Identificazione di SO(3)
Il mio libro di testo afferma che ogni matrice di $\text{SO}(3)$ che non sia l'identità è univocamente determinata dall'asse e dall'angolo di rotazione. L'asse è $\text{span}(v)$, dove $Av=v$.
Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?
Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?
Risposte
"arnett":
In che senso? Intendi dire che bisognerebbe specificare se la rotazione avviene in senso antiorario o orario rispetto all'asse?
Esatto, altrimenti dato un asse e un angolo solo possibili due rotazioni.
"arnett":
Ma mi pare si consideri sempre la rotazione in senso antiorario per convenzione; nel senso che le formule standard, per esempio quella che ti dà la matrice di rotazione come $((cos \theta, -sin theta, 0 ), (sin theta, cos theta, 0),(0, 0, 1))$ se si usa il tuo $v$ come terzo vettore della base di $\RR^3$ funzionano con rotazioni antiorarie, se vuoi rotazioni orarie varrà una formula diversa con qualche segno cambiato.
Il verso è (anti)orario se c'è un orientazione dell'asse rispetto alla quale fare riferimento, no? Altrimenti posso scegliere un qualsiasi verso dell'asse e operare una rotazione in senso (anti)orario, ma si otterranno due risultati differenti
Leonardo dice una cosa corretta. In fisica, si dice che l'asse di rotazione è uno "pseudo-vettore", nel senso che dipende dall'orientazione dello spazio; se si cambia l'orientazione, il vettore cambia il segno.
"arnett":
Ma l'asse è individuato da un vettore il quale ovviamente è orientato
Esatto, ma esistono vettori di diverso segno che lo individuano
"leonardo_mutti":
[quote="arnett"]Ma l'asse è individuato da un vettore il quale ovviamente è orientato
Esatto, ma esistono vettori di diverso segno che lo individuano[/quote]
Certo. Infatti, l'identificazione non è 1:1; ci sono rotazioni che corrispondono a più di una coppia asse-angolo. Infatti, la rotazione di angolo \(\pi\) attorno all'asse \(n\) è uguale alla rotazione di angolo\(-\pi\) attorno all'asse \(-n\).
Quindi, \(SO(3)\) è identificato al quoziente
\[
\mathbb B^3/ \sim, \]
dove \(\mathbb B^3\) è una palla chiusa in \(\mathbb R^3\) di raggio \(\pi\), e la relazione di equivalenza è
\[
x\sim y \quad \iff\quad x, y\in\partial \mathbb B^3,\ x=-y.\]
Ad ogni elemento \(x\) di questo quoziente, si associa la rotazione di asse \(n:=x/|x|\) e angolo \(|x|\). Se \(x=0\) si conviene che la rotazione corrispondente sia l'identità.
E' necessario passare al quoziente esattamente per identificare correttamente le rotazioni di angolo \(\pi\) e \(-\pi\). Tutto questo è spiegato (molto meglio di come abbia fatto io) qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotati ... p#Topology
L'\(S\) (special) davanti alla \(O\) (ortogonal) implica che si stia considerando solo le trasformazioni orientate positivamente.
Secondo me è più utile l'identificazione tra \(SO(n)\) e le basi ortonormali orientate positivamente. Cosa che mette in evidenza il collegamento tra moving frames e \(SO(n)\) (e funziona per ogni \(n\)).
Secondo me è più utile l'identificazione tra \(SO(n)\) e le basi ortonormali orientate positivamente. Cosa che mette in evidenza il collegamento tra moving frames e \(SO(n)\) (e funziona per ogni \(n\)).
"dissonance":
[quote="leonardo_mutti"][quote="arnett"]Ma l'asse è individuato da un vettore il quale ovviamente è orientato
Esatto, ma esistono vettori di diverso segno che lo individuano[/quote]
Certo. Infatti, l'identificazione non è 1:1; ci sono rotazioni che corrispondono a più di una coppia asse-angolo. Infatti, la rotazione di angolo \(\pi\) attorno all'asse \(n\) è uguale alla rotazione di angolo\(-\pi\) attorno all'asse \(-n\).
Quindi, \(SO(3)\) è identificato al quoziente
\[
\mathbb B^3/ \sim, \]
dove \(\mathbb B^3\) è una palla chiusa in \(\mathbb R^3\) di raggio \(\pi\), e la relazione di equivalenza è
\[
x\sim y \quad \iff\quad x, y\in\partial \mathbb B^3,\ x=-y.\]
Ad ogni elemento \(x\) di questo quoziente, si associa la rotazione di asse \(n:=x/|x|\) e angolo \(|x|\). Se \(x=0\) si conviene che la rotazione corrispondente sia l'identità.
