Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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salve ragazzi, potreste darmi una mano con questo esercizio:
data un equazione lineare in quattro incognite, determinare l'insieme delle soluzioni S e stabilire se S è sottospazio vettoriale di $ RR^4 $ e, in caso affermativo, se ne determini la dimensione.
L'insieme S delle soluzioni che ho trovato è S={(a,b,-2a+b+3c,c)}, ora come faccio a stabilire se questo è sottospazio di $ RR^4 $?
grazie a chi risponderà.
Ciao a tutti!
Ho il seguente esercizio:
"Dati i due sottospazi vettoriali di $ R^4 $ $ V=<(0,1,-1,0),(1,-1,-1,1),(0,0,1,2)>, W={(x,y,z,t)in R^4|x-y=z+2t=0} $, scrivere un'applicazione lineare $ f:Vrarr W $ "
Io ho già le basi dei due sottospazi, trovati al punto precedente. Mi servono? Come trovo questa applicazione? Potete aiutarmi?
Grazie a tutti.
Nello spazio vettoriale $R^4$
si consideri il sottospazio vettoriale W = L((1, 0, 1, 1),(0, 1, 1, 1),(1, −1, 0, 0)).
(i) Determinare una base di W.
(ii) Il vettore (2, −1, 1, 1) appartiene a W? ◦ Si ◦ No Perché?
Buongiorno ragazzi, mi piacerebbe avere un confronto con voi:
(i) scrivo la matrice associata e riduco con Gauss per scoprire quali sono i vettori linearmente indipendenti e che quindi fungono da base allo spazio vettoriale:
$(( 1, 0, 0, 0), ( 0, 1, 0, 0), ( 1, -1, 1, 0)) $
da qui vedo che tutti i ...
Quale dei seguenti insiemi `e un sistema di generatori di $R^3$?
S1 = {(1, 2, −1),(1, 0, −2),(0, 2, 1)}
S2 = {(1, 1, 1),(0, 1, 2),(0, 0, 0),(0, 1, 1)}
S3 = {(1, −1, 1),(0, 1, 2),(−1, 2, 1),(0, 0, 0)}
Vorrei confrontarmi con voi:
Per vedere se un sistema è un sistema di generatori mi basta studiare il rango delle matrici, se questo ha la stessa dimensione dello spazio vettoriale allora vuol dire che il numero d'immagini coincide con la dimensione quindi è un sistema di ...
Ciao ragazzi, volevo chiedervi come si dimostra che le mosse di Gauss non alterano il determinante di una matrice (o al più il suo segno)?
Inoltre mi piacerebbe anche sapere perchè le suddette mosse non alterano l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari sottoforma di matrice, grazie.
Ciao a tutti,avrei dei problemi con il seguente eserczio:
Sia $f : M2(C) → M2(C)$ l’applicazione definita da f(A) = A −(trasposta di A coniugata).
Provare che f e un’applicazione lineare di ` R-spazi vettoriali, ma non di C-spazi vettoriali.
Io parto con lo scrivermi la forma generica dell'applicazione. Per farlo considero la generica matrice(scritta come vettore) A di taglia 2x2:
A=(a,b,c,d) con a,b,c,d numeri complessi. Ho quindi ...
Considerato il seguente sistema lineare su $R$:
$ { ( -x_1 + x_2 -2x_3 + x_4 + x_5 = 2 ),( -x_1 + 2x_2 -x_3 - 2x_4 + x_5 = 1 ),( 2x_1 + x_2 + 1x_3 - x_4 + 2x_5 = -1 ):} $
(i) con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan, calcolarne l’insieme delle soluzioni;
(ii) e vero che l’insieme delle soluzioni e un sottospazio vettoriale di $R^5$?
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Vorrei avere un confronto con voi per alcuni dubbi. Prima di tutto associo alla matrice ed applico Gauss-Jordan e trovo:
$(( -1, 1, -2, 1, 1, 2),( 0, 3, -3, -1, 2, 3), ( 0, 0, 0, 2, 2, 0)) $
Secondo voi è ridotto nel migliore dei modi in scala? gauss ...
