Esercizio Gauss-Jordan

[giulio013]

Considerato il seguente sistema lineare su $R$:

$ { ( -x_1 + x_2 -2x_3 + x_4 + x_5 = 2 ),( -x_1 + 2x_2 -x_3 - 2x_4 + x_5 = 1 ),( 2x_1 + x_2 + 1x_3 - x_4 + 2x_5 = -1 ):} $

(i) con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan, calcolarne l’insieme delle soluzioni;
(ii) e vero che l’insieme delle soluzioni e un sottospazio vettoriale di $R^5$?

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Vorrei avere un confronto con voi per alcuni dubbi. Prima di tutto associo alla matrice ed applico Gauss-Jordan e trovo:

$(( -1, 1, -2, 1, 1, 2),( 0, 3, -3, -1, 2, 3), ( 0, 0, 0, 2, 2, 0)) $

Secondo voi è ridotto nel migliore dei modi in scala? gauss Jordan non dovrebbe restituire una matrice avente per diagonali i coefficienti 1?

Poi qui devo scrivere il sistema con le soluzioni e lasciarlo così com'è?

$ { ( x = z + q + 3 ),( y = z - q +1 ),( z = z ),( t = -q ),( q = q ):} $

(ii) Come faccio a verificare se il risultato è sottospazio vettoriale di $R^5$? Devo vedere se appartiene ancora ad $R^5$ controllando che non ci sia una sesta incognita e che non ci siano grado maggiori dell'equazioni di partenza?

[giulio013]

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[Bokonon]

"giulio0":
Vorrei avere un confronto con voi per alcuni dubbi. Prima di tutto associo alla matrice ed applico Gauss-Jordan e trovo:

$(( -1, 1, -2, 1, 1, 2),( 0, 3, -3, -1, 2, 3), ( 0, 0, 0, 2, 2, 0)) $

Di nuovo, o hai scritto male il sistema oppure hai lavorato male con Gauss, perchè questo sistema non ha chiaramente soluzione.
Ricontrolla bene i dati

[giulio013]

Hai ragione ho sbagliato tutto, applicavo Gauss piuttosto che Gauss-Jordan. Adesso riprovo, la matrice associata è:

$(( -1, 1, -2, 1, 1, 2), (-1, 2, -1, -2, 1, 1), ( 2, 1, 1, -1, 2, -1))$

poi la riduco con Gauss-Jordan e viene:

$(( 1, 0, 0, 1, 1, 0), ( 0, 1, 0, -2, 1, 0), ( 0, 0, 1, -5, -2, 3))$

poi come soluzione del sistema:

$ { ( x_1 = -x_4 - x_5 ),( x_2 = 2x_4 - x_5 ),( x_3 = 5x_4 + 2x_5 + 3 ),( x_4 = x_4 ),( x_5 = x5 ):} $

Adesso dovrebbe essere corretta. Senti ma come hai capito dl primo tentativo che fosse corretta?

(ii)Potresti rispondere?

[giulio013]

up

[Bokonon]

Devi aver sbagliato qualcosa perchè la matrice completa ridotto con Gauss mi risulta:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 3 , 0 , -4 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 , -5 , -2 , -3 ) ) $
Partendo dall'ultima riga e ponendo $x_4=x_5=0$, possiamo ricavarci una soluzione particolare $ p=( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Verifica che soddisfi il sistema di equazioni (lo fa).

Dalla matrice ridotta risolviamo il sistema omogeneo e troviamo il kernel.
Quindi lo spazio delle soluzioni è $ ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ),( x_4 ),( x_5 ) )=t( ( -3 ),( 4 ),( 5 ),( 3 ),( 0 ) )+s ( ( -3 ),( -2 ),( 2 ),( 0 ),( 3 ) )+( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) $
E non è uno spazio vettoriale perchè non contiene il vettore nullo.

[giulio013]

Non capisco perché uguagli $x_4 = x_5 = 0$ e né come trovi il kernel. Il sistema omogeneo della matrice che hai postato non è diverso da quello che hai scritto tu?

[giulio013]

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[Bokonon]

"giulio0":Non capisco perché uguagli $x_4 = x_5 = 0$ e né come trovi il kernel. Il sistema omogeneo della matrice che hai postato non è diverso da quello che hai scritto tu?

E' la stessa cosa che trovare la soluzione globale in funzione di due variabili libere e poi separare il vettore come ho fatto.
Al posto di s e t puoi mettere anche $x_4 e x_5$ e una soluzione particolare la ottieni appunto mettendo $s=t=0$