie di Fourier di quella somma usando la Fourier-trasformata di $f(x)$.
_____

[dan952]

Non si smette mai di imparare soprattutto quando si parla di matematica

[dissonance]

Mi sono ricordato di avere visto questa serie qui:

https://math.stackexchange.com/q/1969378/8157

Ci sono molti metodi per calcolarne la somma. Credo che nessuno di questi sia quello che Erasmus ha in mente.

[Erasmus_First]

"dissonance":Mi sono ricordato di avere visto questa serie qui:
https://math.stackexchange.com/q/1969378/8157
Ci sono molti metodi per calcolarne la somma. Credo che nessuno di questi sia quello che Erasmus ha in mente.

E ti sbagli! Uno di quei metodi è proprio quello da me usasa nella citata "Comunicazione" al Congresso Nazionale Mathesis 2006.
Un altro, arcinoto, è stato usato da me più volte in situazioni distinte.
Ciao, ciao.

_______

[dissonance]

Oh è vero, non avevo visto il "teoremino". C'è effettivamente una forte rilevanza della formula della sommazione di Poisson:

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_s ... e_equation

specialmente con la (Eq3) di wikipedia.