Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Siano \( a_1, \ldots , a_m \in \mathbb{R}^n \), per \( z \in \mathbb{R}^n \) e \( v \in S^{n-1} \) consideriamo la retta
\( L_{z,v} \) definita come
\[ L_{z,v} = \{ z + \lambda v : \lambda \in \mathbb{R} \} \]
Sia \( d(a_i,L_{z,v}) \) la distanza tra \( a_i \) e \( L_{z,v} \), per \( i =1,\ldots ,m \)
i) Supponi che \( \sum\limits_{i} a_i = 0 \) dimostra che \( \sum\limits_{i} d(a_i,L_{z,v})^2 \geq \sum\limits_{i} d(a_i,L_{0,v})^2 \) per tutti \( z \in \mathbb{R}^n \).
ii) Concludere che ...
Buongiorno, premetto che non sono sicuro di trovarmi nella sezione corretta, ma ho affrontato le funzioni proprie durante il corso di Geometria Differenziale e ho visto che le domande che la riguardano vengono poste in questa sezione, quindi qui la pubblico.
L'esercizio che mi crea problemi recita: Dire se puo' esistere una funzione propria $f:mathbb(R^2)->mathbb(R^2)$ tale che $f(mathbb(R^2))=mathbb(R^2)\\{0}$.
Ricordo che una funzione C-infinito e continua viene detta propria se la controimmagine di ogni compatto ...
Salve a tutti scusatami sono ancora io vorrei solo sapere se il ragionamento che faccio per questo esercizio è corretto
Sia Dato l'endoformismo $ f:R^3->R^3 $ definito dalla seguente legge rispetto alla base canonica di $ R^3 $ :
$ f(x,y,z)=(x+y+2z,-y,(k+1)z) $
Posto $ k=0 $ , stabilire se $ f $ è diagonalizzabile.
Svolgimento:
Prima di tutto mi calcolo la Matrice associata alla Base Canonica di $ R^3 $ la quale risulta:
$ Mf^{E3,E3}| ( 1 , 1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , k+1 ) | $
Pongo ...
Buonasera a tutti! Vi propongo questo esercizio riguardante un'iperbole.
Scrivere l'equazione dell'iperbole passante per $P=(-3,1)$ e di fuochi $F_1=(0,-1)$, $F_2=(-1,2)$.
So che l'equazione canonica di un'iperbole passante per l'asse delle y è $x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1$.
Sapendo che $c^2=a^2+b^2$ e che $c$ rappresenta le coordinate dei fuochi posso imporre la seguente condizione su $a$ e $b$: $a^2+b^2 = 5/2$ dato che $c = (dist(F_1,F_2))/2 = sqrt(10)/2$. ...
Volevo chiedervi se la dimostrazione che segue è formalmente corretta.
Devo dimostrare che "Date due matrici quadrate $A,B\inM_N(RR)$, se $\lambda$ è autovalore di $A$ con autovettore $\bar(v)$ e se $\bar(v)\inKer<strong>$, dimostrare che $\lambda^2$ è un autovalore di $(A+B)^2$.
Allora...
Supponiamo che esista una matrice invertibile $P$ tale che valga la proprietà $A=PBP^(-1)$. Siccome $\lambda$ è autovalore di A, allora ...
Scusatemi avrei una domanda su questo esercizo:
Dato l'endomorfismo $ f:R^3->R^3 $ definito dalle relazioni
$ f(1,0,0)=(h,0,h) $
$ f(0,1,1)=(0,h+1,1) $
$ f(0,0,1)=(1,0,h) $
Calcolare $ f^-1(1,2,4) $
Procedo nel segunete modo mi trovo la Matrice associata alla funzione rispetto alle basi canoniche quindi $ Mf^{E_{3},E_{3}} $
e nella quarta colonna vi pongo i vettori in consegna quindi essa sarà:
$ | ( h , -1 , 1 , 1 ),( 0 , h+1 , 0 , 2 ),( h , 1-h , h , 4 ) | $
Mi accingo a ridurre la matrice a "gradini" e dopo una serie di riduzioni ...
