Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera, vi propongo l'esercizio in questione:
Sia A ∈ Mat3x3(R) una matrice reale simmetrica. Sapendo che A ammette l'autospazio V1 di equazione
x-2y+3z=0 e che detA = 0, determinare il polinomio caratteristico di A.
Ora, so che la matrice è simmetrica e quindi che è diagonalizzabile.
Deve valere che la molteplicità geometrica sia uguale alla molteplicità algebrica per ogni autovalore.
So che la molteplicità geometrica è uguale alla dimensione dell'autospazio dato, uguale a due.
So che un ...
Ciao. Sia \( \left(X,\tau\right) \) uno spazio topologico. Voglio provare che \( X \) è T1 ("i punti sono chiusi") se e solo se l'intersezione degli intorni di un \( x\in X \) è uguale al singoletto \( \{x\} \).
L'unico tentativo che ho fatto, e solo per dimostrare la diretta, è stato considerare la base locale degli aperti contenenti \( x \), e provare a cavarci qualche cosa.
Mi piacerebbe avere qualche suggerimento (Posto perché il tempo mi stringe, e se mi fermo non riesco a fare più ...
Ciao a tutti, sono nuovo di questo forum e mi sono iscritto per comprendere meglio quanto detto in questa vecchia discussione.
In particolare mi rivolgo a Martino, e a quanto affermato:
"Martino": […]
Il più semplice esempio di spazio T0 ma non T1 è questo: [tex]X=\{1,2\}[/tex] con la topologia [tex]\tau = \{\emptyset,\ \{1\},\ \{1,2\}\}[/tex].
Se ti è utile, puoi vederla così:
Assioma di separazione T0: c'è al più un punto denso.
Assioma di separazione T1: i punti sono ...
Salve , questo è il testo dell'esercizio :
Discutere la dimensione del sottospazio di R4
U = (a, b, 1, 0),(2a, a − b, 3 + c, 2) al variare di a, b, c ∈ R.
Con i vettori del sottospazio ci ho costruito la matrice 2x4
A= a b 1 0
2a a-b 3+c 2
Il mio ragionamento mi porta a dire che il rango di A può avere dimensione max=2 se e soltanto se il determinante di A (2x2)!= 0....... Prendo il "quadrato" 1 0 ed il suo determinante viene un numero Reale
...
Ciao ragazzi sono nuovo su questo sito ma lo seguivo senza iscrizione da molto tempo. La mia domanda iniziale è abbastanza semplice: perché un piano ad esempio in R^3 che non passa dall'origine non può essere uno spazio vettoriale?
Ciao ho questo esercizio che mi sta dando problemi...
Per ogni $k in RR$ sia $T_k: RR^4 ->RR^4$ l'endomorfismo dato da
$T_k(x)= ((3a +b+2c+kd),(-ka+b-kc+kd),(3c+8d),(2c+3d))$
per quali valori d $k$ l'endomorfismo $T_k$ è diagonalizzabile. Si scrive la matrice A associata all'endomorfismo $T_0$ nella base canonica e si dica se $A$ è simile alla matrice
$B=((-9,4,0,0),(-24,11,0,0),(2, (pi)^2,5,2),((pi),-6,4,3))$.
Io ho provato a calcolare il polinomio caratteristico di $T_k(x)$ rispetto alla seconda ...
Ciao. Sia \( \left\{X_i:i\in I\right\} \) una famiglia di spazi. Sia \( X=\coprod_{i\in I}X \) la loro unione disgiunta insiemistica, che intendo come \( X=\coprod_{i\in I}X=\left\{(x,i):\text{$ x\in X_i $ e $ i\in I $}\right\} \).
Manetti - prima di introdurre le funzioni continue - definisce lo spazio unione disgiunta degli \( X_i \) come la coppia \( \left(X,\tau\right) \), dove, verbatim, \( \tau \) è "la topologia meno fine tra quelle che contengono tutte le topologie degli ...
Ho pensato di postare in questa sezione perchè, anche se di estrazione elettrotecnica, in realta' ritengo sia un tema di algebra lineare.
Consideriamo una generica rete elettrica lineare accessibile esternamente da 2 porte costituita all'interno da soli elementi lineari permanenti senza-memoria quali bipoli resistivi e generatori controllati di tensione/corrente (non sono ammessi pertanto generatori indipendenti di tensione o corrente).
Da un punto di vista topologico possiamo chiudere tale ...
Salve.Speravo gentilmente che qualcuno mi potesse chiarire questo esercizio in vista di un'esame di geometria nei prossimi giorni.Ecco il testo con la risoluzione fornita.
Determinare il sottoinsieme H degli (α, β) ∈ R^2 per cui la forma quadratica :
$αx^2 + 2βxy + y^2$
ha vettori isotropi, e dire se H ́e un sottospazio vettoriale o affine di R^2.
Soluzione:
Si ha $αx^2 + 2βxy + y^2 = αx^2 − β^2x^2 + β^2x^2 + 2βxy + y^2 = (α − β^2)x^2 + (βx + y)^2$.
Per cui se $β^2 ≥ α$ si hanno vettori isotropi, altrimenti no.
Ovvero si ha che il determinante della ...
Salve, non riesco a venire a capo di questo esercizio, in particolare del terzo punto:
Dati i punti P = (−3, 6, −3), Q = (7, −4, 3) :
(1) Si trovino equazioni cartesiane della retta r per P, Q.
(2) Si trovi la retta r1 proiezione ortogonale di r sul piano π : $ 3x − 4y + 5z − 2 = 0 $ e il punto O
intersezione di r e π
(3) Si trovino punti A ∈ r, B ∈ r1 tale che il triangolo AOB sia retto con area 30√2
La prima retta mi sembra avere equazione $\{(2+5/3z-x=0),(1-5/3z-y):}$
La proiezione ortogonale della retta r su ...
