Omomorfismo da un piano per origine a un punto
Salve, sto avendo delle opinioni contrastanti riguardo l'esistenza di un omomorfismo che mandi un piano per l'origine in un punto Q.
Penso che i vettori paralleli/generatori "V" e "W" del piano debbano essere mandati entrambi nell'origine(l'unico sottospazio che mi viene in mente è, appunto, (0,0,0) ).
Mentre poi, prendendo un punto non appartenente al piano, questo debba essere mandato in Q.
Non riesco a capire come mai, da quanto mi è stato detto, esistano infiniti omomorfismi, se i miei vincoli sono che le immagini siano {0, 0, Q} (di dimensione 1).
Da quello che avevo capito si hanno infiniti omomorfismi se si ha la possibilità di scegliere infinite immagini per i vettori "di partenza", e non "la possibilità di scegliere infiniti vettori di partenza".
Spero mi sia fatto capire.
Scusate per eventuali incomprensioni
Penso che i vettori paralleli/generatori "V" e "W" del piano debbano essere mandati entrambi nell'origine(l'unico sottospazio che mi viene in mente è, appunto, (0,0,0) ).
Mentre poi, prendendo un punto non appartenente al piano, questo debba essere mandato in Q.
Non riesco a capire come mai, da quanto mi è stato detto, esistano infiniti omomorfismi, se i miei vincoli sono che le immagini siano {0, 0, Q} (di dimensione 1).
Da quello che avevo capito si hanno infiniti omomorfismi se si ha la possibilità di scegliere infinite immagini per i vettori "di partenza", e non "la possibilità di scegliere infiniti vettori di partenza".
Spero mi sia fatto capire.
Scusate per eventuali incomprensioni
Risposte
Se ti è chiaro che l’immagine è generata dalle immagini dei vettori della base di partenza allora puoi cercare facilmente la risposta in questo.
Dunque deduco che esista un solo omomorfismo.
No macché ogni volta che associ $f(v)=w$ per ogni completamento a base ottieni un morfismo che “passa” per $w$
Mi perdoni ma penso mi manchi un tassello, vedo molto importante, per arrivare alla conclusione.
Sto provando ad assegnare, partendo dalla forma parametrica del piano(contenente, appunto, i vettori paralleli/generatori del piano), una base di partenza(completandola con un vettore).
Noto che questa base di partenza può variare, ma che le rispettive immagini sono sempre le stesse.
Non ho ancora capito se l'applicazione non è considerata unica se anche solo un'immagine della base di partenza, tra i tre possibili vettori immagine(nel mio caso {0,0,Q}), è immagine non per forza di un solo e unico vettore della base di partenza.
Perché, partendo da un altro esempio di un piano affine che manda in un punto, ho visto che l' omomorfismo è unico.
Avevo scritto, in questo ultimo esempio, "le immagini sono sempre le stesse".
Quest'ultima frase mi ha confuso.
Penso ci sia una lacuna nei miei appunti e in me.
Mi scusi.
Sto provando ad assegnare, partendo dalla forma parametrica del piano(contenente, appunto, i vettori paralleli/generatori del piano), una base di partenza(completandola con un vettore).
Noto che questa base di partenza può variare, ma che le rispettive immagini sono sempre le stesse.
Non ho ancora capito se l'applicazione non è considerata unica se anche solo un'immagine della base di partenza, tra i tre possibili vettori immagine(nel mio caso {0,0,Q}), è immagine non per forza di un solo e unico vettore della base di partenza.
Perché, partendo da un altro esempio di un piano affine che manda in un punto, ho visto che l' omomorfismo è unico.
Avevo scritto, in questo ultimo esempio, "le immagini sono sempre le stesse".
Quest'ultima frase mi ha confuso.
Penso ci sia una lacuna nei miei appunti e in me.
Mi scusi.
intanto dammi del tu che saremo sicuramente coetanei 
poi vorrei capire una cosa perché fai un po' di confusione con alcuni termini
1. parli di spazi affini o spazi vettoriali?
te lo chiedo per capire se si parla di affinità o di omomorfismi tra spazi vettoriali
2. un "piano mandato in un punto" può significare almeno due cose
- si ha una applicazione $varphi:X->Y$ dove $dimX=2$ e $dimY=0$ omomorfismo piano punto
- si ha una applicazione $varphi:X->Y$ dove $dimXgeq2$ e un particolare sottospazio $Pi$ di dimensione $2$ è tale che $varphi(Pi)={vec(0)}$
potresti chiarirlo?
poi vorrei capire una cosa perché fai un po' di confusione con alcuni termini
1. parli di spazi affini o spazi vettoriali?
te lo chiedo per capire se si parla di affinità o di omomorfismi tra spazi vettoriali
2. un "piano mandato in un punto" può significare almeno due cose
- si ha una applicazione $varphi:X->Y$ dove $dimX=2$ e $dimY=0$ omomorfismo piano punto
- si ha una applicazione $varphi:X->Y$ dove $dimXgeq2$ e un particolare sottospazio $Pi$ di dimensione $2$ è tale che $varphi(Pi)={vec(0)}$
potresti chiarirlo?
Parlavo di uno spazio vettoriale, perdonami.
Quello relativo al secondo caso da te citato dove dim X >= 2, e in cui il particolare sottospazio di dimensione 2 è tale che la sua immagine è il vettore nullo.
Scusami ho fatto confusione nel messaggio, lo spazio affine(alla fine del messaggio) era quello di un altro esempio che ho trovato, che mi ha fatto confondere se lo confrontavo con l'omomorfismo tra spazi vettoriali argomento di questo topic.