E' necessario passare al quoziente esattamente per identificare correttamente le rotazioni di angolo \(\pi\) e \(-\pi\). Tutto questo è spiegato (molto meglio di come abbia fatto io) qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotati ... p#Topology[/quote]
Il mio problema è che so definire univocamente l'asse ma non l'angolo, e tutti i discorsi successivi sembrano dare questa definizione per assodata.
Sapresti dunque dirmi come si definisce formalmente l'angolo di una matrice $\SO{3}$?
Si osserva che un autovalore deve per forza essere 1, e che gli altri due devono essere coniugati e di modulo unitario, quindi uguali a $e^{\pm i\theta} $ per qualche $\theta\in \mathbb R$.
Devo proprio andare, ora. Spero di avere dato per lo meno l'idea fondamentale.
Devo proprio andare, ora. Spero di avere dato per lo meno l'idea fondamentale.
Leonardo, per comprendere appieno le rotazioni è necessario attendere di studiare le matrici unitarie (ovvero le matrici di rotazione in campo complesso) e la relazione che hanno con le matrici di rotazione in campo reale. Dissonance ha accennato proprio a questo.
Invece di entrare nel merito, posso provare a darti un'idea generale della relazione e un metodo su come effettivamente trovare l'angolo. Sarà una scaletta telegrafica che mira ad evidenziare gli aspetti essenziali e più importanti.
- le matrici SO(3) formano un gruppo, ovvero qualsiasi composizione di matrici appartenenti a SO(3) restituisce ancora una matrice che appartiene a SO(3). Il che è abbastanza naturale, conoscendone il significato geometrico: se ruoto un sistema attorno ad un asse di un angolo $alpha$ e poi lo ruoto nuovamente di un angolo $beta$, allora è la stessa cosa di ruotarlo direttamente di un angolo $alpha+beta$ e così via. Inoltre le Special Orthogonal sono solo e unicamente le matrici che hanno determinante pari ad 1.
-in campo reale le matrici di rotazione sono associate alle matrici SO(3) tramite una Lie Algebra so(3). Tradotto, mettono in relazione le matrici antisimmetriche in campo reale e le matrici unitarie in campo complesso. Pertanto, in campo reale, hanno sempre un solo autovalore reale pari ad 1 (il cui autovettore corrisponde all'asse di rotazione) e due autovalori complessi e coniugati, ergo non sono mai diagonalizzabili. Nota bene: se una matrice di rotazione ha determinante $-1$ allora è una riflessione (una rotazione di 180°) e come sai sono diagonalizzabili ed hanno autovalori pari a $+-1$. Per questo vengono escluse (vedi punto precedente). Interessano solo e unicamente le matrici di rotazione che hanno determinante $+1$, ovvero rotazioni attorno ad un asse in senso orario o antiorario.
-consideriamo la generica matrice a blocchi di rotazione $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , cos(theta) , -sin(theta) ),( 0 , sin(theta) , cos(theta) ) ) $
La traccia della matrice è sempre $Trac cia=1+2cos(theta)$ e ci fornisce una formula per determinare l'angolo di rotazione.
$theta=cos^(-1)[(Trac cia -1)/2]$
Invece di entrare nel merito, posso provare a darti un'idea generale della relazione e un metodo su come effettivamente trovare l'angolo. Sarà una scaletta telegrafica che mira ad evidenziare gli aspetti essenziali e più importanti.
- le matrici SO(3) formano un gruppo, ovvero qualsiasi composizione di matrici appartenenti a SO(3) restituisce ancora una matrice che appartiene a SO(3). Il che è abbastanza naturale, conoscendone il significato geometrico: se ruoto un sistema attorno ad un asse di un angolo $alpha$ e poi lo ruoto nuovamente di un angolo $beta$, allora è la stessa cosa di ruotarlo direttamente di un angolo $alpha+beta$ e così via. Inoltre le Special Orthogonal sono solo e unicamente le matrici che hanno determinante pari ad 1.
-in campo reale le matrici di rotazione sono associate alle matrici SO(3) tramite una Lie Algebra so(3). Tradotto, mettono in relazione le matrici antisimmetriche in campo reale e le matrici unitarie in campo complesso. Pertanto, in campo reale, hanno sempre un solo autovalore reale pari ad 1 (il cui autovettore corrisponde all'asse di rotazione) e due autovalori complessi e coniugati, ergo non sono mai diagonalizzabili. Nota bene: se una matrice di rotazione ha determinante $-1$ allora è una riflessione (una rotazione di 180°) e come sai sono diagonalizzabili ed hanno autovalori pari a $+-1$. Per questo vengono escluse (vedi punto precedente). Interessano solo e unicamente le matrici di rotazione che hanno determinante $+1$, ovvero rotazioni attorno ad un asse in senso orario o antiorario.
-consideriamo la generica matrice a blocchi di rotazione $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , cos(theta) , -sin(theta) ),( 0 , sin(theta) , cos(theta) ) ) $
La traccia della matrice è sempre $Trac cia=1+2cos(theta)$ e ci fornisce una formula per determinare l'angolo di rotazione.
