Luogo dei punti equidistante da due rette date
Ciao a tutti! ho questo esercizio di geometria che non riesco a risolvere, e soprattutto, non ho idea su come procedere.
Trovare l'equazione del luogo dei punti $P(x,y,z)$ equidistanti dalle rette $r$ e $s$.
$r:{y=0;2z-1=0}$
$s:{x=0;2z+1=0}$
Trovare l'equazione del luogo dei punti $P(x,y,z)$ equidistanti dalle rette $r$ e $s$.
$r:{y=0;2z-1=0}$
$s:{x=0;2z+1=0}$
Risposte
Su ragazzo, hai scelto matematica! 
Se ti chiedessi "dato il piano cartesiano Oxy, qual è il luogo dei punti equidistante dall'asse x e quello y?"
Se ti chiedessi "dato il piano cartesiano Oxy, qual è il luogo dei punti equidistante dall'asse x e quello y?"
"Bokonon":
Su ragazzo, hai scelto matematica!
Se ti chiedessi "dato il piano cartesiano Oxy, qual è il luogo dei punti equidistante dall'asse x e quello y?"
Scelto ma già mi sono quasi pentito!
Onestamente alla tua domanda non saprei rispondere... cioè presi due punti $A$ e $B$ e un generico $P(x,y)$ il luogo è dato da $(PA)^2=(PB)^2$ .
Ora qui, già in lineare ci prendo poco ahimè, ho un vuoto totale
La bisettrice cioè $y=x$ e Bokonon vuol dirti che è qualcosa del genere …
Perchè dalle 2 rette date posso scriverle in forma parametrica e trovare i vettori direttori..
Poi però?
Poi però?
"axpgn":
La bisettrice cioè $y=x$ e Bokonon vuol dirti che è qualcosa del genere …
Di certo ho capito che entrano le distanze
"Aletzunny":
Ora qui, già in lineare ci prendo poco ahimè, ho un vuoto totale
Ti fai prendere dal panico.
Sarebbe bastato prendere un foglio di carta!
Sono le bisettrici $y=+-x$
Confermi?
"Bokonon":
[quote="Aletzunny"]
Ora qui, già in lineare ci prendo poco ahimè, ho un vuoto totale
Ti fai prendere dal panico.
Sarebbe bastato prendere un foglio di carta!
Sono le bisettrici $y=+-x$
Confermi?[/quote]
Hai perfettamente compreso uno dei miei problemi da anni! L'ansia...
Si si sono le bisettrici...
Ognuno è diverso e reagisce diversamente e anche un po' tensione dovuta all'ansia può essere positiva a patto che non sia l'ansia a pensare.
Dall'esempio precedente è (chiaro) che per determinare il luogo geometrico di debbano associare coppie di punti (uno per retta) a un punto del luogo geometrico.
Ora vorrei che tu facessi due cose. Scrivessi le rette in forma parametrica "chiara" e poi che tu facessi il seguente esperimento mentale. Afferra l'asse X con due dita di una mano e l'asse Y con due dita dell'altra: poi inizia a tirare i due assi contemporaneamente e con la stessa velocità in direzioni opposte rispetto all'asse z.
Il luogo dei punti equidistanti cambia?
Dall'esempio precedente è (chiaro) che per determinare il luogo geometrico di debbano associare coppie di punti (uno per retta) a un punto del luogo geometrico.
Ora vorrei che tu facessi due cose. Scrivessi le rette in forma parametrica "chiara" e poi che tu facessi il seguente esperimento mentale. Afferra l'asse X con due dita di una mano e l'asse Y con due dita dell'altra: poi inizia a tirare i due assi contemporaneamente e con la stessa velocità in direzioni opposte rispetto all'asse z.
Il luogo dei punti equidistanti cambia?
La retta $r:\{(x=t),(y=0),(z=1/2):}$
mentre la retta
$s:\{(x=0),(y=t),(z=-1/2):}$
Invece per la seconda domanda io solitamente considero l'asse verticale come $z$, quello orizzontale come $y$ e come "obliquo" $x$.
Quindi dire che muovendoli insieme non cambia nulla.
mentre la retta
$s:\{(x=0),(y=t),(z=-1/2):}$
Invece per la seconda domanda io solitamente considero l'asse verticale come $z$, quello orizzontale come $y$ e come "obliquo" $x$.
