Sottospazi e autospazi, differenze
salve ragazzi,
seguo il corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici e sono necessari costanti richiami di Algebra Lineare e Geometria i quali alle volte si rivelano nozioni completamente o quasi nuove poichè il secondo corso è stato "poco approfondito", questo è uno dei casi:
mi è chiara la definizione di
Autospazio Generalizzato di Ordine n $ :=Ker( A -lambda_iI)^n $
Prima di questa però, propedeuticamente all' argomento "diagonalizzazione", tra i richiami, viene fornita la seguente definizione di
Autospazio Invariante Monodimensionale come "direzioni particolari dello spazio vettoriale X le quali sono invarianti rispetto all' endomorfismo A ivi definito" che io ho cercato di esprimere in linguaggio matematico così:
$ :={x in X : Ax=lambdax } $
1) è corretta la versione simbolica della seconda definizione?
2) cercando online ho notato che in genere si intende la seconda come SOTTOspazio ( invariante monodimensionale ) prima di AUTOspazio ( ... ) perchè l' autospazio è un sottospazio invariante: sono confuso sulla differenza tra autospazio e sottospazio, soprattutto in merito a questa definizione
3) sono COINCIDENTI la prima e la seconda definizione quando n = 1? oppure sono solo PRATICAMENTE la stessa cosa ( ma concettualemente 2 cose diverse )? o ancora non sono affatto la stessa cosa perchè la prima si riferisce all' autovalore i-esimo in particolare mentre la seconda a tutti gli autovalori?
4) perchè vengono detti "monodimensionali"? mi è stato risposto perchè definiscono delle direzioni, quindi delle rette (le quali geometricamente hanno 1 sola dimensione ) invarianti rispetto alla matrice A, ma non mi è chiara una cosa: se suppongo A matrice quadrata di dimensione 2 con due autovalori distinti, a cui corrisponderanno due autovettori indipendenti ( uno ciascuno ), le direzioni invarianti non sono 2? in questo caso il sottospazio invariante "monodimensionale" non dovrebbe avere dimensione 2 e quindi non essere più MONOdimensionale?
se possibile intoltre consigliatemi delle dispense che siano più accessibili, per avere un quadro generale ma corretto degli argomenti
ringrazio tutti in anticipo
seguo il corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici e sono necessari costanti richiami di Algebra Lineare e Geometria i quali alle volte si rivelano nozioni completamente o quasi nuove poichè il secondo corso è stato "poco approfondito", questo è uno dei casi:
mi è chiara la definizione di
Autospazio Generalizzato di Ordine n $ :=Ker( A -lambda_iI)^n $
Prima di questa però, propedeuticamente all' argomento "diagonalizzazione", tra i richiami, viene fornita la seguente definizione di
Autospazio Invariante Monodimensionale come "direzioni particolari dello spazio vettoriale X le quali sono invarianti rispetto all' endomorfismo A ivi definito" che io ho cercato di esprimere in linguaggio matematico così:
$ :={x in X : Ax=lambdax } $
1) è corretta la versione simbolica della seconda definizione?
2) cercando online ho notato che in genere si intende la seconda come SOTTOspazio ( invariante monodimensionale ) prima di AUTOspazio ( ... ) perchè l' autospazio è un sottospazio invariante: sono confuso sulla differenza tra autospazio e sottospazio, soprattutto in merito a questa definizione
3) sono COINCIDENTI la prima e la seconda definizione quando n = 1? oppure sono solo PRATICAMENTE la stessa cosa ( ma concettualemente 2 cose diverse )? o ancora non sono affatto la stessa cosa perchè la prima si riferisce all' autovalore i-esimo in particolare mentre la seconda a tutti gli autovalori?
4) perchè vengono detti "monodimensionali"? mi è stato risposto perchè definiscono delle direzioni, quindi delle rette (le quali geometricamente hanno 1 sola dimensione ) invarianti rispetto alla matrice A, ma non mi è chiara una cosa: se suppongo A matrice quadrata di dimensione 2 con due autovalori distinti, a cui corrisponderanno due autovettori indipendenti ( uno ciascuno ), le direzioni invarianti non sono 2? in questo caso il sottospazio invariante "monodimensionale" non dovrebbe avere dimensione 2 e quindi non essere più MONOdimensionale?
se possibile intoltre consigliatemi delle dispense che siano più accessibili, per avere un quadro generale ma corretto degli argomenti
ringrazio tutti in anticipo
Risposte
è corretta la versione simbolica della seconda definizione?Non è corretta, quello spazio può benissimo non essere monodimensionale (può benissimo essere tutto $X$). Ho idea non ti sia molto chiaro cosa sia questa parte di algebra lineare.
sono confuso sulla differenza tra autospazio e sottospazioOgni autospazio è un sottospazio; non il viceversa. Per esempio, il sottospazio $(0)$ non è autospazio di alcun $A$.
lukixx, come ti è già chiaro (da quello che hai scritto) temo che tu debba prenderti un libro e studiare. Nella sezione di questo forum "Leggiti questo!" ci sono millanta consigli riguardo l'algebra lineare. E quando le tue basi (battutona!) saranno più solide allora sarà più semplice chiarire eventuali dubbi e risolvere eventuali problemi.