$theta=cos^(-1)[(Trac cia -1)/2]$
"leonardo_mutti":
Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?
Riassumendo, l'autovettore associato all'autovalore 1 mantiene il verso originario dell'asse.
L'angolo di rotazione lo si determina con la formuletta.
Se si inverte il verso dell'asse, allora si inverte il senso di rotazione.
"Bokonon":
[quote="leonardo_mutti"]
Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?
Riassumendo, l'autovettore associato all'autovalore 1 mantiene il verso originario dell'asse.
L'angolo di rotazione lo si determina con la formuletta.
Se si inverte il verso dell'asse, allora si inverte il senso di rotazione.[/quote]
Perfetto. Quindi se fisso un'orientazione dello spazio, dato un versore $v \in a$, l'asse di rotazione, segue l'angolo $\phi(v)$. Al versore $-v$ corrisponde l'angolo $\phi(-v)=-\phi(v)$. Il modulo dell'angolo è dato dalla formula con la traccia, il segno è definito una volta assegnata un'orientazione dello spazio, giusto?
Detto questo (e spero sia tutto giusto finora!), come è possibile che un asse e un angolo determinino una sola rotazione? Non sono necessari un asse, un'orientazione dell'asse e un angolo? (con asse intendo una retta, non un vettore unitario o meno)
Si, infatti qui stiamo parlando di "asse" ma intendiamo sempre un vettore.
Non ti capisco. L'asse è l'autospazio generato dall'autovettore associato all'autovalore 1.
Se l'autovettore è $v$ allora è la base che genera tutti i punti che stanno su $tv$ con t numero reale.
Questa è una retta e tutti i vettori che stanno su di essa sono autovettori di $lambda=1$.
Scegliere un autovettore mica significa che c'è solo lui.
Se l'autovettore è $v$ allora è la base che genera tutti i punti che stanno su $tv$ con t numero reale.
Questa è una retta e tutti i vettori che stanno su di essa sono autovettori di $lambda=1$.
Scegliere un autovettore mica significa che c'è solo lui.
"Bokonon":
Non ti capisco. L'asse è l'autospazio generato dall'autovettore associato all'autovalore 1.
Se l'autovettore è $v$ allora è la base che genera tutti i punti che stanno su $tv$ con t numero reale.
Questa è una retta e tutti i vettori che stanno su di essa sono autovettori di $lambda=1$.
Scegliere un autovettore mica significa che c'è solo lui.
Infatti la domanda originaria era come fosse possibile che ogni matrice ortogonale speciale $A$ fosse univocamente determinata da un angolo e da un asse (dato un asse e un angolo vi associo un'unica matrice in $\text{SO}(3)$).
Sapevo cos'era l'asse di rotazione di $A$, ora ho capito cos'è l'angolo: viene definito tenendo conto di quale verso attribuisci all'asse.
Dunque, per definire univocamente una matrice ortogonale speciale, non serve anche un orientazione dell'asse, oltre che all'asse e all'angolo?
"dissonance":
Si, infatti qui stiamo parlando di "asse" ma intendiamo sempre un vettore.
Il mio libro parla di asse come di autospazio di $1$, e dice che asse + angolo determinano unicamente una matrice in $\text{SO}(3)$. Siccome la definizione dell'angolo discende dal verso che scegli dell'asse, mi chiedevo come posso spiegare la proposizione del libro.
"leonardo_mutti":
[quote="dissonance"]Si, infatti qui stiamo parlando di "asse" ma intendiamo sempre un vettore.
Il mio libro parla di asse come di autospazio di $1$, e dice che asse + angolo determinano unicamente una matrice in $\text{SO}(3)$. Siccome la definizione dell'angolo discende dal verso che scegli dell'asse, mi chiedevo come posso spiegare la proposizione del libro.[/quote]
Lo stesso articolo di Wikipedia che i hai girato recita infatti 'Technically, one needs to specify an orientation for the axis and whether the rotation is taken to be clockwise or counterclockwise with respect to this orientation'
L'orientazione oraria o meno non è un grosso problema, basta dichiararla in anticipo, il fatto è che si aggiunge il grado di libertà dato dal verso dell'asse.
Proviamo con un esempio. Fissa un asse e dimmi l'angolo di rotazione.
$ T=1/3( ( 2 , 2 , -1 ),( -1 , 2 , 2 ),( 2 , -1 , 2 ) ) $
$ T=1/3( ( 2 , 2 , -1 ),( -1 , 2 , 2 ),( 2 , -1 , 2 ) ) $
"Bokonon":
Proviamo con un esempio. Fissa un asse e dimmi l'angolo di rotazione.