Quindi dire che muovendoli insieme non cambia nulla.
Ottimo.
Riscrivendo "meglio" le rette parametriche (e magari differenziando il parametro altrimenti pare che debba essere uguale) abbiamo:
$ r:{( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + ( ( 0 ),( 0 ),( 1/2 ) ) $
$ s:{( ( x ),( y ),( z ) ) = s( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) + ( ( 0 ),( 0 ),( -1/2 ) ) $
Quindi, la retta $r$ ha direzione l'asse X ed è sollevata di 1/2.
La retta $s$ invece ha direzione l'asse Y ed è abbassata di 1/2.
Solo guardando questa forma parametrica, si deducono molte cose.
Ora se prendessimo un punto in comune (ortogonalmente parlando) alle due rette, ovvero l'origine, ovvero per $t=s=0$ vediamo i due punti e il punto di mezzo (ovvero l'origine) deve far parte del luogo geometrico (che già conosciamo a questo punto).
In generale, puoi tranquillamente argomentare che le due rette sono perpendicolari (sebbene sghembe) e parallele al piano che contiene entrambe le direzioni. Quindi la distanza retta piano deve essere identica e costante. Da cui, formalizzando derivi che il luogo geometrico deve stare sul piano XY, ovvero $z=0$
Questa è una prima informazione. Derivane altre usando ciò che sai e imposta la formalizzazione completa.
Riscrivendo "meglio" le rette parametriche (e magari differenziando il parametro altrimenti pare che debba essere uguale) abbiamo:
$ r:{( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + ( ( 0 ),( 0 ),( 1/2 ) ) $
$ s:{( ( x ),( y ),( z ) ) = s( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) + ( ( 0 ),( 0 ),( -1/2 ) ) $
Quindi, la retta $r$ ha direzione l'asse X ed è sollevata di 1/2.
La retta $s$ invece ha direzione l'asse Y ed è abbassata di 1/2.
Solo guardando questa forma parametrica, si deducono molte cose.
Ora se prendessimo un punto in comune (ortogonalmente parlando) alle due rette, ovvero l'origine, ovvero per $t=s=0$ vediamo i due punti e il punto di mezzo (ovvero l'origine) deve far parte del luogo geometrico (che già conosciamo a questo punto).
In generale, puoi tranquillamente argomentare che le due rette sono perpendicolari (sebbene sghembe) e parallele al piano che contiene entrambe le direzioni. Quindi la distanza retta piano deve essere identica e costante. Da cui, formalizzando derivi che il luogo geometrico deve stare sul piano XY, ovvero $z=0$
Questa è una prima informazione. Derivane altre usando ciò che sai e imposta la formalizzazione completa.
Magari sto andando letteralmente fuori strada ma, rileggendo la teoria in $Oxy$, non posso scegliere un punto generico $P(x_1,y_1,z_1)$ e calcolare, per poi uguagliare, la distanza del punto $P$ da $r$ e $s$ ?
Certo che puoi...ma usa $P=(x,y,z)$ come punto generico e usa la forma parametrica che hai scritto tu.
Ci provo.
"Aletzunny":
Ci provo.
Devo quindi:
trovare il piano ortoganale a
$r$ e passante per $P$
trovare l'intersezione tra la
retta $r$ e il piano del punto
prima e trovare il punto
di intersezione $A$
calcolare la distanza tra $A$ e
$P$
fare lo stesso ragionamento per
$s$ e trovare $B$
uguagliare le distanze tra
$AP$ e $BP$
Corretto?