Tutto ciò che posso fare ora è darti una brevissima scaletta puramente concettuale di ciò che stai per fare.
Da adesso in poi sto assumendo che stiamo lavorando nel campo dei numeri reali e solo con matrici quadrate.
a) cambio di base: presa una matrice A e una base B, riscrivere A rispetto alla nuova base, ovvero trovare una matrice X associata ad A tale $A=BXB^(-1)$
b) chiedersi se sia possibile trovare una base "speciale" (autovettori) tale la nostra X sia una matrice diagonale.
c) scoprire che non sempre è possibile trovare un numero di autovettori sufficienti a creare una tale base
d) imparare che però è possibile generalizzare il concetto di autovettore e trovare comunque una base tale che la nostra X non sarà perfettamente diagonale...ma quasi (la forma canonica di Jordan)
L'argomento d) è quello che stai studiando al corso.
Tutto ciò che posso fare ora è darti una brevissima scaletta puramente concettuale di ciò che stai per fare.
Da adesso in poi sto assumendo che stiamo lavorando nel campo dei numeri reali e solo con matrici quadrate.
a) cambio di base: presa una matrice A e una base B, riscrivere A rispetto alla nuova base, ovvero trovare una matrice X associata ad A tale $A=BXB^(-1)$
b) chiedersi se sia possibile trovare una base "speciale" (autovettori) tale la nostra X sia una matrice diagonale.
c) scoprire che non sempre è possibile trovare un numero di autovettori sufficienti a creare una tale base
d) imparare che però è possibile generalizzare il concetto di autovettore e trovare comunque una base tale che la nostra X non sarà perfettamente diagonale...ma quasi (la forma canonica di Jordan)
L'argomento d) è quello che stai studiando al corso.
allora ragazzi,@caulacau e @Bokonon innanzitutto grazie. Vi dirò, per quanto sia affasconante l'algebra lineare, non è di mio stretto interesse, se non per argomenti propedeutici alla comprensione del corso che per un gusto personale mi interessa di più. Tuttavia se mi viene spiegata dal professore una determinata definizione e in generale un determinato argomento, ci tengo a comprenderlo con SUFFICIENTE precisione, vale a dire che posso essere più flessibile sul rigore matematico, e per questo motivo ho trovato più che approfonditi per i miei scopi questi richiami di algebra lineare nella seguente tesi:
http://www.dm.unibo.it/~regonati/RMSI/t ... landri.pdf
e da questa pagina:
https://www.matematicamente.it/formular ... autospazi/
su questa base ho praticamente capito che:
1) un SOTTOSPAZIO INVARIANTE dello spazio vettoriale X rispetto all endomorfismo f ( e lasciatemi dire da ora in poi nonostante eventuale imprecisione ) o equivalentemente alla a matrice A associata a f è un sottospazio X' tale per cui $ f(X' )sube X $, cioè l'endomorfismo applicato ad un vettore di X' è ancora un vettore di X'
ora: se X è di dimensione n, un suo sottospazio invariante può avere dimensione al più n, giusto? per esempio se n=3 e la matrice A ha solo 2 autovalori disitnti e associati ad essi 2 autovettori indipendenti, posso avere un sottospazio al massimo di dimensione 2, che immagino come lo spazio dei vettori paralleli ai due autovettori indipendenti. Inoltre posso dire che il sottospazio $ {x in X:(A - lambda_i I)*x = 0} $ con i = 1...2 ( riferito ai due autovalori distinti dell'esempio precedente ) sia di dimensione 1 perchè ogni autovalore i-esimo ha associato un solo autovettore e dunque una sola direzione di vettori paralleli che appartengono al sottospazio i-esimo, e che l'unione dei due sottospazi ottenuti per i=1...2 sia invece di dimensione 2 ( e proprio il sottspazio che avevo immaginato nell'esempio ) ?
