Applicazioni lineari e sottospazi. Esercizio
Ultimo punto da svolgere di una mia simulazione di prova d'esame:
Esibire la matrice della $ f_1 $ , rispetto alla base di $ X_(-2) $ .
Il problema assegna in $ R^4 $ il sottospazio $ X_k $ di equazioni $ { ( 2x_1+x_2+(k+1)x_3+3x_4=0 ),(x_1-x_2+x_3+(1-k)x_4=0 ),( -x_1+(k-3)x_2+5x_3+3x_4=0 ):} $ e la matrice $ A_h = ( ( 2 , 5 , h , -5 ),( 1 , h+1 , -1 , -3 ),( h+2 , 3 , 1 , -2 ),( -1 , -5 , 2 , 3+2h ) ) $ .
Inizialmente trovo che per $ k=-2 $, le equazioni sono dipendenti ed il sottospazio mi rappresenta un piano con dimensione 2 e base $ B= ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( -2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , avendo scartato la terza equazione.
Determino poi che per $ h=1 $, $ f(x)=A_1\cdot x $ mi definisce un'applicazione lineare da $ X_-2 $ in se stesso.
Non capisco adesso cosa l'esercizio richieda; quella matrice da esibire cos'è e cosa mi rappresenta? E' per caso la matrice 2x2 dei coefficienti dell'applicazione rispetto alla base sia "in entrata che in uscita", cioè $ [f]_(B)^B $? Se si, questo posso farlo perchè sono in presenza di un endomorfismo?
Scusate ho le idee poco chiare chiare su quest'ultimo punto. Necessito di chiarimenti. Grazie
Esibire la matrice della $ f_1 $ , rispetto alla base di $ X_(-2) $ .
Il problema assegna in $ R^4 $ il sottospazio $ X_k $ di equazioni $ { ( 2x_1+x_2+(k+1)x_3+3x_4=0 ),(x_1-x_2+x_3+(1-k)x_4=0 ),( -x_1+(k-3)x_2+5x_3+3x_4=0 ):} $ e la matrice $ A_h = ( ( 2 , 5 , h , -5 ),( 1 , h+1 , -1 , -3 ),( h+2 , 3 , 1 , -2 ),( -1 , -5 , 2 , 3+2h ) ) $ .
Inizialmente trovo che per $ k=-2 $, le equazioni sono dipendenti ed il sottospazio mi rappresenta un piano con dimensione 2 e base $ B= ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) , ( ( -2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ , avendo scartato la terza equazione.
Determino poi che per $ h=1 $, $ f(x)=A_1\cdot x $ mi definisce un'applicazione lineare da $ X_-2 $ in se stesso.
Non capisco adesso cosa l'esercizio richieda; quella matrice da esibire cos'è e cosa mi rappresenta? E' per caso la matrice 2x2 dei coefficienti dell'applicazione rispetto alla base sia "in entrata che in uscita", cioè $ [f]_(B)^B $? Se si, questo posso farlo perchè sono in presenza di un endomorfismo?
Scusate ho le idee poco chiare chiare su quest'ultimo punto. Necessito di chiarimenti. Grazie
Risposte
Non solo di un endomorfismo, ma di un endomorfismo per cui $X_{-2}$ è invariante, ossia $f|_{X_{-2}}$ assume valori in $X_{-2}$. E' questo il caso, per la $f$ che ti hanno dato?
Si, si. Ed io come ho fatto: determino $ h_0 $ per cui $ f(x)=A_(h_0) \cdot x $ , $ f: X_-2 rarr X_-2 $ (richiesta dell'esercizio) , mettendo in $ X_-2 $ i valori di $ f( ( 0 ),( 1 ),( 1),( 0 ) ) $ e/o $ f( ( -2 ),( 1 ),( 0),( 1 ) ) $. In entrambi i casi trovo che l'applicazione da $ X_-2 rarr X_-2 $ è verificata per $ h_0 = 1 $.
Mi manca solo da esibire quella matrice che l'esercizio richiede e che non capisco cosa sia.
Mi manca solo da esibire quella matrice che l'esercizio richiede e che non capisco cosa sia.
Potresti postare l'esercizio completo?
Esercizio completo:
Al variare di $ k,h in R $ considerare in $ R^4 $ il sottospazio $ X_k $ di equazioni ... e la matrice $ A_h= $ ... :
1) Determinare $ n_1 , n_2 in N $ e $ k_0 in R $ tali che $ dim(X_k) = n_1 $ per $ k!= k_0 $ e $ dimX_(k_0) = n_2 $
(fatto: per k=-2, dimX=2 e per $ k != -2 $, dimX=1 )
2) Esibire una base di $ X_k $ per k=3 e per $k= k_0 $ (fatto)
3) Determinare $ h_0 in R $ tale che la formula $ f(x) = A_(h_0) \cdot x $ definisca un'applicazione lineare $ f: X_(k_0) rarr X_(k_0) $ (fatto)
4) Esibire la matrice della $ f_(h_0) $ del punto 3) rispetto alla base di $ X_(k_0) $ del punto 2) (non fatto)
Al variare di $ k,h in R $ considerare in $ R^4 $ il sottospazio $ X_k $ di equazioni ... e la matrice $ A_h= $ ... :
1) Determinare $ n_1 , n_2 in N $ e $ k_0 in R $ tali che $ dim(X_k) = n_1 $ per $ k!= k_0 $ e $ dimX_(k_0) = n_2 $
(fatto: per k=-2, dimX=2 e per $ k != -2 $, dimX=1 )
2) Esibire una base di $ X_k $ per k=3 e per $k= k_0 $ (fatto)
3) Determinare $ h_0 in R $ tale che la formula $ f(x) = A_(h_0) \cdot x $ definisca un'applicazione lineare $ f: X_(k_0) rarr X_(k_0) $ (fatto)
4) Esibire la matrice della $ f_(h_0) $ del punto 3) rispetto alla base di $ X_(k_0) $ del punto 2) (non fatto)
Ok, sono perplesso. Mi sa che, come hai detto tu, intende la matrice associata 2x2.
Vediamo se ci sono altre idee dagli utenti.
Vediamo se ci sono altre idee dagli utenti.
Mi manca solo da esibire quella matrice che l'esercizio richiede e che non capisco cosa sia
Prendi una base di $X_{-2}$; ce l'hai, diciamo che si chiama $\{u,v\}$; ora ci sono dei coefficienti (unici) $a,b,c,d$ tali che $f(u)=au+bv, f(v)=cu+dv$. La matrice che ti interessa è \(\left(\begin{smallmatrix} a & c \\ b & d \end{smallmatrix}\right)\).
No?
Benissimo. Allora la matrice intesa dovrebbe essere $ ( ( 4 , -5 ),( -3, 2 ) ) $ .
Grazie mille a tutti quanti. A presto
Grazie mille a tutti quanti. A presto
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