Esercizio: calcolo di autovalori ed autovettori di una matrice complessa e prodotto scalare Hermitiano
Ciao ragazzi, avrei bisogno di aiuto nel risolvere questo esercizio di una simulazione della mia prova d'esame scritta riguardante questa matrice complessa:
Al variare di $ z in C $, considerare la matrice $ A(z) = ( ( 4 , z^2 ),( bar(z)+1-3i , |z|^2+2 ) ) $.
(A) Stabilire per quali $ z $ la $ A(z) $ ha autovalori reali e una base ortonormale di autovettori.
(B) Provare che per tutti i valori di $ z $ trovati nel punto (A) si ha che $ <\cdot | \cdot > _ (A(z)) $ è un prodotto scalare hermitiano su $ C^2 $
(C) Per il valore di z di modulo maggiore tra quelli trovati nel punto (A), individuare tutti
i generatori del sottospazio ortogonale rispetto a $ <\cdot | \cdot > _ (A(z)) $ al vettore $ (1 − i)e_1 + (1 + 2i)e_2 $ che sono unitari rispetto al prodotto scalare hermitiano standard su $ C^2 $
Il problema sorge per tutti e tre i punti del test non sapendo risolvere subito il primo:
so determinare autovalori reali per matrici reali (attraverso il calcolo del determinante della matrice $ A - lambda I $ ) e so che una base ortonormale è una base ortogonale $ (v_1 , v_2) $ con $ v_1 \cdot v_2 = 0 $ tale che $ ( v_1/(|| v_1|| ), v_2 / (|| v_2|| ) ) $ .
Avendo però numeri complessi generici (z=a+ib) come trovo ciò che mi è richiesto.
Datemi un incipit anche per la risoluzione dei punti (B) e (C) per favore. Grazie
Al variare di $ z in C $, considerare la matrice $ A(z) = ( ( 4 , z^2 ),( bar(z)+1-3i , |z|^2+2 ) ) $.
(A) Stabilire per quali $ z $ la $ A(z) $ ha autovalori reali e una base ortonormale di autovettori.
(B) Provare che per tutti i valori di $ z $ trovati nel punto (A) si ha che $ <\cdot | \cdot > _ (A(z)) $ è un prodotto scalare hermitiano su $ C^2 $
(C) Per il valore di z di modulo maggiore tra quelli trovati nel punto (A), individuare tutti
i generatori del sottospazio ortogonale rispetto a $ <\cdot | \cdot > _ (A(z)) $ al vettore $ (1 − i)e_1 + (1 + 2i)e_2 $ che sono unitari rispetto al prodotto scalare hermitiano standard su $ C^2 $
Il problema sorge per tutti e tre i punti del test non sapendo risolvere subito il primo:
so determinare autovalori reali per matrici reali (attraverso il calcolo del determinante della matrice $ A - lambda I $ ) e so che una base ortonormale è una base ortogonale $ (v_1 , v_2) $ con $ v_1 \cdot v_2 = 0 $ tale che $ ( v_1/(|| v_1|| ), v_2 / (|| v_2|| ) ) $ .
Avendo però numeri complessi generici (z=a+ib) come trovo ciò che mi è richiesto.
Datemi un incipit anche per la risoluzione dei punti (B) e (C) per favore. Grazie
Risposte
"fedeing.":Esattamente come nel caso delle matrici a coefficienti reali: da lì non si scappa!
...Avendo però numeri complessi generici (z=a+ib) come trovo ciò che mi è richiesto...
Puoi utilizzare, se vuoi, la notazione esponenziale dei numeri complessi per (si spera) semplificare un po' i calcoli.
No, non mi viene, scusate. Mi perdo nella risoluzione del polinomio caratteristico dove mi compaiono un sacco di termini assurdi. Sicuramente devo applicare e considerare da subito la condizione che qualche z corrispondono ad una base ortonormale di autovettori per A prima di aver trovato i rispettivi autovalori. Ad esempio dire che il prodotto delle colonne della matrice sia 0? A cosa porta? Mi sfugge forse qualche Teorema o qualche trucco algebrico che mi possa agevolare i calcoli.
Aiutatemi vi prego. Fatemi vedere come si risolve e quali sono le radici reali del polinomio caratteristico. Grazie
Aiutatemi vi prego. Fatemi vedere come si risolve e quali sono le radici reali del polinomio caratteristico. Grazie
...e scrivili questi calcoli! 