-- So che se una matrice non è diagonalizzabile si può estendere il set di autovettori con altri vettori, ma non ho ancora studiato la jordanizzazione e tutto ciò che la riguarda --
secondo la seconda fonte
2) un AUTOSPAZIO associato ad un autovettore i-esimo è praticamente $ Ker(A-lambda_iI) $ (quindi il sottospazio invariante i-esimo di 1) ). Esso può avere dimensione > 1, in genere al più pari alla molteplicità algebrica dell'autovalore. Per esempio se la matrice A nxn ha l'autovalore $ lambda $ di molteplicità algebrica m a cui sono associati gli p autovettori $ , p
$ Au_i = lambda u_i AA i=1...p $ per definizione, e se $ u = sum_(i = 0\ldotsp)c_iu_i, c_iin mathbb(R) $
$ Au = Asum_(i = 0\ldotsp)c_iu_i = sum_(i = 0\ldotsp)c_i(Au_i) = sum_(i = 0\ldotsp)c_i(lambdau_i) = lambda sum_(i = 0\ldotsp)c_iu_i = lambda u $
è ancora un autospazio, ma di dimensione 2, il sottospazio generato da solo due autovettori degli p autovettori associati a $lambda$? è anche possibile che lo stesso autovalore $lambda$ generi p autospazi di dimensione unitaria ( relativi alle direzioni di ognuno dei p autovettori) ?
quindi è corretto dire che un AUTOSPAZIO è un SOTTOSPAZIO INVARIANTE e quindi il sottospazio invariante MONODIMENSIONALE è semplicemente un autospazio di dimensione 1? inoltre nella tesi linkata, all' osservazione 7 è riportato che "Studiare i sottospazi invarianti di dimensione 1 equivale a studiare gli autovettori di A. I sottospazi invarianti di dimensione 1 sono tutti e soli quelli generati da esattamente un autovettore (non nullo) di A. Infatti un sottospazio unidimensionale W ha una base costuita da un solovettore non nullo w": posso dire che ciò vale anche se, come nel caso precedente, un autovalore generi più autovettori ma l'autospazio monodimensionale è quello generato da uno solo degli autovettori generati dall'autovalore?
3) Autospazi generalizzati di ordine n: allora credo che la definizione di autospazio nasca come in 2), poi si estende appunto nel caso "generalizzato", quindi autospazio ( di dimensione pari alla molteplicità geometrica di un autovalore ) e autospazio generalizzato di ordine 1 sono equivalenti; per quelli di ordine superiore si dimostra che dim( ordine n+1 ) > dim( ordine n ), ma non è affatto detto che dim( ordine n ) = n, proprio perchè dim( ordine 1 ) = molteplicità geometrica, giusto?
http://www.dm.unibo.it/~regonati/RMSI/t ... landri.pdf
e da questa pagina:
https://www.matematicamente.it/formular ... autospazi/
su questa base ho praticamente capito che:
1) un SOTTOSPAZIO INVARIANTE dello spazio vettoriale X rispetto all endomorfismo f ( e lasciatemi dire da ora in poi nonostante eventuale imprecisione ) o equivalentemente alla a matrice A associata a f è un sottospazio X' tale per cui $ f(X' )sube X $, cioè l'endomorfismo applicato ad un vettore di X' è ancora un vettore di X'
ora: se X è di dimensione n, un suo sottospazio invariante può avere dimensione al più n, giusto? per esempio se n=3 e la matrice A ha solo 2 autovalori disitnti e associati ad essi 2 autovettori indipendenti, posso avere un sottospazio al massimo di dimensione 2, che immagino come lo spazio dei vettori paralleli ai due autovettori indipendenti. Inoltre posso dire che il sottospazio $ {x in X:(A - lambda_i I)*x = 0} $ con i = 1...2 ( riferito ai due autovalori distinti dell'esempio precedente ) sia di dimensione 1 perchè ogni autovalore i-esimo ha associato un solo autovettore e dunque una sola direzione di vettori paralleli che appartengono al sottospazio i-esimo, e che l'unione dei due sottospazi ottenuti per i=1...2 sia invece di dimensione 2 ( e proprio il sottspazio che avevo immaginato nell'esempio ) ?
