Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, da poco ho iniziato l'università e sto iniziando a studiare Geometria e algebra lineare. Partendo dal presupposto che due vettori si dicano paralleli se le componenti sono proporzionali, vorrei proporvi un quesito che non sto riuscendo a risolvere.
-Determinare k tale che v e w sono paralleli con u = (4, 5, 1), v = (8, k, 2);
Qualcuno saprebbe dirmi cose si risolve?
PS. Ho provato a utilizzare il prodotto scalare, ma non so se sia giusto.
ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
"Si consideri la matrice Ak \( \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 4 & k & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) , dove k è un parametro reale. Si determinino:
- i valori di k per cui Ak è diagonalizzabile
- posto k=4, una matrice D diagonale simile ad A4 e la relativa teoria diagonalizzante P"
svolgimento:
per il primo punto faccio la cerco gli autoalori di Ak, faccio la matrice \( \begin{pmatrix} k-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & k-\lambda & 0 \\ 2 & ...
Sia $B={v_1....v_n}$ un sottoinsieme (finito) del $mathbb(K)$-spazio vettoriale $V$, allora $B$ è base se e solo se per ogni $v in V$ ESISTE UNICO $(x_1, …, x_n) in mathbb(K)^n$ tale che $v=x_1v_1 + … +x_n v_n$.
Dimostrare che dati unici $(x_1, ..., x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $B$ è base.
Per essere base devo dimostrare
[list=1][*:2ov1u2sh] $text(span)(B)=V$
[/*:m:2ov1u2sh]
[*:2ov1u2sh] $B$ è formato da vettori linearmente ...
Sia la retta r di equazioni
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{rcrcrcr}
x+2z-4=0\\
y-3z-1=0\\
\end{array}
\right. \)
scrivere un'equaziona del piano passante per r e parallelo all'asse x.
come risoluzione ho provato a scrivere il fascio di piani
\(\displaystyle \lambda(x+2z-4=0) + \mu(y-3z-1=0) \)
trovando:
\(\displaystyle x(\lambda)+y(\mu)+z(2\lambda-3\mu)-4\lambda-\mu =0 \)
e quindi \(\displaystyle v_r=(\lambda,\mu,2\lambda-3\mu) \)
inoltre l'asse x avrà un vettore \(\displaystyle ...
Forse non ho spiegato bene il mio dubbio, praticamente non riesco a capire come ottenere l'equazione della quadrica partendo da una funzione di due variabili
Sia $M$ un insieme e siano $(U,\varphi)$ e $(V,\psi)$ due n- carte, cioè $U$ è un sottoinsieme di $M$ e $\varphi:\U\to\varphi(U)$ un'applicazione bigettiva dove $\varphi(U)$ è un sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}^n$.
Supponiamo di avere una n-carta $(W,\chi)$ compatibile con le due citate e supponiamo di voler mostrare che $(U,\varphi)$ e $(V,\psi)$ siano compatibili.
Il fatto che $(U,\varphi)$ e ...
1) Trova una funzione continua \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che non mappa insiemi aperti ad insiemi aperti. 2) Trova inoltre una funzione \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), tale che \( f(U) \) è aperto per tutti gli insiemi \( U \) aperti, ma \( f \) non è continua.
Per il 1)
Può andar bene \( id : (\mathbb{R},\tau_D) \to (\mathbb{R},\tau_I) \) , dove \( \tau_D \) è la topologia discreta mentre \( \tau_I \) la topologia indiscreta. Perché abbiamo che \( \mathbb{R} \) è aperto nella ...
Dimostra che le palle \(B(x,\delta)\) dove \( x \in \mathbb{Q}^n \) e \( \delta \in \mathbb{Q} \cap (0,\infty) \) sono una base per la topologia euclidea su \( \mathbb{R}^n \). Inoltre dimostra che gli elementi in questa base sono numerabili. Trova uno spazio metrico che non ha una base numerabile.
Allora io ho dimostrato in questo modo:
\( \forall x \in \mathbb{R}^n \), \( \exists B(\tilde{x},\delta) \) tale che \( x \in B(\tilde{x},\delta)\) siccome basta prendere \( ...
Esercizio:
Cos'è una topologia co-finita su un insieme finito? Dimostra che una topologia co-finita su un insieme infinito non è Hausdorff.
Allora sia \( (X,\tau_F ) \) uno spazio topologico dove \( \tau_F \) è una topologia co-finita e \( X \) è finito. Abbiamo che \( \forall U \subset X \) allora \( U \in \tau_F \) se e solo se \( X \setminus U \) è finito, pertanto \( \tau_F = \mathcal{P}(X) \) e pertanto è \( (X,\tau_F) \) è una topologia discreta. Quindi evidentemente è di ...
Ciao a tutti,
sto cercando di trovare il tipo di quadrica, una volta fatto il determinante di una matrice (che nel mio caso è uguale a zero quindi una quadrica degenere), trovo il rango della matrice M e il rango della sottomatrice A.
Adesso devo guardare la segnatura di M e di A e qui non ho ben capito come fare.
Grazie per la risposta!