$ det ( ( 4-lambda , z^2 ),( bar(z)+1-3i , |z|^2 +2-lambda ) ) = (4-lambda )(|z|^2 +2-lambda )- z^2 (bar(z) +1 -3i) $
con z= a+ib $ rArr lambda ^2 - (a^2+b^2 + 6)lambda + (a+ib)^2 (a-ib+3i-1) +4 (a^2+b^2) + 8 = ... $ $ = lambda ^2 - (a^2+b^2+6)lambda + a^3+ 3a^2 + 5b^2 + ab^2 -6ab + ia^2b + 3ia^2 - 2iab - ib^3 - 3ib^2 + 8 $
Carino vero?
con z= a+ib $ rArr lambda ^2 - (a^2+b^2 + 6)lambda + (a+ib)^2 (a-ib+3i-1) +4 (a^2+b^2) + 8 = ... $ $ = lambda ^2 - (a^2+b^2+6)lambda + a^3+ 3a^2 + 5b^2 + ab^2 -6ab + ia^2b + 3ia^2 - 2iab - ib^3 - 3ib^2 + 8 $
Carino vero?
Dato che sono graditi gli autovalori reali, la parte immaginaria dev'essere nulla; sicché (ci sono degli errori che ho corretto!)
\[
a^2b+3a^2-2ab^2+b^3-3b^2=0\\
a^2b-2ab^2+b^3+3a^2-3b^2=0\\
b(a^2-2ab+b^2)+3(a^2-b^2)=0\\
b(a-b)^2+3(a-b)(a+b)=0\\
(a-b)[b(a-b)+3(a+b)]=0\\
a=b\lor b(a-b)+3(a+b)=0
\]
e potresti usare la prima condizione (controllando tutti i calcoli pregressi) per trovare una prima condizione utile.
\[
a^2b+3a^2-2ab^2+b^3-3b^2=0\\
a^2b-2ab^2+b^3+3a^2-3b^2=0\\
b(a^2-2ab+b^2)+3(a^2-b^2)=0\\
b(a-b)^2+3(a-b)(a+b)=0\\
(a-b)[b(a-b)+3(a+b)]=0\\
a=b\lor b(a-b)+3(a+b)=0
\]
e potresti usare la prima condizione (controllando tutti i calcoli pregressi) per trovare una prima condizione utile.
Rifatto i calcoli. Continua a saltarmi fuori il termine $ -2iab $ invece quello con il tuo coefficiente $ -2ab^2 $.
Comunque, considerando a=b:
$ lambda ^2 - (2a^2 + 6)lambda + 2a^3 +2a^2 +i (2a^3-2a^2) $ , (se per questa volta i calcoli sono corretti), dovrebbe essere il polinomio risultante.
Ed ora? Condizione di ortonormalità della base di autovettori che però non so com'è?
Comunque, considerando a=b:
$ lambda ^2 - (2a^2 + 6)lambda + 2a^3 +2a^2 +i (2a^3-2a^2) $ , (se per questa volta i calcoli sono corretti), dovrebbe essere il polinomio risultante.
Ed ora? Condizione di ortonormalità della base di autovettori che però non so com'è?
Riprendo dal calcolo del polinomio caratteristico:
\[
(4-\lambda)(a^2+b^2+2-\lambda)-(a+ib)^2(a-ib+1-3i)=\\
=\lambda^2+\lambda(-a^2-b^2-2-4)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2+2iab)(a-ib+1-3i)=\\
=\lambda^2-\lambda(a^2+b^2+6)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2)(a+1)-2iab(-ib-3i)+i(a^2-b^2)(b+3)-2iab(a+1)=\\
=\lambda^2-\lambda(a^2+b^2+6)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2)(a+1)+2ab(b+3)+i[(a^2-b^2)(b+3)-2ab(a+1)],
\]
da ciò, la condizione necessaria affinché il polinomio caratteristico abbia solo radici reali è:
\[
(a^2-b^2)(b+3)-2ab(a+1)=0\\
a^2(b+3-2b)-2a-b^2(b+3)=0\\
a^2(3-b)-2a-b^2(b+3)=0.
\]
Calcolando il discriminante di quest'ultima equazione, si ha che:
\[
\Delta(a)=4+4(3-b)b^2(b+3)=4[1+b^2(9-b^2)]\geq0;
\]
ponendo \(\displaystyle t=b^2\), si deve risolvere la disequazione
\[
1+t(9-t)\geq0\\
-t^2+9t+1\geq0\iff t^2-9t-1\leq0\\
\Delta(t)=81+4=85\Rightarrow-\frac{9+\sqrt{85}}{2}\leq t\leq\frac{-9+\sqrt{85}}{2};
\]
di conseguenza, si ha che
\[
0\leq b^2\leq\frac{-9+\sqrt{85}}{2}\\
0\leq b\leq\sqrt{\frac{-9+\sqrt{85}}{2}}
\]
ed è solo l'inizio, poiché dev'essere:
\[
a=\frac{1\pm\sqrt{1+b^2(9-b^2)}}{b-3}.
\]
Il tutto è abbastanza chiaro fin qui?