-- So che se una matrice non è diagonalizzabile si può estendere il set di autovettori con altri vettori, ma non ho ancora studiato la jordanizzazione e tutto ciò che la riguarda --
secondo la seconda fonte
2) un AUTOSPAZIO associato ad un autovettore i-esimo è praticamente $ Ker(A-lambda_iI) $ (quindi il sottospazio invariante i-esimo di 1) ). Esso può avere dimensione > 1, in genere al più pari alla molteplicità algebrica dell'autovalore. Per esempio se la matrice A nxn ha l'autovalore $ lambda $ di molteplicità algebrica m a cui sono associati gli p autovettori $
$ Au_i = lambda u_i AA i=1...p $ per definizione, e se $ u = sum_(i = 0\ldotsp)c_iu_i, c_iin mathbb(R) $
$ Au = Asum_(i = 0\ldotsp)c_iu_i = sum_(i = 0\ldotsp)c_i(Au_i) = sum_(i = 0\ldotsp)c_i(lambdau_i) = lambda sum_(i = 0\ldotsp)c_iu_i = lambda u $
è ancora un autospazio, ma di dimensione 2, il sottospazio generato da solo due autovettori degli p autovettori associati a $lambda$? è anche possibile che lo stesso autovalore $lambda$ generi p autospazi di dimensione unitaria ( relativi alle direzioni di ognuno dei p autovettori) ?
quindi è corretto dire che un AUTOSPAZIO è un SOTTOSPAZIO INVARIANTE e quindi il sottospazio invariante MONODIMENSIONALE è semplicemente un autospazio di dimensione 1? inoltre nella tesi linkata, all' osservazione 7 è riportato che "Studiare i sottospazi invarianti di dimensione 1 equivale a studiare gli autovettori di A. I sottospazi invarianti di dimensione 1 sono tutti e soli quelli generati da esattamente un autovettore (non nullo) di A. Infatti un sottospazio unidimensionale W ha una base costuita da un solovettore non nullo w": posso dire che ciò vale anche se, come nel caso precedente, un autovalore generi più autovettori ma l'autospazio monodimensionale è quello generato da uno solo degli autovettori generati dall'autovalore?
3) Autospazi generalizzati di ordine n: allora credo che la definizione di autospazio nasca come in 2), poi si estende appunto nel caso "generalizzato", quindi autospazio ( di dimensione pari alla molteplicità geometrica di un autovalore ) e autospazio generalizzato di ordine 1 sono equivalenti; per quelli di ordine superiore si dimostra che dim( ordine n+1 ) > dim( ordine n ), ma non è affatto detto che dim( ordine n ) = n, proprio perchè dim( ordine 1 ) = molteplicità geometrica, giusto?
Ho letto rapidamente e rinnovo il mio consiglio. Se nel tuo corso ti insegnano la forma canonica di Jordan, allora significa che danno per scontato che tu conosca la diagonalizzazione e i concetti fondamentali dell'algebra lineare come l'ave maria.
Nessuno ti chiede di saper dimostrare tutti i teoremi ma devi prima compredere a fondo i concetti e se il tuo metodo è questo, ovvero leggere rapidamente un paio di dispense e trarre conclusioni, allora permettimi di dirti che non fai progressi.
Come ho fatto nel post precedente, provo a darti una brevissima scaletta puramente concettuale, riprendendo dalla diagonalizzazione in campo reale (in campo complesso non ci sono problemi).
a) ad ogni autovalore è associato al massimo un autovettore. E includo anche le radici coincidenti contate nella loro molteplicità.
b) dato un polinomio caratteristico associato ad una matrice A puoi avere tre casisitiche:
b1) il polinomio ha n radici reali e distinte: quindi possiamo ricavare esattamente n autovettori e la matrice è diagonalizzabile
b2) il polinomio ha delle radici complesse: ci attacchiamo al tram
b3) il polinomio ha n radici di cui alcune coincidenti, per esempio k sono distinte, l coincidenti ed altre h coincidenti con $k+l+h=n$. Dalle k radici distinte ricaviamo sempre k autovettori. Poi andiamo effettivamente a vedere se ricaviamo esattamente l+h autovettori dalle due radici coincidenti. Se il responso è positivo bene altrimenti non è diagonalizzabile.
Quello che ti stanno insegnando è come ricavare una forma canonica di Jordan, ovvero a partire dal caso b3) non diagonizzabile, è possibile trovare una matrice "quasi diagonale" con un procedimento che richiede una buona dose di comprensione dei concetti basilari dell'algebra lineare...e non solo una sorta di generalizzazione ad capocchiam se mi passi il termine. Insomma, non indurre ad capocchiam e fatti le ossa prima con la diagonalizzazione.
Tutti questi concetti vengono poi applicati a spazi funzionali per la risoluzione, per esempio, di sistemi di equazioni differenziali. E immagino che questo sia il tuo caso.