$ T=1/3( ( 2 , 2 , -1 ),( -1 , 2 , 2 ),( 2 , -1 , 2 ) ) $
$v'=(1,1,1)$ è autovettore di $T$ secondo l'autovalore $1$. Creo $v=1/\sqrt(3)v'$.
L'unico asse è $\text{span}(v)$.
Un vettore ortogonale a $v$ è $w=\sqrt(2/3) (1/2,1/2,-1)$. $u=1/\sqrt(2) (1,-1,0)$ rende $\{v,w,u\}$ una base ortonormale.
Ora scelgo il verso dell'asse:
(a) $+v$
1 - scelgo $\{v,w,u\}$ come base ortonormale, allora in questa base $T$ diventa $ ( ( 1 ,0 , 0 ),( 0, 1/2, -\sqrt(3)/2),( 0 , \sqrt(3)/2 , 1/2 ) ) $. Quindi l'angolo è $\pi/3$
2 - scelgo $\{v,u,w\}$ come base ortonormale, [...], l'angolo è $-\pi/3$
(b) $-v$
1 - scelgo $\{-v,w,u\}$ come base ortonormale, [...], l'angolo è $-\pi/3$
2 - scelgo $\{-v,u,w\}$ come base ortonormale, [...], l'angolo è $\pi/3$
(spero di non aver commesso errori di calcolo)
Angolo e asse sono ok, ma nessuno ti chiede di trovare una base. Non è necessaria. Applica la formuletta. Una volta scelto il verso, stabilisci che la rotazione è antioraria. Se poi fai la stessa cosa per $T^(-1)=T^T$ avrai il medesimo asse ma rotazione oraria.
Studi fisica, quante volte hai scelto un sistema di riferimento arbitrario per risolvere gli esercizi?
E quale principio ti garantisce che non esista un sistema preferenziale?
Se ti dico che l'asse della terra è inclinato, la prima domanda che mi poni qual è?
Infine, alla matrice non interessa nulla del verso, conosce solo la direzione dell'asse. Quindi a quella rotazione corrisponde una sola matrice di SO(3): lei vede solo l'autospazio e l'angolo di rotazione.
Ci saranno esercizi in cui ti danno un sistema di riferimento, altri in cui lo deciderai tu come sempre.
Quando ho scritto che una volta fissato un verso hai una rotazione, lo intendevo letteralmente.
Prova ad usare la formuletta e ti risparmi di definire il sistema completo.
Studi fisica, quante volte hai scelto un sistema di riferimento arbitrario per risolvere gli esercizi?
E quale principio ti garantisce che non esista un sistema preferenziale?
Se ti dico che l'asse della terra è inclinato, la prima domanda che mi poni qual è?
Infine, alla matrice non interessa nulla del verso, conosce solo la direzione dell'asse. Quindi a quella rotazione corrisponde una sola matrice di SO(3): lei vede solo l'autospazio e l'angolo di rotazione.
Ci saranno esercizi in cui ti danno un sistema di riferimento, altri in cui lo deciderai tu come sempre.
Quando ho scritto che una volta fissato un verso hai una rotazione, lo intendevo letteralmente.
Prova ad usare la formuletta e ti risparmi di definire il sistema completo.
"Bokonon":
Angolo e asse sono ok, ma nessuno ti chiede di trovare una base. Non è necessaria. Applica la formuletta. Una volta scelto il verso, stabilisci che la rotazione è antioraria. Se poi fai la stessa cosa per $T^(-1)=T^T$ avrai il medesimo asse ma rotazione oraria.
Studi fisica, quante volte hai scelto un sistema di riferimento arbitrario per risolvere gli esercizi?
E quale principio ti garantisce che non esista un sistema preferenziale?
Se ti dico che l'asse della terra è inclinato, la prima domanda che mi poni qual è?
Infine, alla matrice non interessa nulla del verso, conosce solo la direzione dell'asse. Quindi a quella rotazione corrisponde una sola matrice di SO(3): lei vede solo l'autospazio e l'angolo di rotazione.
Ci saranno esercizi in cui ti danno un sistema di riferimento, altri in cui lo deciderai tu come sempre.
Quando ho scritto che una volta fissato un verso hai una rotazione, lo intendevo letteralmente.
Prova ad usare la formuletta e ti risparmi di definire il sistema completo.
Infatti per ogni scelta del verso evidenziavo che a seconda dell'orientamento dello spazio (orario, antiorario) l'angolo cambia. Quindi fissato l'orientamento, scelto il verso dell'asse l'angolo è unico.
Ma fissata l'orientazione dello spazio, l'asse e l'angolo non definiscono un'unica matrice di SO(3), ma due, a seconda del verso dell'asse. Quindi concludo che la proposizione 'ogni matrice di SO(3) è univocamente identificata dal suo asse e dal suo angolo' è falsa?
(grazie mille intanto)
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