Rimarrebbe da determinare la condizione sufficiente affinché tale matrice sia diagonalizzabile...[ot]Che esercizio sadico![/ot]
\[
(4-\lambda)(a^2+b^2+2-\lambda)-(a+ib)^2(a-ib+1-3i)=\\
=\lambda^2+\lambda(-a^2-b^2-2-4)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2+2iab)(a-ib+1-3i)=\\
=\lambda^2-\lambda(a^2+b^2+6)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2)(a+1)-2iab(-ib-3i)+i(a^2-b^2)(b+3)-2iab(a+1)=\\
=\lambda^2-\lambda(a^2+b^2+6)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2)(a+1)+2ab(b+3)+i[(a^2-b^2)(b+3)-2ab(a+1)],
\]
da ciò, la condizione necessaria affinché il polinomio caratteristico abbia solo radici reali è:
\[
(a^2-b^2)(b+3)-2ab(a+1)=0\\
a^2(b+3-2b)-2a-b^2(b+3)=0\\
a^2(3-b)-2a-b^2(b+3)=0.
\]
Calcolando il discriminante di quest'ultima equazione, si ha che:
\[
\Delta(a)=4+4(3-b)b^2(b+3)=4[1+b^2(9-b^2)]\geq0;
\]
ponendo \(\displaystyle t=b^2\), si deve risolvere la disequazione
\[
1+t(9-t)\geq0\\
-t^2+9t+1\geq0\iff t^2-9t-1\leq0\\
\Delta(t)=81+4=85\Rightarrow-\frac{9+\sqrt{85}}{2}\leq t\leq\frac{-9+\sqrt{85}}{2};
\]
di conseguenza, si ha che
\[
0\leq b^2\leq\frac{-9+\sqrt{85}}{2}\\
0\leq b\leq\sqrt{\frac{-9+\sqrt{85}}{2}}
\]
ed è solo l'inizio, poiché dev'essere:
\[
a=\frac{1\pm\sqrt{1+b^2(9-b^2)}}{b-3}.
\]
Il tutto è abbastanza chiaro fin qui?
Rimarrebbe da determinare la condizione sufficiente affinché tale matrice sia diagonalizzabile...[ot]Che esercizio sadico![/ot]
Comunque è molto più semplice osservare che (a) equivale a che la matrice sia Hermitiana. Imponendo questo viene fuori una equazione complessa di secondo grado.
...ecco cosa m'ero sfuggito... pazienza: ho un esercizio da proporre agli studenti "sadici".
@fedeing: Ti sei bloccato? Il punto (A) si risolve imponendo che la matrice sia Hermitiana, ovvero uguale alla sua trasposta e coniugata. Questo produce l'equazione
\[
z^2=z+1+3i, \]
che ha le soluzioni \(z=2+i, -1-i\).
Con il metodo che stavi seguendo insieme ad Armando, immagino saresti arrivato alla stessa conclusione, ma i conti sono parecchio più lunghi e complicati, ed è per quello che ti sei incagliato.
\[
z^2=z+1+3i, \]
che ha le soluzioni \(z=2+i, -1-i\).
Con il metodo che stavi seguendo insieme ad Armando, immagino saresti arrivato alla stessa conclusione, ma i conti sono parecchio più lunghi e complicati, ed è per quello che ti sei incagliato.
Credo che fede.ing non abbia affatto letto la mia (lunga e incompleta) dimostrazione...
No scusate. A bloccarsi credo sia stato più il mio computer. Comunque:
Ultima cosa molto veloce, teorica, poi finalmente ci siamo; io questo fatto di imporre che la matrice sia Hermitiana (che ho notato essere una cosa che sta molto a cuore al mio professore) posso farlo precisamente quando? Sicuramente quando la matrice è a valori complessi. Ed a quali altre condizioni?
Ad esempio in questo esercizio lo faccio perchè mi è richiesta l'ortogonalità degli autovettori e quindi l'unica matrice che la rispetta come cosa, è quella simmetrica, cioè Hermitiana in campo complesso? Ho capito bene?
Ultima cosa molto veloce, teorica, poi finalmente ci siamo; io questo fatto di imporre che la matrice sia Hermitiana (che ho notato essere una cosa che sta molto a cuore al mio professore) posso farlo precisamente quando? Sicuramente quando la matrice è a valori complessi. Ed a quali altre condizioni?
Ad esempio in questo esercizio lo faccio perchè mi è richiesta l'ortogonalità degli autovettori e quindi l'unica matrice che la rispetta come cosa, è quella simmetrica, cioè Hermitiana in campo complesso? Ho capito bene?
Ha risposto già dissonance: una matrice è hermitiana se e solo se ammette autovalori reali e una base ortonormale di autovettori!
Quindi, quando leggi una cosa del genere, devi imporre che la matrice sia hermitiana;
in particolare, se la matrice è a soli valori reali, è più corretto parlare di matrice ortogonale.
'Stavolta sono stato più breve e corretto?
Quindi, quando leggi una cosa del genere, devi imporre che la matrice sia hermitiana;
in particolare, se la matrice è a soli valori reali, è più corretto parlare di matrice ortogonale.
'Stavolta sono stato più breve e corretto?
Fantastici. Grazie mille a tutti
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