Relazione tra valori singolari e autovalori di una matrice quadrata

[donmedellin1]

Ciao a tutti,

Necessito di un chiarimento, ho una matrice quadrata n*n non singolare tale che

A^T = [(A^-1)]^3

Devo descrivere i valori singolari di A in termini degli autovalori di A.

Come potrei giustificare la risposta?

non capisco quale sia il termine di paragone tra gli autovalori ed i valori singolari.


Vi ringrazio in anticipo del supporto

[Bokonon]

Ciao donmedellin, benvenuto.
Se metti il simbolo del dollaro a sinistra e destra della equazione diventa così (oppure usa l'editor):
$A^T = [(A^-1)]^3$

"donmedellin":
Devo descrivere i valori singolari di A in termini degli autovalori di A.

I valori singolari arrivano dalla decomposizine di $A^TA$ oppure di $A A^T$ (a meno che A stessa non sia una matrice simmetrica data dal prodotto di una matrice X per la sua trasposta o viceversa).
Gli autovalori sono di A (se è diagonalizzabile).

Puoi specificare meglio/correggere i dati del problema?

[donmedellin1]

Grazie Bokonon della risposta.






Il quesito è tratto da un tema d'esame, a questo punto non capisco se manca qualcosa nei dati, o ci sia una relazione intrinseca che mi sfugge.

don

[Bokonon]

Comincia a mettere insieme quello che sai.
E' chiaro che diano per scontato che A sia diagonalizzabile, inoltre è non singolare quindi invertibile.
Sappiamo che gli autovalori di $A$ e di $A^T$ sono i medesimi dato che hanno il medesimo polinomio caratteristico, quindi hanno la stessa matrice diagonale D.
Sappiamo che $A=SDS^(-1)$ e quindi $A^(-1)=SD^(-1)S^(-1)$
E cosa sappiamo dell'inversa di una matrice diagonale?

Sappiamo che $A=USigmaV^(-1)$ dove $Sigma$ è la matrice dei valori singolari di A e che proprietà la collega agli autovalori di A? Ci potranno essere valori singolari pari a zero in questo specifico caso?

[donmedellin1]

"Bokonon":Comincia a mettere insieme quello che sai.
E' chiaro che diano per scontato che A sia diagonalizzabile, inoltre è non singolare quindi invertibile.
Sappiamo che gli autovalori di $A$ e di $A^T$ sono i medesimi dato che hanno il medesimo polinomio caratteristico, quindi hanno la stessa matrice diagonale D.
Sappiamo che $A=SDS^(-1)$ e quindi $A^(-1)=SD^(-1)S^(-1)$
E cosa sappiamo dell'inversa di una matrice diagonale?

Sappiamo che $A=USigmaV^(-1)$ dove $Sigma$ è la matrice dei valori singolari di A e che proprietà la collega agli autovalori di A? Ci potranno essere valori singolari pari a zero in questo specifico caso?

Allora da quello che ho messo insieme ho capito come:

I valori singolari di A sono le radici quadrate degli autovalori di
$A^T*A$.
Per la matrice in questione si ha

$A^T*A=(A^-1)^3*A=(A^-1)^2$

Ora, gli autovalori di

$(A^-1)^2$

sono i reciproci degli autovalori di A
elevati al quadrato. Per cui i valori singolari di A sono i reciproci
dei moduli degli autovalori di A.

Ora quello che non mi è chiaro è come:

Gli autovalori di $(A^-1)^2$ sono i reciproci degli autovalori di A
elevati al quadrato anche quando A non è diagonalizzabile.

Potreste chiarirmi questo passaggio?

Grazie