Fissato un riferimento cartesiano di un piano euclideo, si considerino la retta $r : 2x + 3y − 5 = 0$ e il
punto $A(2, −1)$.
(ii) Determinare la circonferenza che sia tangente a r e abbia centro in A.
Salve per questo esercizio avevo pensato di fare così:
Riscrivo in forma parametrica la retta:
$ { ( x = -5 - 3/2t ),( y = t ):} $ con direzione $P( -3/2, 1)$
poi mi trovo tramite il prodotto scalare quella retta che è perpendicolare a $r$ quindi $P'( 1, 3/2)$, la riscrivo in forma ...
" Si consideri l’applicazione lineare $T : R^4 → R^3$ tale che $T((x, y, z, t)) = (2x + y + t, 2x + z + t, z −y − t)$.
(i) Determinare una base di Ker T e una base di Im T e dire se T `e iniettiva e suriettiva.
(ii) Determinare la matrice associata all’applicazione lineare T nei riferimenti $ B = (( 1, 0, 0, 0), ( 0, 1, 0, 0), ( 0, 0, 1, 0), ( 0, 0, 0, 1)) $ di $R^4$ e $ B' = (( 1, 0, 1),( 0, 1, 1), ( 0, 0, 1)) $ di $R^3$ "
(i)Ho dei dubbi a riguardo di quest'esercizio.
Riscrivo la matrice associata e la riduco con Gauss:
$ ( ( 2 , 1 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $
Dapprima ho pensato che il rango di ...
Completare in una base di $R^4$ ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di $R^4$ che risulta essere linearmente indipendente.
X = ((1, −2, 1, 1),(0, 0, 0, 0),(3, 1, 2, 1))
Y = ((2, 1, 1, 0),(1, 0, 1, 0))
Z = ((0, 1, 1, 2),(1, 2, 2, 2),(1, 1, 1, 0))
L'esercizio l'ho fatto ma vorrei avere un feedback:
X ed Z non si possono completare ad una base perché sono lin. dipendenti fra di loro (infatti il loro determinante per qualsiasi base canonica è uguale a zero). Mentre ad Y ...
Determinare una base per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di $R^5$ che sia un sottospazio vettoriale:
(i) $X = { a( 2, 1, 0, 3, 3) + b( 0, 1, 2, 5, 5) + c( -1, 0, 1, 1, 1) | a,b,c in R}$
(ii) $ Y = { (a + b, 2b + a - 2, b - a + 2, a, b) in R^5 | a,b in R}$
Salve a tutti ecco un esercizio sulla determinazione di una base per ogni sottospazio. Il primo lo svolgo facendo la matrice associata e lo riduco con Gauss:
$(( 2, 0, -1), ( 0, 2, 1), ( 0, 0, 1), ( 0, 0, 0), ( 0, 0, 0))$
il rango è massimo quindi tutti i vettori costituiscono una base del sottospazio.
(ii) Col se condo ho difficoltà a farne la matrice associata. I termini noti ...
Mi sto esercitando per l'esame e mi vorrei confrontare con voi per essere sicuro di ricordare bene.
"Sia fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale del piano della geometria
elementare. Rappresentare in forma parametrica e cartesiana la retta passante per $ A(1, 3) $
ortogonale a $ 2x − y − 1 = 0 $".
Prima di tutto scrivo in forma esplicita la retta, così da avere chiaro il suo coefficiente angolare:
$ y = 2x - 1$ quindi $ m = 2 $
poiché cerco la retta ...
Sia V uno spazio vettoriale su R con base ordinata (e1, e2, e3).
(i) Esibire una base di V che contenga i vettori e1 − e3 e e1 + 2e3.
(ii) Esibire un sottospazio vettoriale di V che abbia dimensione 2.
Ho dei dubbi sulla risoluzione di questi esercizi.
(i) devo trovare un terzo vettore per cui il sistema sia linearmente indipendenti quindi dovrei avere x = y = z = 0, ma quale sarebbe questo vettore? Se utilizzo $ ( 0, 0, 1)$ allora x = 0, y = y e z = 0 mentre se usassi ...