Nessuno ti chiede di saper dimostrare tutti i teoremi ma devi prima compredere a fondo i concetti e se il tuo metodo è questo, ovvero leggere rapidamente un paio di dispense e trarre conclusioni, allora permettimi di dirti che non fai progressi.
Come ho fatto nel post precedente, provo a darti una brevissima scaletta puramente concettuale, riprendendo dalla diagonalizzazione in campo reale (in campo complesso non ci sono problemi).
a) ad ogni autovalore è associato al massimo un autovettore. E includo anche le radici coincidenti contate nella loro molteplicità.
b) dato un polinomio caratteristico associato ad una matrice A puoi avere tre casisitiche:
b1) il polinomio ha n radici reali e distinte: quindi possiamo ricavare esattamente n autovettori e la matrice è diagonalizzabile
b2) il polinomio ha delle radici complesse: ci attacchiamo al tram
b3) il polinomio ha n radici di cui alcune coincidenti, per esempio k sono distinte, l coincidenti ed altre h coincidenti con $k+l+h=n$. Dalle k radici distinte ricaviamo sempre k autovettori. Poi andiamo effettivamente a vedere se ricaviamo esattamente l+h autovettori dalle due radici coincidenti. Se il responso è positivo bene altrimenti non è diagonalizzabile.
Quello che ti stanno insegnando è come ricavare una forma canonica di Jordan, ovvero a partire dal caso b3) non diagonizzabile, è possibile trovare una matrice "quasi diagonale" con un procedimento che richiede una buona dose di comprensione dei concetti basilari dell'algebra lineare...e non solo una sorta di generalizzazione ad capocchiam se mi passi il termine. Insomma, non indurre ad capocchiam e fatti le ossa prima con la diagonalizzazione.
Tutti questi concetti vengono poi applicati a spazi funzionali per la risoluzione, per esempio, di sistemi di equazioni differenziali. E immagino che questo sia il tuo caso.
"Bokonon":
Ho letto rapidamente e rinnovo il mio consiglio. Se nel tuo corso ti insegnano la forma canonica di Jordan, allora significa che danno per scontato che tu conosca la diagonalizzazione e i concetti fondamentali dell'algebra lineare come l'ave maria.
Nessuno ti chiede di saper dimostrare tutti i teoremi ma devi prima compredere a fondo i concetti e se il tuo metodo è questo, ovvero leggere rapidamente un paio di dispense e trarre conclusioni, allora permettimi di dirti che non fai progressi.
Come ho fatto nel post precedente, provo a darti una brevissima scaletta puramente concettuale, riprendendo dalla diagonalizzazione in campo reale (in campo complesso non ci sono problemi).
a) ad ogni autovalore è associato al massimo un autovettore. E includo anche le radici coincidenti contate nella loro molteplicità.
b) dato un polinomio caratteristico associato ad una matrice A puoi avere tre casisitiche:
b1) il polinomio ha n radici reali e distinte: quindi possiamo ricavare esattamente n autovettori e la matrice è diagonalizzabile
b2) il polinomio ha delle radici complesse: ci attacchiamo al tram
b3) il polinomio ha n radici di cui alcune coincidenti, per esempio k sono distinte, l coincidenti ed altre h coincidenti con $k+l+h=n$. Dalle k radici distinte ricaviamo sempre k autovettori. Poi andiamo effettivamente a vedere se ricaviamo esattamente l+h autovettori dalle due radici coincidenti. Se il responso è positivo bene altrimenti non è diagonalizzabile.
Quello che ti stanno insegnando è come ricavare una forma canonica di Jordan, ovvero a partire dal caso b3) non diagonizzabile, è possibile trovare una matrice "quasi diagonale" con un procedimento che richiede una buona dose di comprensione dei concetti basilari dell'algebra lineare...e non solo una sorta di generalizzazione ad capocchiam se mi passi il termine. Insomma, non indurre ad capocchiam e fatti le ossa prima con la diagonalizzazione.
Tutti questi concetti vengono poi applicati a spazi funzionali per la risoluzione, per esempio, di sistemi di equazioni differenziali. E immagino che questo sia il tuo caso.
ti ringrazio ma la scaletta che hai proposto mi era già chiara, l'obiettivo di tutto ciò è il calcolo della matrice esponenziale, però effettivamente non hai risposto ai miei dubbi proposti nella risposta che ho scritto. E' ovvio che questo non sia il metodo giusto per avere una conoscenza perfetta dell'argomento ma io ho precisato che le nozioni le voglio sapere in maniera SUFFICIENTEMENTE approfondita a farmi comprendere quest' altro corso, e quelli sono i dubbi. Ma ancora, grazie lo stesso
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