C'è qualcosa che non capisco, guardavo il gruppo unitario U(1)
https://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_dei_gruppi_di_Lie
Loro scrivono che il \(\displaystyle U(1) \) è connesso, non semplicemente connesso, compatto, mentre \(\displaystyle SU(2) \) è semplicemente connesso, compatto, per \(\displaystyle n > 2 \): semplice e semisemplice
Quello che non capisco:
1. come fa un gruppo connesso a non essere semplicemente connesso? L'unica è che il gruppo fondamentale del gruppo connesso non è il gruppo banale. Ma quando questo?
2. ...
Ciao mi potete aiutare con questo esercizio di algebra lineare
Es. Si dimostri che \(\displaystyle B=\{v1=e1 + e3; v2=e2; v3=2e1 + e3\} \) (ei sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle C^3 \)) e una base di \(\displaystyle C^3 \). Si consideri poi l'applicazione lineare \(\displaystyle f:C^3 -> C^3 \) la cui matrice associata rispetto alla base \(\displaystyle B \) (su dominio e codominio) sia
\(\displaystyle A=\begin{bmatrix}
0 & 1 ...
Salve tutti, ho trovato un esercizio in cui mi si chiedeva di dimostrare che tutte le funzioni da R in R sono una combinazione lineare del sottospazio delle funzioni dispari e del sottospazio delle funzioni pari. Sono completamente bloccato perchè mi verrebbe naturale considerare le funzioni da R in R come somma di funzioni pari e dispari, ma non so come dimostrarlo.
grazie dell'attenzione
Salve a tutti. Mi stavo esercitando per l'esame di domani quando mi esce quest'esercizio.. E non so come procedere..
L'esercizio dice:
Sia $A$ una matrice di ordine n su $RR$, e sia $\lambda$ un suo autovalore. Sia $m$ un intero positivo.
(a) Stabilire se $\lambda$ elevato alla $m$ (scusate ma non riuscivo ad elevarla) è un autovalore di $A^m$;
(b) Le matrici $A$ e $A^m$ sono ...
Considera l’applicazione T : R3 [t] → R3 [t] data da T (p(t)) = p(2t) + p(1 − t); trova autovalori e autovettori di T .
La matrice A associata a T rispetto alla base 1,t, $ t^2 $ , $ t^3 $ , è :
$ A=| ( 2 , 1 , 1 , 1 ),(0 , 1 , -2 , -3 ),( 0 , 0 , 5 , 3 ),(0 , 0 , 0 , 7 ) | $
Calcolando il polinomio caratteristico trovo che gli autovalori sono 1,2,5,7 e fino a qui nessun problema.
Trovo difficoltà nel trovare gli autovettori.
Procederei, per esempio , con λ=1 e scriverei $ A'=| ( 1 , 1 , 1 , 1 ),(0 , 0 , -2 , -3 ),( 0 , 0 , 4 , 3 ),(0 , 0 , 0 , 6 ) | $ , poi devo moltiplicare A' per (?) vettore ...
Ciao a tutti! Sto cercando di calcolare i gruppi di omologia singolare delle sfere: per fare ciò considero prima la successione esatta della coppia e faccio considerazioni su di essa.
Sia $D^n$ il disco n-dimensionale e $S^(n-1)=del D^n$ un suo sottospazio. Suppongo che i coefficienti siano in $ZZ$ senza scriverlo ogni volta
Considero la coppia $(D^n, S^(n-1))$ e quindi la seguente successione esatta:
$... rarr H_i(D^n) rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr H_(i-1)(D^n) rarr ...$
Ora quello che so è che, essendo il ...
Non ho trattato ancora l'argomento, ma rispulciando le note di Algebra Lineare I c'era un addendum che dice tra le altre cose:
"Nel caso di dimensione infinita la costruzione di una base non è facile. Per esempio consideriamo lo spazio vettoriale delle successioni. Le successioni \( (1,0,0, \ldots), (0,1,0,\ldots), (0,0,1,\ldots),\ldots \) sono linearmente indipendenti ma non formano una base. Nel caso infinito la dimostrazione dell'esistenza di una base non è costruttiva e ricorre a concetti ...
Salve,
Qualcuno sa darmi una mano con questa proposizione:
Sia $A \subset \mathbb{C}$ aperto connesso, sono fatti equivalenti:
1. $A$ semplicemente connesso
2. Ogni mappa continua $f:S^1->A$ si estende a mappa continua $\bar{f}:D^1->A$
Buongiorno a tutti,
avrei questo problema da risolvere e non riesco a venirne a capo non essendo molto preparato geometricamente.
Conosco 2 punti A(x1,y1) B(x2,y2) che creano una retta.
quali sono le formule da usare e come si arriva a determinare il punto C e D per poter comporre un quadrato?
Grazie per la collaborazione.
Buongiorno,
ho una domanda "esistenziale" di tipo più teorico che altro, ma che mi sta mettendo in crisi profonda...
La dimensione dello Span e la dimensione di una base dello stesso Span coincidono?
Cerco di spiegarmi meglio.
In $RR^4$ consideriamo $U=Span(u_1, u_2)$ con
$u_1=((1),(1),(0),(0))$ e $u_2=((0),(1),(0),(1))$.
Poiché i due vettori sono linearmente indipendenti, $dim(Span(u_1, u_2))=2$.
Tuttavia, ad esempio il vettore
$w=u_1 + u_2= ((1),(1),(0),(0))+((0),(1),(0),(1))=((1),(2),(0),(1))$
può essere riscritto secondo la base canonica ...
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