Buongiorno, ho un problema nel risolvere il seguente esercizio:
dati i sottospazi di $ \mathbb{R}^4 $
$ U1=Span(|( 3 ),( 11 ),( 5 ),( 2)|,|( 1 ),( 5 ),( 2 ),( 1)|)$ e $U2=Span(|( 1 ),( 3 ),( 2 ),( 2)|,|( 1 ),( 3 ),( 4 ),( 1)|) $ e, posto $ v=4e_1+8e_2+8e_3+3e_4 $,
trova $ u_1in U_1 $ e $ u_2in U_2 $ tali che $ v=u_1+u_2 $
In pratica ho effettuato l'unione dei due sottospazi e ho verificato poi la lineare indipendenza dei 4 vettori ed infatti la dimensione di U1+U2 è uguale a 4. Imposto poi un sistema per trovare dei valori $ alpha $ ed infine utilizzare ...
Accipicchia alla ruggine con i vettori scritti in forma matriciale!
Vi e' una componente verticale, una orizzontale e i momenti!
Ho un po di ruggine in testa, in quanto in fondo alla pagina, dove espone :
Esse costituiscono un sistema lineare.........
_____________
In Notazione Matriciale le tre equazioni di equilibrio si scrivono:
_______________
Help!
Potete per favore aiutarmi a ricordare come si scrivono?
Come ha fatto a scrivere quella matrice e cosa fa in quella matrice?
Prendiamo $[0,1]$ con la topologia euclidea.
Sappiamo che $QQ nn [0,1]$ è denso in $[0,1]$.
Fatto (che intuitivamente mi sembra vero)
Data una qualsiasi numerazione di $QQ nn [0,1]={q_1,q_2,...}$
Data una quasiasi successione a termini reali positivi ${\delta_n}_{n in NN}$
Considero $I_n=(q_n-\delta_n,q_n+\delta_n)$
La famiglia ${I_n}_{n in NN}$ è un ricoprimento di $[0,1]$.
Assumiamo vero il fatto sopra e consideriamo $\delta_n=\epsilon*2^(-n-1)$ con $\epsilon >0$ reale
Siccome ...
Il quesito che sto per porvi è molto banale, e necessita di una risoluzione di tipo grafico, ma, nonostante ciò, non sono riuscito a trovare una quadra:
PROBLEMA
Le rette r ed s sono tra loro parallele e distanti x.
La retta s deve passare per il punto A, rimanendo parallela ed equidistante dalla retta r che a sua volta potrà ruotare solo attorno al punto R (fissato).
Salve, ho sclerato tutta la sera davanti a un quesito di geometria differenziale che verteva su concetti di algebra lineare. Semplificando, la cosa che non mi tornava è che sapevo che la matrice di cambiamento base tra due basi di uno spazio vettoriale era di un certo tipo; tuttavia in un esempio veniva mostrato che prese due basi di uno spazio vettoriale esisteva una matrice che mappa ogni vettore della prima base in un vettore della seconda base, questa veniva chiamata matrice di cambiamento ...
Salve, ho fatto l'esame di Geometria. Ho sbagliato qualcosina nella prova teorica e volevo capire dove stanno gli errori (prima dell'orale). Intanto vi ringrazio anticipatamente perché questo forum mi ha aiutato a capire i miei problemi e dove mi bloccavo.
I miei errori sono stati soltanto questi (scusate se posso sembrare banali )
1) Nell'enunciato della base invece di scrivere $B = {v1, v2... vn}$ ho scritto $B = {v1 + v2+... +vn}$.
Mi rendo conto dell'errore basilare ma volevo capire cosa ...
La domanda è la seguente:
Quante volte posso disegnare la figura otto nel piano euclideo \( \mathbb{R}^2 \) senza che due distinti otto si tocchino?
In lingua originale
"How many times can one draw the figure eight on the Euclidean plane \( \mathbb{R}^2 \) without any two distinct eights touching each other?"
Io ho pensato a questo, siccome diventa una questione di normalizzazione riusciamo a racchiudere una figura \( 8 \) in un rettangolino \( R_1 \) di \( \mathbb{R}^2 \) in modo tale che il ...
Ciao ragazzi, avrei bisogno di aiuto nel risolvere questo esercizio di una simulazione della mia prova d'esame scritta riguardante questa matrice complessa:
Al variare di $ z in C $, considerare la matrice $ A(z) = ( ( 4 , z^2 ),( bar(z)+1-3i , |z|^2+2 ) ) $.
(A) Stabilire per quali $ z $ la $ A(z) $ ha autovalori reali e una base ortonormale di autovettori.
(B) Provare che per tutti i valori di $ z $ trovati nel punto (A) si ha che $ <\cdot | \cdot > _ (A(z)) $ è un prodotto scalare ...
Ciao. Siano \( X \) un insieme e \( d \) una distanza su \( X \). Chiamo topologia indotta da \( d \) la topologia su \( X \) dove è aperto un insieme che contenga una palla aperta di centro \( x \), per ogni suo punto \( x \). Voglio provare che tale topologia coincide con quella discreta, quando \( X \) sia finito.
Dimostrazione. Sia \( S\subset X \) un sottoinsieme di \( X \). Fissato \( x\in S \), l'immagine \( d_xX \) è finita (qui \( d_x \) è la funzione \( X\to\mathbb{R} \) definita ...
Salve a tutti!
Sono uno studente del primo anno di fisica e ho appena iniziato con Analisi e Geometria (o Algebra lineare... Fate vobis). Mentre il prof di analisi ci ha fornito le proprie dispense, costantemente aggiornate (!) Non abbiamo dispense di algebra o fisica. Mi sapreste consigliare materiale online (eventualmente anche eserciziari*) con cui accompagnare le lezioni?
*Pensavo di iniziare a prepararmi per i test della SISSA e della magistrale alla SNS quindi sarebbe gradito anche ...
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