Quello relativo al secondo caso da te citato dove dim X >= 2, e in cui il particolare sottospazio di dimensione 2 è tale che la sua immagine è il vettore nullo.
Scusami ho fatto confusione nel messaggio, lo spazio affine(alla fine del messaggio) era quello di un altro esempio che ho trovato, che mi ha fatto confondere se lo confrontavo con l'omomorfismo tra spazi vettoriali argomento di questo topic.
Se riesco a colmare questo mio gap in questi problemi ne sarò grato.
L'esame per me si avvicina sempre di più.
Scusami ancora.
L'esame per me si avvicina sempre di più.
Scusami ancora.
Se hai un piano $Pi=<>$ e completi a base di tutto lo spazio $X=<>$
Qualsiasi sia lo spazio di arrivo(basta che abbia dimensione maggiore od uguale a $n-2$) puoi prendere un sistema linearmente indipendente ${y_1,...,y_(n-2)}$ e porre l’applicazione $L:X->Y$ che associa
Prova che è un monomorfismo tale che $L(Pi)= <<0>>$
Poi passiamo a unicità e cose simili(che sono dettagli più teorici)
Qualsiasi sia lo spazio di arrivo(basta che abbia dimensione maggiore od uguale a $n-2$) puoi prendere un sistema linearmente indipendente ${y_1,...,y_(n-2)}$ e porre l’applicazione $L:X->Y$ che associa
$sum_(k=1)^(n-2)a_k x_k+a_(n-1)w_1+a_nw_2 |-> sum_(k=1)^(n-2)a_ky_k$
Prova che è un monomorfismo tale che $L(Pi)= <<0>>$
Poi passiamo a unicità e cose simili(che sono dettagli più teorici)
Se un omomorfismo è iniettivo se è costituito dal solo vettore nullo(nucleo banale), mi verrebbe da dire che non si abbia un monomorfismo. $v$ e $w$ sono due vettori linearmente indipendenti, affinché $π$ sia un piano.
Il ker$f$ mi sembra abbia dimensione pari a 2.
Devo scovare l'errore.
(Quanto al fatto che esista un omomorfismo ne sono sicuro, per le condizioni di indipendenza dei vettori di partenza)
Il ker$f$ mi sembra abbia dimensione pari a 2.
Devo scovare l'errore.
(Quanto al fatto che esista un omomorfismo ne sono sicuro, per le condizioni di indipendenza dei vettori di partenza)
No ho detto banane non è un monomorfismo ovviamente questo perché per costruzione si annulla sul piano $Pi$ e quindi $Pi subset Ker(L)$
Volevo dire prova che è un omomorfismo tale che $L(Pi)=<<0>>$ ovvero che si annulla su quel piano
questo perché per costruzione si annulla sul piano $Pi$ e quindi $Pi subset Ker(L)$Volevo dire prova che è un omomorfismo tale che $L(Pi)=<<0>>$ ovvero che si annulla su quel piano
Scusami ma non lo so fare.
Con le conoscenze grossolane che ho, e che ci sono state fornite se devo dire la verità, per questi esercizi particolari, so che il piano viene mandato nell'origine per il fatto(citato dai nostri esercitatori) che non vi resta altro punto in cui essere mandato se non nell'unico sottospazio vettoriale possibile.
L'altro punto $Q$ fornito, "è già" immagine di un vettore(indipendente dagli altri due) dello spazio di partenza .
Con le conoscenze grossolane che ho, e che ci sono state fornite se devo dire la verità, per questi esercizi particolari, so che il piano viene mandato nell'origine per il fatto(citato dai nostri esercitatori) che non vi resta altro punto in cui essere mandato se non nell'unico sottospazio vettoriale possibile.
L'altro punto $Q$ fornito, "è già" immagine di un vettore(indipendente dagli altri due) dello spazio di partenza .
Facciamo una cosa
hai un esercizio tratto da qualche testo d'esame da poter mostrare? Così ottimizziamo il tempo e andiamo dritti al punto altrimenti potremmo finire per non comprenderci
hai un esercizio tratto da qualche testo d'esame da poter mostrare? Così ottimizziamo il tempo e andiamo dritti al punto altrimenti potremmo finire per non comprenderci
Una consegna di un esercizio simile era questa: "Quanti omomorfismi $RR^"3 -> RR^2$ mandano il piano di equazione $x-2y+3z=-1$" nel punto $(2, -1)$? Stabilire inoltre se tali omomorfismi sono iniettivi e/o suriettivi.
Ci eravamo chiesti in maniera simile se anziché un piano affine come questo dell'esempio, ce ne fosse uno passante per l'origine.
Ci eravamo chiesti in maniera simile se anziché un piano affine come questo dell'esempio, ce ne fosse uno passante per l'origine.
Se parliamo di spazi vettoriali e non di spazi affini, allora l'unico punto a cui può essere mandato è l'origine (il concetto di punto è un concetto affine, il corrispettivo vettoriale è quello di sottospazio di dimensione \(0\)).
La domanda diventa quindi: quanti morfismi vettoriali esistono che hanno come kernel un sottospazio vettoriale \(V\) di \(\mathbb{R}^3\) di dimensione \(2\)?
La domanda diventa quindi: quanti morfismi vettoriali esistono che hanno come kernel un sottospazio vettoriale \(V\) di \(\mathbb{R}^3\) di dimensione \(2\)?
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