Geometria e Algebra Lineare

Sia $ f : R^(3) -> R^(3) $ l'applicazione lineare tale che $f(x,y,z) = (2x, x-2y,2y-z)$ (i) Dire se f `e iniettiva e suriettiva. Vorrei avere un confronto con voi con i mie passaggi. i) Riscrivo la matrice $ ( ( 2 , 1 , 0 ),( 0 , -2 , 2 ),( 0 , 2 , -1 ) ) $ Calcolo il determinante e questo è diverso da 0 quindi è invertibile quindi il nucleo è uguale a 0, se il nucleo è uguale a 0 comporta che l'immagine è uguale a 3 quindi è anche suriettiva. P.S. riscrivere la matrice come $(( 2, 0, 0),( 1, -2, 0), ( 0, 2, -1))$ sarebbe la stessissima cosa????

Buonasera, vi scrivo per chiedervi il chiarimento su un problema che mi sta dando molti grattacapi. Il testo è il seguente si consideri l'applicazione lineare: \( f: \Re ^3 \rightarrow \Re ^4 \) definita da: f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 5 & -2 & -1 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}. La soluzione è la seguente: L'immagine di f è un piano. Ho ridotto con Gauss e ho trovato che la dimensione ...

Buonasera, qualcuno di voi sa spiegarmi (o per lo meno darmi un input su) le seguenti proprietà? Valide per matrici quadrate di dimensione n: Sia A una matrice quadrata di dimensione n. 1) det(A) = 0 se esiste una riga di A che è combinazione lineare di altre righe(vale anche il viceversa). 2) Aggiungendo ad una riga di A una combinazione lineare di altre righe, si ottiene una nuova matrice il cui determinante coincide con quello di A. Sono riuscito a dimostrare altre proprietà, ma con ...

Ciao a tutti! Ho un problema con un esercizio sulle applicazioni lineari. L'esercizio è il seguente: Sia f: $ R^3rarr R^4 $ un'applicazione tale che f(1,1,1)=(1,0,0,0) f(0,2,0)=(1,0,1,0) f(0,1,1)=(0,0,2,0) f(1,1,0)=(a,b,c,d) determinare a,b,c,d in modo che le condizioni precedenti determinino in modo univoco un'applicazione lineare. Ora, io non saprei nemmeno da dove iniziare. Devo verificare che i vettori di partenza siano linearmente indipendenti? Potete aiutarmi?

Ho un dubbio su un argomento affrontato di recente e su cui devo ancora fissare le idee La spiegazione fatta in classe è esattamente questa (ho usato il primo risultato su google e mi sembra abbastanza ben spiegato) https://www.****.it/forum/algebra-li ... alare.html Venendo al dubbio vero e proprio, se io definisco una forma bilineare: $\phi(x,y)=x_1y_1+x_2y_2$ in $RR^2$ e mi chiedo "quale è la marice che lo rappresenta secondo la base: (1,0), (1,1)" arrivo a un risultato che non riesco ad interpretare. Svolgendo i ...

Salve a tutti, avrei una domanda sulle matrici di carattere teorico, ovvero: Se io ho una matrice, ipotizziamo 9x10, e riesco a ridurla a scalini senza nessuna riga con tutti zeri, allora sono sicuro che il rango della matrice è 9... Ora, esiste un teorema X questa cosa? Cioè ho cercato ma nn trovo un riferimento.. Grazie a tutti

buonasera mi aiutate a fare questo esercizio, il testo mi dice che già che sono sottostai vettoriali ma devo trovare una base di : 1))W =((1,2,-1,-1),(2,2,1,-1),(0,-2,3,1),(0,1,0,1) ⊆ $R^4$ 2)) H{(a+c)+(a+b)x+(b-c) $x^2$}⊆ R[x]≤2. il primo l?ho risolto scrivendo la matrice: $ ( ( 1 , 2 , -1 , -1 ),( 2 , 2 , 1 , -1 ),( 0 , -2 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ) ) $ e ho scritto la base considerando i primi tre vettori non indipendenti di questa matrice cioè: B={(1,2,0,0),(2,2,-2,1),(-1,1,3,0)} per il secondo non ho come fare potete darmi ...

Mi è capitato di svolgere diversi esercizi in cui dati due spazi vettoriali dovessi dimostrarne l'isomorfismo (sia monomorfismo giocando sul ker, che epimorfismo lavorando sul "codominio"). Il punto è che sono sempre spazi dati, mi chiedevo ora se fosse in qualche modo generalizzabile con una dimostrazione che due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali) siano sempre isomorfi tra loro. Senza specificarne il tipo di spazio come negli esercizi che mi sono stati dati. Non mi è del tutto ...

Buongiorno, avrei bisogno di una mano riguardo l’ultima parte di un esercizio: In pratica ho due relazioni di equivalenza, una definita su $mathbb{R}^2$ da $ xRy \leftrightarrow x_2-x_1^2=y_2-y_1^2$ e l’altra indotta dalla funzione $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x_2-x_1^2$ definita da $xR_f y \leftrightarrow f(x)=f(y)$. Ho dimostrato che f è un’identificazione (mediante un Teorema mi è bastato mostrare che f è suriettiva, continua e aperta). Ho mostrato anche che le due relazioni di equivalenza sopra definite coincidono, e dunque che ...