Ultimo punto da svolgere di una mia simulazione di prova d'esame:
Esibire la matrice della $ f_1 $ , rispetto alla base di $ X_(-2) $ .
Il problema assegna in $ R^4 $ il sottospazio $ X_k $ di equazioni $ { ( 2x_1+x_2+(k+1)x_3+3x_4=0 ),(x_1-x_2+x_3+(1-k)x_4=0 ),( -x_1+(k-3)x_2+5x_3+3x_4=0 ):} $ e la matrice $ A_h = ( ( 2 , 5 , h , -5 ),( 1 , h+1 , -1 , -3 ),( h+2 , 3 , 1 , -2 ),( -1 , -5 , 2 , 3+2h ) ) $ .
Inizialmente trovo che per $ k=-2 $, le equazioni sono dipendenti ed il sottospazio mi rappresenta un piano con dimensione 2 e base $ B= ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( -2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , avendo scartato la terza ...
salve ragazzi,
seguo il corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici e sono necessari costanti richiami di Algebra Lineare e Geometria i quali alle volte si rivelano nozioni completamente o quasi nuove poichè il secondo corso è stato "poco approfondito", questo è uno dei casi:
mi è chiara la definizione di
Autospazio Generalizzato di Ordine n $ :=Ker( A -lambda_iI)^n $
Prima di questa però, propedeuticamente all' argomento "diagonalizzazione", tra i richiami, viene fornita la seguente definizione di
...
Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale dello spazio della geometria elementare, rappresentare la retta passante per $ (0, −1, 2) $, parallela al piano $ y + z − 1 = 0 $ e ortogonale alla retta $ r: { ( x + y − z + 2 = 0<br />
),( 2x − z − 1 = 0 ):} $
Salve ho proseguito scrivendo la retta del piano:
$ y + z - 1 + d = 0 $
poiché sappiamo che la retta è parallela al piano quindi appartiene ad un piano parallelo al primo, imponiamo che il piano passi per il punto $ ( 0, -1, 2) $, ...
Ciao,
ho un esercizio di questo tipo:
Solo che quando applico la teoria ottengo:
f(x,y,z) = (x+y),(y+z),(2x+2z) con la base B=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) (cioè B=(v1,v2,v3) solo che poi applicando f(v1),ecc ottengo: f(v1) = (2,1,2) f(v2) = (1,2,2) f(v3) = (1,1,2) dov'è che sbaglio a ragionare? L'avevo pensata così T(1,1,0) = (1,1,0) T(0,1,1) = (0,1,1) T(1,0,1) = (2,0,2), non capisco dove mi perdo, sto sovrapponendo le varie cosè? Cosa mi sfugge? Grazie, scusate l'ignoranza ma, ...
Sia $ f : R^(3) -> R^(3) $ l'applicazione lineare tale che $f(x,y,z) = (2x, x-2y,2y-z)$
(i) Dire se f `e iniettiva e suriettiva.
Vorrei avere un confronto con voi con i mie passaggi.
i) Riscrivo la matrice $ ( ( 2 , 1 , 0 ),( 0 , -2 , 2 ),( 0 , 2 , -1 ) ) $
Calcolo il determinante e questo è diverso da 0 quindi è invertibile quindi il nucleo è uguale a 0, se il nucleo è uguale a 0 comporta che l'immagine è uguale a 3 quindi è anche suriettiva.
P.S. riscrivere la matrice come $(( 2, 0, 0),( 1, -2, 0), ( 0, 2, -1))$ sarebbe la stessissima cosa????
Buonasera, vi scrivo per chiedervi il chiarimento su un problema che mi sta dando molti grattacapi.
Il testo è il seguente si consideri l'applicazione lineare: \( f: \Re ^3 \rightarrow \Re ^4 \) definita da:
f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 5 & -2 & -1 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.
La soluzione è la seguente: L'immagine di f è un piano.
Ho ridotto con Gauss e ho trovato che la dimensione ...
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