Non ho chiaro il motivo per cui il differenziale di una funzione è chiamato anche "operatore lineare".
Considero lo spazio vettoriale $R^2$ delle coppie di numeri reali definito sul campo $R$.
In $R^2$ il differenziale di una funzione in un punto $(x_0,y_0)$ è l'operatore : $df_x$: $R^2 -> R$ i cui valori sono dati da:
$df_x(h)$= $(delf)/(delx_0)*h_1$ $+$ $(delf)/(dely_0)*h_2$.
Quindi se ho capito bene, l'applicazione ...
Ciao a tutti, sto seguendo questa dimostrazione https://proofwiki.org/wiki/Matrix_is_Invertible_iff_Determinant_has_Multiplicative_Inverse e mi sono bloccato alla thus della sufficient condition.
Se io ho: A*B=C*D (con A,B,C,D matrici quadrate) come faccio ad avere tutto in funzione di D?
Cioè se fossimo in R (campo dei reali) potrei fare A*B*C^(-1) = D così come potrei fare C^(-1)*A*B = D.
Ma la moltiplicazione fra matrici non è commutativa, quindi c'è sostanzialmente una differenza nell'ordine in cui posiziono le matrici.
Non ho capito come fa il sito a spostare ...
Buongiorno, apro questo post per chiedervi un consiglio su un esercizio.
Devo trovare l'equazione di un'ellisse dato il centro $C=(1,-1)$ e due vertici $V_1=(3,3)$ e $V_2=(3,-2)$.
Ho pensato di scrivere l'equazione generica dell'ellisse traslata di $C$, che sarebbe $(x-1)^2/a^2 + (y+1)^2/b^2 = 1$.
Ora riesco a ricavarmi $a$ e $b$ trovando rispettivamente la distanza tra $C,V_1$ e $C,V_2$, ma poi come posso ruotare l'ellisse?.
Questo "sofisma algebrico" mi è piaciuto così tanto che ve lo ripropongo.
Consideriamo il teorema di Hamilton-Cayley
Enunciato:
Sia \( f \) un endomorfismo di uno spazio vettoriale \( V \), \( \dim V=n < \infty \), e sia \( p_f(\lambda) \) il polinomio caratteristico di \( f \), sia inoltre \( A \) la matrice dell'endomorfismo \( f \). Allora \( p_f(A)=0 \).
"Dimostrazione":
\( p_f(\lambda)=\det(A-\lambda I_n )\), dunque \( p_f(A)=\det(A-A\cdot I_n)=0 \)
Nonostante in apparenza sembri ...
Ciao a tutti,
ho un problema nel risolvere un esercizio, o meglio nel fare la prova della correttezza della soluzione...
Si tratta di un esercizio presente nel testo Elementi di algebra lineare e geometria della Abeasis, la cui risoluzione del calcolo di $B$ con il metodo "standard" è lasciato allo studente.
Riporto sotto il testo con i vari passaggi principali (ho omesso di riportare alcuni calcoli):
Testo
In $RR^4$ si consideri la base $v_1, v_2, v_3, v_4$ e i vettori ...
Fissato un riferimento cartesiano dello spazio della geometria elementare, si considerino le rette
s:= $ { ( x − y + z = 1 ),( x + y + z = −1 ):} $ e $r := (0, 0, 1) + (1, 1, 0)t$.
(a) Le rette s ed r sono sghembe? ◦ Si ◦ No Perché?
(b) Determinare la comune perpendicolare a s ed r.
(c) Determinare un piano parallelo sia a r sia a s.
Vorrei avere un confronto con voi:
a) scrivo la matrice associata delle due rette e calcolo il rango se questo è massimo allora non sono sghembe altrimenti lo sono. Per prima cosa riscrivo la retta ...
Ho un dubbio… Date le applicazioni
$F:RR^4->RR^3:F(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+2x_2,0,x_3)$ e $G:RR^3->RR^4:G(y_1,y_2,y_3)=(0,y_1-y_2,2y_3,y_1)$
devo scrivere la matrice $ A=M(F@ G) $ dell'applicazione $F@G$. Sembrerebbe banale ma tendo sempre a confondermi con la sostituzione delle variabili. Ho fatto:
$F@G=F(G(y_1,y_2,y_3))=F(0,y_1-y_2,2y_3,y_1)=(2y_1-2y_2,y_1-y_2,2y_3,y_1)rArr A= [ ( 2 , -2 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ),( 1 , 0 , 0 ) ] $ dove:
$0=x_1$
$y_1-y_2=x_2$
$2y_3=x_3$
$y_1=x_4$
Perchè questi esercizi mi mandano sempre in crisi?
Un esercizio di programmazione chiede, data la matrice $ A=( ( 1 , 1 , -1 , 2 ),( 1 , 1 , 0 , 3 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ) ) $, di determinare $ker$ ed $Im$ con relative dimensioni e basi.
Da reminescenze di algebra lineare ottengo $dim(Im[A])=3$ con base ${ [ ( 1),( 1 ),( -1) ]; [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] ;[ ( -1),( 0 ),( 1 ) ] }$
e $dim(ker[A])=1$ con base $ {[ ( -1 ),( -2 ),( -1 ),( 1 ) ] } $.
Ok. I risultati sono corretti ma non ricordo precisamente la differenza tra nucleo ed immagine in quanto tali rispetto alle loro basi. Mi sento di poter dire $ker[A]$ e ...
Salve, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio:
Sia \(\displaystyle S = {(1,2,0,3) + z | z ∈ 〈(1,-1,2,1), (1,5,-2,5)〉} \)
Si stabilisca se S è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle R^4 \) e si determini, se possibile, un sistema lineare omogeneo avente S come insieme di soluzioni.
Grazie.
Ciao, sto leggendo la dimostrazione da Wikipedia del teorema della nullità più rango (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango), ed ho dei piccoli dubbi:
Quando si vuole dimostrare l'indipendenza lineare dei vettori {f(V[size=85]r+1[/size]),...,f(V[size=85]n[/size])}, grazie alle proprietà delle funzioni lineari trasforma il tutto in f(X[size=85]r+1[/size]V[size=85]r+1[/size],...,X[size=85]n[/size]V[size=85]n[/size])=0.
L'argomento di f appartiene dunque al kernel, e alla fine dimostra che quella combinazione lineare ...
Oggi parlando con il mio professore di geometria e algebra mi ha detto dell'esistenza di una proposizione che assicua che
"Se parto da un assegnazione di vettori indipendenti posso estendere l'applicazione ad una lineare e posso farlo in un unico modo" negli appunti non ho trovato nulla non vorrei sbagliarmi nella dimostrazione, in pratica ha usato questa proposizione per risolvere questo esercizio:
Sia r un numero reale arbitrario si supponga di avere un applicazione $f:{r}->R^2$
Per ...
Ciao a tutti,
Necessito di un chiarimento, ho una matrice quadrata n*n non singolare tale che
A^T = [(A^-1)]^3
Devo descrivere i valori singolari di A in termini degli autovalori di A.
Come potrei giustificare la risposta?
non capisco quale sia il termine di paragone tra gli autovalori ed i valori singolari.
Vi ringrazio in anticipo del supporto
Sia f:{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}->R^3
f(1,1,0)=(3,2,0)
f(0,1,1)=(0,2,1)
f(1,0,1)=(3,0,1)
Si può estendere f ad un applicazione lineare di R^3? Se fosse possibile in quanti modi si potrebbe fare? Quale sarebbe la matrice associata ad f' nel riferimento naturale? Dopodichè dire, usando semplicemente le definizioni, se tale f' sia diagonalizzabile o meno e determinare (sempre e solo con le definizioni) autovalori, autovettori e autospazi. (allego foto dell'esercizio)
analizzando per parti "Si ...
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