Salve ragazzi, non riesco a svolgere questo esercizio: data l'applicazione lineare $ f: RR^3 -> RR^(2,2) $ definita come segue: $ AA(a,b,c) in RR^3 :f(a,b,c)=[[a+b,0],[2a,-b]] in RR^(2,2) $ determinare il nucleo di f; grazie tante a chi risponderà

Salve, avrei dei problemi con il seguente esercizio: Definire, se possibile, $f:R^3->R^3$ tale che Kerf=V e Imf=W con: W= e V=. Svolgimento: Le condizioni da imporre per il kerf sono: f(1,0,-2)=(0,0,0) f(0,1,3)=(0,0,0) Le condizioni per l'immagine: f(1,0,0)=(2,1,1) f(0,1,0)=(1,2,2) f(0,0,1)=(3,3,3) con (3,3,3) un qualsiasi vettore di W. Con tutte queste condizioni dovrei avere infinite applicazioni.Arrivo a trovare un'applicazione che varia a seconda ...

Salve, Avrei bisogno di esprimere il vettore (2,-5,3) come combinazione lineare di: (1,-3,2) (2,-4,-1) (1,-5,7) Ho messo a sistema, risolto sostituendo, e gli scalari x cui moltiplicare i vettori mi escono in ordine 1/4, 3/4 e 1/4 senza problemi, ma quando poi moltiplico x verificare non mi esce il valore della terza componente del vettore... Potreste aiutarmi plsssssssss

Salve ragazzi, qualcuno può darmi una dritta sul come dimostrare questo: Si provi che se $phi$ è un endomorfismo di k-spazio vettoriale V di dimensione finita con polinomio minimo $lambda_phi(x) = x^k(x-1)^h$ allora l'endomorfismo di proiezione su $ker(phi^k)$ lungo la direzione di $im(phi^k)$ è polinomiale in $phi$ Qualche idea? Devo usare il lemma di decomposizione?

Ciao, sto studiando Algebra lineare e ho dei problemi con gli esercizi sui cambi di base delle matrici, conosco la formula ma, l'ultimo punto di questo esercizio propio non lo capisco: la soluzione è: Non dovrei calcolare l'inversa della matrice T e moltiplicarle per la base B ? Come fa la base canonica R^4 ad andare per T se è una matrice 4x3 ? Scusate l'ignoranza..

Ciao a tutti, avrei un piccolo dubbio su un passaggio del seguente esercizio: Data l'applicazione lineare f(x,y,z)=(x+y,x+y+z,z,z) Trovare la controimmagine di (1,2,1,1). Banalmente la controimmagine del vettore dato sono tutti i vettori (x,y,z) tali che f(x,y,z)=(1,2,1,1). Risolvo quindi il seguente sistema: x+y=1 x+y+z=2 z=1 Trovo infinito alla uno soluzioni del tipo (1-y,y,1). E qui arriva la domanda, come trovo lo spazio dei generatori se non posso raccogliere la y? Dalla teoria so che ...

Buongiorno, non ho ben capito la dimostrazione del seguente teorema Sia \( G \) un sottogruppo di \( \mathbb{Z}^n \) allora esiste \( B \in \mathbb{Z}^{m \times k } \), \( \operatorname{rang}(B)=k \) tale che il reticolo \( \Lambda(B)=G\) Dimostrazione: Siano \( v_1, \ldots, v_k \in G \) tale che i) \( v_1, \ldots, v_k \) sono linearmente indipendenti ii) \( \operatorname{span}_{\mathbb{Q}}( v_1, \ldots, v_k)=\operatorname{span}_{\mathbb{Q}}( G) \) Sia, \( B=( v_1, \ldots, v_k)\), se \( G= ...

Salve ragazzi, potreste darmi una mano con questo esercizio di algebra: $ M=[[1,1,-1],[-1,0,2]] in RR^(2,3) $ determinare $ f^-1(1,2) $

Avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio, Grazie Si consideri il prodotto scalare $\varphi:RR^4$x$RR^4 \rightarrow RR$ $\varphi(X,Y) = X^tAY$, $A=((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,1),(0,0,1,2))$ 1) si verifichi che il prodotto scalare $\varphi$ è definito positivo. Ho provato a calcolare il polinomio caratteristico per trovare gli autovalori, quindi: $P(A) = Det(A-\lambdaI) = ((2-\lambda,1,0,0),(1,2-\lambda,0,0),(0,0,2-\lambda,1),(0,0,1,2-\lambda)) = (1-\lambda)(3-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+5)$ Ma il polinomio $(\lambda^2-4\lambda+5)$ può essere solo scomposto in numeri complessi, quindi adesso come li trovo gli autovalori? oppure ...

Ciao! Ho qualche dubbio sulla seguente dimostrazione siano $X,Y$ due spazi connessi per archi; dimostrare che - lo spazio prodotto è connesso per archi - $pi(XtimesY)congpi(X)timespi(Y)$ metto sotto spoiler la prima parte della dimostrazione, sulla quale sono parzialmente sicuro. 1)se $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ sono due punti allora avremo gli archi $alpha:[0,1]->X$ e $beta:[0,1]->Y$ connettono, nell'ordine, i punti $x_1,x_2$ e $y_1,y_2$ il cammino ...

Salve, sono venuto a conoscenza che nello studio della teoria dei nodi , si dimostra che non esistono nodi oltre la 4 dimensione. Ma come si dimostra? Conoscete qualche articolo che ne parla o altro? grazie p.s. non so se ho sbagliato sezione , non sapevo dove pubblicarla