Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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1) Dimostra che esiste una biiezione \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \), questa mappa può essere continua?
2) Dimostra che esiste una biiezione \( g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), questa mappa può essere continua?
Per 1) io ho fatto questo ma non so se va bene
Definiamo le seguenti mappe \( f_1 := \operatorname{id} : [0,1] \hookrightarrow \mathbb{R} \), e \( f_2 : \mathbb{R} \hookrightarrow [0,1] \), tale che \( f_2(x):= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{2}{\pi} \arctan(x) + 1 \end{pmatrix} \) ...
Sia \( (A_i)_{i \in \mathbb{N} } \) una collezione numerabile di insiemi finiti. Dimostra che \( \mathcal{A}:= \bigcup\limits_{i=0}^{\infty} A_i \) è numerabile. Dimostra che la stessa conclusione è valida anche se \( (A_i)_{i \in \mathbb{N} } \) un' unione numerabile di insiemi numerabili.
Per il caso dove ciascun \( A_i \) è di cardinalità finita, diciamo \( \operatorname{card}(A_i)=n_i \in \mathbb{N} \), ho pensato di creare una collezione numerabile di insiemi finiti \( ( B_i )_{i \in ...
Il mio libro di testo afferma che ogni matrice di $\text{SO}(3)$ che non sia l'identità è univocamente determinata dall'asse e dall'angolo di rotazione. L'asse è $\text{span}(v)$, dove $Av=v$.
Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?
Salve!
Vorrei un parere sul metodo che ho usato per calcolare la controimmagine di un vettore al variare del parametro h
Innanzitutto ho l'endomorfismo: f:R^4 ->R^4 definito da: f((x, y, z, t)) = (2x+2t, 3y-z, -6+2z, x+t).
Il vettore è v=(4, 3, h+3, 2)
Scusatemi ma per lo svolgimento proverò ad inserire una foto, dato che non ho dimestichezza con il forum e non saprei come scrivere tutto in modo pienamente comprensibile:
Ciò che ho fatto è stato eguagliare le equazioni riferite ...
Ciao. Necessiterei del vostro aiuto nel capire questo concetto (forse un teorema) sull'ortogonalità fra due vettori complessi.
L'esercizio è il seguente:
Trovare tutti i vettori di $ C^2 $ unitari ed ortogonali a $ ( ( 2-i ),( 1+i ) ) $.
Ora, io ho cercato di risolvere il problema sfruttando le condizioni algebriche sul fatto che i vettori cercati devono avere modulo 1 e devono essere ortogonali a quel vettore dato, cioè fatto il prodotto scalare con il coniugato del vettore dato il ...
Ma la definizione di Matrice simmetrica coincide con l'enunciato del teorema spettrale oppure sto dicendo una cavolata?
In caso, come posso enunciare il teorema spettrale? (campo reale).
Salve,
vorrei capire se il seguente ragionamento è corretto.
Sia A ∈ MR(3) una matrice quadrata 3 × 3 e avendo il seguente polinomio caratteristico:
$Pa(t) = (t^2 +4)(1-t)$
Questi a seguire sono miei ragionamenti.
Posso affermare che:
- Non ammette soluzioni reali, quindi non ci sono autovalori a causa di $t^2 +4 = 0$ e di conseguenza non è diagonalizzabile?
- Il suo determinante è 16 e la traccia è 7.
Pertanto considerando quest'altro polinomio:
$Pa = (4 - t)(1 + t)(2+t)$
è scomposto, ammette ...
Salve, sto avendo delle opinioni contrastanti riguardo l'esistenza di un omomorfismo che mandi un piano per l'origine in un punto Q.
Penso che i vettori paralleli/generatori "V" e "W" del piano debbano essere mandati entrambi nell'origine(l'unico sottospazio che mi viene in mente è, appunto, (0,0,0) ).
Mentre poi, prendendo un punto non appartenente al piano, questo debba essere mandato in Q.
Non riesco a capire come mai, da quanto mi è stato detto, esistano infiniti omomorfismi, se i miei ...
Salve ragazzi ho problemi nel risolvere questo esercizio....Mi potreste aiutare per favore?
Determinare l’intersezione e la somma dei seguenti sottospazi di R4 ;
W = {(2x + y, x − y, 4x, 2x + 3y + z) : x, y ∈ R}, U = +
Buonasera a tutti
Stavo cercando di dimostrare il seguente:
"Sia $f: X -> Y$ tra varietà della stessa dimensione con $X$ compatta e sia $R sube Y$ l'insieme dei valori regolari. Allora $f_(|f^(-1)(R)):f^(-1)(R)->R$ è un rivestimento a finiti fogli"
Inserisco in spoiler un mio "tentativo"
Dato $p in R$ devo cercare di costruire un intorno "ben rivestito". Poiché $p$ è regolare allora per ogni $q in f^(-1)(p), df_p:T_qX->T_pY$ è surgettivo(per definizione), dunque un ...
Buonasera, la consegna del mio esercizio è questa: "Determinare una base di $RR^5$ formata da vettori ortogonali che contenga il vettore $v$=$ ( 1 \ \ 0 \ \ 2 ) $ "
Un vettore generico è ortogonale a uno dato se il prodotto scalare è nullo.
Imposto l'equazione $x + 2z = 0$ e ottengo una base ortogonale di dimensione $2$.
Per esempio < $ ( 1 \ \ 0 \ \ -1/2 ) , ( 0 \ \ 1 \ \ 0 ) $ >
Se prendo gli elementi di questa base vedo che essi sono ortogonali al vettore ...
Buonasera, stavo risolvendo questo problema: "Sia $V_2$ lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a due e sia $\varphi: RR^4 ->V_2$ l'applicazione lineare definita da
$\varphi(e_1) = x^2+1, \varphi(e_2) = x^2-1, \varphi(e_3) = x^2+x, \varphi(e_4) = x-2$
dove $e_1, e_2, e_3, e_4$ sono i vettori della base canonica di $RR^4$
1)Dopo aver identificato $V_2$ con $RR^n$ per un valore opportuno di $n∈NN$, si determini la matrice rappresentativa di $\varphi$ rispetto alla base canonica di ...
Buongiorno a tutti
Riporto il teorema che ho citato nel titolo:
"Sia $f:X->Y$ tra varietà liscia e sia $p in X$ un punto regolare per $f$. Allora posto $q=f(p)$ esistono intorni aperti $U$ di $p$ in $X$, $V$ di $q$ in $Y$ con carte $\phi:U->\Omega_1 sube RR^n$, $\psi:V->\Omega_2 sube RR^m$ tale che $\psi f phi^(-1)(x)=pi(x)$, dove $pi$ è la proiezione sulle prime ...
Ciao,
volevo capire un ragionamento/procedimento
A seguire i dati dell'esercizio completo.
a) Determinare una rappresentazione cartesiana (e parametrica) della retta R passante per i punti
Po = (1, 1, 1) e P1 = (2, 2, -1)
Ho le rette cartesiane $x-y = 0$ e $2x+z-3 = 0$ (quelle parametriche non le inserisco).
b) Determinare l'equazione del piano ortogonale ad S e passante per P2 = (1, 2, 3)
Il piano è $x + y -2z -9 = 0$
Il punto c) chiede la distanza piano e punto P0. E va bene ...
Ciao, volevo capire se il procedimento che effettuo per trovare "proiezione ortogonale di Q sulla retta N ortogonale al Piano passante per l'origine" è corretto. Perché credo di sbagliare qualcosina...
Avendo la retta in forma cartesiana, utilizzo il fascio per trovare il piano che passa per l'origine, quindi con lambda e mu.
Una volta trovato, uso il vettore direttore del piano e il punto Q, applico fourier.
A questo punto dovrei trovarlo ma il risultato è sempre diverso quindi sbaglio ...
Salve a tutti.
Riporto il mio problema:
In R3 dotato del prodotto scalare usuale, si consideri il sottospazio U=span($|5,0,5|$,$|2,1,3|$,$|3,-1,2|$)
Si consideri la proiezione ortogonale "pU" su U come un endomorfismo di R3.
Determinare una base ortonormale di autovettori di "pU".
Presuppongo che generalmente non ho problemi a trovare autovettori ed autovalori quando mi viene data una matrice quadrata qualunque o anche quando devo trovare la proiezione ortogonale di un ...
Salve,
Ho un problema. Sto disperando da qualche giorno. Qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento (anche facendomi vedere i passaggi?) per trovare un vettore non nullo tale che q(X) = 0?
Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).
Allego un'immagine.
Grazie mille.
Buonasera, fra non molti giorni avrò l'esame di algebra lineare. La consegna dell'esercizio è la seguente:
"Costruire un' applicazione lineare $\varphi$: R^2 ->R^2 che mandi il rettangolo di vertici
A=(0, 0), B=(2, 0), C=(2, 1), D=(0, 1)
in un rettangolo contenuto all'interno della circonferenza di raggio 1 e centro A".
Ho pensato, l'applicazione lineare esiste(non mi sembra l'unica quanto alla scelta de vettori immagini, non ne sono sicuro) per il fatto che riesca a scegliere due ...
Buongiorno, il testo dell'esercizio mi chiede: "Determinare 3 punti in H tale che l'area della regione triangolare con vertici tali 3 punti abbia area 1". Piano H ={(x, y, z) ∈ R^3 : 2x - y + 2z = 1}
Sono a conoscenza della formula dell'area del triangolo (pari alla metà dell'area del parallelogramma) tramite la norma del prodotto vettoriale di due vettori. I 3 punti che scelgo non devono essere allineati.
Non so come impostare questo sistema
Ciao! Sia \( f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) una funzione tra spazi reali con la topologia standard. Voglio provare che \( f \) è continua se e solo se gli insiemi
\[
\begin{align*}
M(k)&=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)>k\right\}\\
m(k)&=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)
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