Intanto, scusate l'intromissione. Puoi procedere in modo più immediato ricordando che la distanza $d_r$ ($d_s$) del punto fisso $P$ dal punto mobile $P_r$ ($P_s$) sulla retta $r$ ($s$) deve assumere valore minimo:
$[bar(PP_r)=sqrt((x-t)^2+(y-0)^2+(z-1/2)^2)] rarr [d_r=sqrt((y-0)^2+(z-1/2)^2)]$
$[bar(PP_s)=sqrt((x-0)^2+(y-t)^2+(z+1/2)^2)] rarr [d_s=sqrt((x-0)^2+(z+1/2)^2)]$
$[d_r=d_s] rarr [sqrt((y-0)^2+(z-1/2)^2)=sqrt((x-0)^2+(z+1/2)^2)] rarr [x^2-y^2+2z=0]$
"anonymous_0b37e9":
Intanto, scusate l'intromissione. Puoi procedere in modo più immediato ricordando che la distanza $d_r$ ($d_s$) del punto fisso $P$ dal punto mobile $P_r$ ($P_s$) sulla retta $r$ ($s$) deve assumere valore minimo:
$[bar(PP_r)=sqrt((x-t)^2+(y-0)^2+(z-1/2)^2)] rarr [d_r=sqrt((y-0)^2+(z-1/2)^2)]$
$[bar(PP_s)=sqrt((x-0)^2+(y-t)^2+(z+1/2)^2)] rarr [d_s=sqrt((x-0)^2+(z+1/2)^2)]$
$[d_r=d_s] rarr [sqrt((y-0)^2+(z-1/2)^2)=sqrt((x-0)^2+(z+1/2)^2)] rarr [x^2-y^2+2z=0]$
Cioè quindi prenderei i punti mobili di $r$ e $s$ e uguagliando le distanze con il punto generico $P$ trovo il luogo geometrico cercato?
"Aletzunny":
[quote="anonymous_0b37e9"]Intanto, scusate l'intromissione. Puoi procedere in modo più immediato ricordando che la distanza $d_r$ ($d_s$) del punto fisso $P$ dal punto mobile $P_r$ ($P_s$) sulla retta $r$ ($s$) deve assumere valore minimo:
$[bar(PP_r)=sqrt((x-t)^2+(y-0)^2+(z-1/2)^2)] rarr [d_r=sqrt((y-0)^2+(z-1/2)^2)]$
$[bar(PP_s)=sqrt((x-0)^2+(y-t)^2+(z+1/2)^2)] rarr [d_s=sqrt((x-0)^2+(z+1/2)^2)]$
$[d_r=d_s] rarr [sqrt((y-0)^2+(z-1/2)^2)=sqrt((x-0)^2+(z+1/2)^2)] rarr [x^2-y^2+2z=0]$
Cioè quindi prenderei i punti mobili di $r$ e $s$ e uguagliando le distanze con il punto generico $P$ trovo il luogo geometrico cercato?[/quote]
Ma nel caso il mio ragionamento era corretto?
"anonymous_0b37e9":
Intanto, scusate l'intromissione. Puoi procedere in modo più immediato ricordando che la distanza $d_r$ ($d_s$) del punto fisso $P$ dal punto mobile $P_r$ ($P_s$) sulla retta $r$ ($s$) deve assumere valore minimo:
$[bar(PP_r)=sqrt((x-t)^2+(y-0)^2+(z-1/2)^2)] rarr [d_r=sqrt((y-0)^2+(z-1/2)^2)]$
$[bar(PP_s)=sqrt((x-0)^2+(y-t)^2+(z+1/2)^2)] rarr [d_s=sqrt((x-0)^2+(z+1/2)^2)]$
$[d_r=d_s] rarr [sqrt((y-0)^2+(z-1/2)^2)=sqrt((x-0)^2+(z+1/2)^2)] rarr [x^2-y^2+2z=0]$
Però,scusi, non capisco perché in $PP_r$ e $PP_s$ compaia la $t$ e perché poi il parametro con la $t$ venga escluso in $dd_r$ e $dd_s$
"Aletzunny":
... prenderei i punti mobili di $r$ e $s$ ...
"Aletzunny":
... non capisco perché ...
Prima devi trovare, derivando rispetto a $t$, il valore di $t$ corrispondente al punto della retta avente distanza minima:
Retta $r$
$t=x$
Retta $s$
$t=y$
"Aletzunny":
... il mio ragionamento era corretto?
Certamente, anche se la sua applicazione è meno immediata.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Aletzunny"]
... prenderei i punti mobili di $r$ e $s$ ...
"Aletzunny":
... non capisco perché ...
Prima devi trovare, derivando rispetto a $t$, il valore di $t$ corrispondente al punto della retta avente distanza minima:
Retta $r$
$t=x$
Retta $s$
$t=y$
"Aletzunny":
... il mio ragionamento era corretto?
Certamente, anche se meno immediato.[/quote]
Ecco! Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo