Spazi e sottospazi vettoriali
Salve ragazzi ho problemi nel risolvere questo esercizio....Mi potreste aiutare per favore?
Determinare l’intersezione e la somma dei seguenti sottospazi di R4 ;
W = {(2x + y, x − y, 4x, 2x + 3y + z) : x, y ∈ R}, U = <(2, −1, 3, 5)> + <(0, 1, −1, −4)>
Determinare l’intersezione e la somma dei seguenti sottospazi di R4 ;
W = {(2x + y, x − y, 4x, 2x + 3y + z) : x, y ∈ R}, U = <(2, −1, 3, 5)> + <(0, 1, −1, −4)>
Risposte
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Perciò ti chiedo: cosa hai provato? Che conti hai fatto?
Perciò ti chiedo: cosa hai provato? Che conti hai fatto?
ho trovato i vettori di W cioè (2,1,4,2)(1,-1,0,3)(0,0,0,1) poi non capisco come andare avanti...
Ah, quindi quelli sarebbero “i” vettori di $W$?
A me pare che anche $(3,0,4,6)$ sia un vettore di $W$, così come $(2,1,4,3)$… O no?
A me pare che anche $(3,0,4,6)$ sia un vettore di $W$, così come $(2,1,4,3)$… O no?
Sono i vettori generatori di W ed essendo anche lin.indip. sono anche una sua base
Vabbè… E poi?
Cos’altro puoi dire?
Cos’altro puoi dire?
che la dimensione di W è 3
Però quello che devi determinare è la dimensione di intersezione e somma di \(U\) e \(W\).
Nota che gugo83 può sembrare pignolo alle volte, ma i professori, specialmente durante gli esami, lo saranno anche di più. Quindi cerca di costruire un discorso completo e preciso. Più lo fai, più sarà facile farlo. In fondo, un forum non è una chat, hai tutto il tempo di ponderare su quello che scrivi.
Detto questo, nella sezioni universitarie conviene imparare ad usare le [formule][/formule] sin da subito.
Riassumendo quello che hai scritto finora, \(W\) e \(U\) sono due sottospazi di \(\mathbb{R}^4\). Il primo, ovvero \(W\), ha dimensione \(3\) ed è generato dai vettori \((2, 1, 4, 2),\,(1, -1, 0, 3)\) e \((0, 0, 0, 1)\). Mentre \(U\) ha dimensione \(2\) ed è generato dai vettori \((2, -1, 3, 5)\) e \((0, 1, -1, -4)\). Supponiamo anche che tu abbia dimostrato questi quattro fatti. Ora, come pensi di comportarti? Conosci qualche formula che mette in relazione \(\dim( W+U )\) e \(\dim( W\cap U )\)? Puoi dire qualcosa su di loro ancora prima di fare calcoli?
Nota che gugo83 può sembrare pignolo alle volte, ma i professori, specialmente durante gli esami, lo saranno anche di più. Quindi cerca di costruire un discorso completo e preciso. Più lo fai, più sarà facile farlo. In fondo, un forum non è una chat, hai tutto il tempo di ponderare su quello che scrivi.
Detto questo, nella sezioni universitarie conviene imparare ad usare le [formule][/formule] sin da subito.
Riassumendo quello che hai scritto finora, \(W\) e \(U\) sono due sottospazi di \(\mathbb{R}^4\). Il primo, ovvero \(W\), ha dimensione \(3\) ed è generato dai vettori \((2, 1, 4, 2),\,(1, -1, 0, 3)\) e \((0, 0, 0, 1)\). Mentre \(U\) ha dimensione \(2\) ed è generato dai vettori \((2, -1, 3, 5)\) e \((0, 1, -1, -4)\). Supponiamo anche che tu abbia dimostrato questi quattro fatti. Ora, come pensi di comportarti? Conosci qualche formula che mette in relazione \(\dim( W+U )\) e \(\dim( W\cap U )\)? Puoi dire qualcosa su di loro ancora prima di fare calcoli?
Il problema è qui che mi blocco e non riesco più ad andare avanti...
"Nepler265":
Il problema è qui che mi blocco e non riesco più ad andare avanti...
Grassman? https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Grassmann
Riguardo a \(W + U\), sai che è generato da 5 vettori: i tre vettori della base di \(W\) più i due della base di \(U\). Conosci un modo per trovare una base a partire da un insieme finito di generatori?
Ovviamente il mio suggerimento precedente era di usare Grassman, come ricordato da Bokonon.
Ovviamente il mio suggerimento precedente era di usare Grassman, come ricordato da Bokonon.
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