Re: Teorema Della Permanenza Del Segno Per Limiti Di Funzioni Definite Tra Spazi Topologici
Salve, dopo queste vacanze (auguri di buon anno), ho ripreso a cercare di dimostrare le generalizzazioni che ho provato a trarre da i teoremi base dei limiti. Ora su questa dimostrazione ho ancora più dubbi della precedente e il teorema che ho provato a generalizzare (sperando senza fare errori) è il teorema di permanenza del segno. In breve ciò che ho provato a dimostrare è questo:
"Sia $f:(X,\tau_1)->(Y, \tau_2)$ una funzione tra spazi topologici. Sia $(Y,\tau_2)$ uno spazio di Hausdorff su cui è definito un ordine totale(parziale). Sia $x_0$ un punto di accumulazione per $(X, \tau_1)$ e siano $l_1,l_2$ due elementi di $Y$, tali che $l_1>l_2$ ($l_1\geq l_2$). Sia $lim_(x->x_0)f(x)=l_1$, allora esiste almeno un intorno di $V_(x_0)$ tale che $AA x \in V_(x_0) f(x)>l_2$ ($AA x \in V_(x_0) f(x)\geq l_2$)."
Ecco come ho provato a dimostrare:
"Sia $f:(X,\tau_1)->(Y, \tau_2)$ una funzione tra spazi topologici. Sia $(Y,\tau_2)$ uno spazio di Hausdorff su cui è definito un ordine totale(parziale). Sia $x_0$ un punto di accumulazione per $(X, \tau_1)$ e siano $l_1,l_2$ due elementi di $Y$, tali che $l_1>l_2$ ($l_1\geq l_2$). Sia $lim_(x->x_0)f(x)=l_1$, allora esiste almeno un intorno di $V_(x_0)$ tale che $AA x \in V_(x_0) f(x)>l_2$ ($AA x \in V_(x_0) f(x)\geq l_2$)."
Ecco come ho provato a dimostrare:
Risposte
"mklplo":Forse volevi dire "un intorno \(V_{x_0}\) di \(x_0\)".
"Sia $f:(X,\tau_1)->(Y, \tau_2)$ una funzione tra spazi topologici. Sia $(Y,\tau_2)$ uno spazio di Hausdorff su cui è definito un ordine totale(parziale). Sia $x_0$ un punto di accumulazione per $(X, \tau_1)$ e siano $l_1,l_2$ due elementi di $Y$, tali che $l_1>l_2$ ($l_1\geq l_2$). Sia $lim_(x->x_0)f(x)=l_1$, allora esiste almeno un intorno di \(\color{red} V_{x_0}\)
[...]$A={y \in Y:y>l_2}$ ($A={y \in Y:y\geq l_2}$) è un intorno di $l_1$L'errore è qui; in generale non lo è. Devi fare delle ipotesi sulla topologia di \(Y\) e su come essa interagisca con l'ordine (parziale o totale? Non è che mettendo \(\le\) invece di \(<\) un ordine totale diventa parziale
). Una condizione sufficiente dovrebbe essere, come accade in \(\mathbb R\), che l'insieme degli intervalli \(\big\{]a,b[ := \{z\mid a < z < b\} \mid a,b\in Y\big\}\) sia una base di \(\tau_2\).
Grazie per la risposta. Per quanto riguarda il primo punto ho sbagliato a scrivere. Per il secondo punto, avevo pensato che forse servisse un collegamento tra ordine e topologia (come avviene negli spazi normati), tuttavia pensavo fosse solo un mio errore di ragionamento. Per quanto riguarda la dimostrazione lo scopo era dimostrarlo sia se l'ordine era totale, sia se era parziale e quindi per semplicità ho usato diversi simboli per indicare diversi ordini. Ora, tuttavia non riesco a capire se ad essere sbagliata è solo la dimostrazione, oppure anche l'enunciato. Nel caso l'enunciato fosse falso, quali ipotesi servirebbero per renderlo vero rendendolo comunque il "più generale" possibile?
Dopo aver "aggiustato" la topologia su \(\displaystyle Y\), nella tua dimostrazione definisci ma non usi l'insieme aperto \(\displaystyle A\): cosa avevi in mente?
In pratica l'insieme $A$ fosse stato un intorno di $l_1$, per la definizione di limite ci doveva essere un intorno di $x_0$ la cui immagine fosse contenuta in $A$ e quindi esisteva almeno un intorno di $x_0$ per cui l'immagine di ogni suo elemento appartenesse ad $A$ e quindi fosse maggiore di $l_2$.
La vera verità è che non si può generalizzare a casaccio.
Guardando la dimostrazione del teorema della permanenza del segno generalizzato si vede che essa è basata sull’esistenza di intorni separati di punti distinti; il fatto che ciò sia legato alla struttura d’ordine è incidentale e particolare, in quanto dipende dal fatto che la topologia naturale di $RR$ è legata al fatto di avere gli intervalli aperti (che sono definiti a partire dall’ordine) come base, sicché la topologia di $RR$ (oltre che essere generata da una metrica) è una topologia generata da un ordine.
Guardando la dimostrazione del teorema della permanenza del segno generalizzato si vede che essa è basata sull’esistenza di intorni separati di punti distinti; il fatto che ciò sia legato alla struttura d’ordine è incidentale e particolare, in quanto dipende dal fatto che la topologia naturale di $RR$ è legata al fatto di avere gli intervalli aperti (che sono definiti a partire dall’ordine) come base, sicché la topologia di $RR$ (oltre che essere generata da una metrica) è una topologia generata da un ordine.
Quindi non era necessario definire nessun ordine? Allora ho sbagliato sia l'enunciato che il teorema? Se sì qual è la generalizzazione corretta?
Diventa un po' pelosa: ti serve uno spazio topologico su un insieme totalmente (o parzialmente) ordinato dove gli intervalli formino una base di aperti, e la topologia che ne risulta sia T2.
Del resto la "permanenza del segno" coinvolge una struttura di campo ordinato: cos'è il "segno" di una funzione \(f : X \to Y\) quando in $Y$ non c'è lo zero? Certo, puoi rifrasare la proprietà come hai detto tu. (Tra parentesi, l'uso dei quantificatori e la spaziatura assente rendono tutto illeggibile: per chi hai preso i matematici, per dei compilatori?)
Del resto la "permanenza del segno" coinvolge una struttura di campo ordinato: cos'è il "segno" di una funzione \(f : X \to Y\) quando in $Y$ non c'è lo zero? Certo, puoi rifrasare la proprietà come hai detto tu. (Tra parentesi, l'uso dei quantificatori e la spaziatura assente rendono tutto illeggibile: per chi hai preso i matematici, per dei compilatori?)
"mklplo":
Quindi non era necessario definire nessun ordine? Allora ho sbagliato sia l'enunciato che il teorema? Se sì qual è la generalizzazione corretta?
Dipende da che tipo di generalizzazione cerchi, come ti ha già fatto notare gugo l'ordine si può vedere come una questione abbastanza accidentale nel teorema di permanenza del segno, nel senso che puoi interpretarlo così:
Sia $f:X->RR$ con $X \subset RR$ e $x_0$ punto di accumulazione per $X$
Se \( \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=l \neq 0 \) allora trovo un intorno $U_{x_0} \subset X uu {x_0}$ (poniamo $f(x_0)=l$) per cui $f(U_{x_0}) nn {0}=O/$
In questo senso $0$ è solo un punto di $RR$, sto ignorando l'ordine.
Allora una possibile generalizzazione potrebbe essere questa (controlla che funzioni perché io non l'ho fatto):
Sia $f:X->Y$ con $Y$ spazio topologico di Hausdorff, $X $ sottospazio di un certo spazio topologico $Z$ e sia $x_0$ punto di accumulazione per $X$
Se \( \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=l \neq y \) allora trovo un intorno $U_{x_0} \subset X uu {x_0}$ (poniamo $f(x_0)=l$) per cui $f(U_{x_0}) nn {y}=O/$
Se invece vuoi essere più spinto puoi reinterpretare il TPS così:
Se \( \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=l \not\in (-\infty,0] \) allora trovo un intorno $U_{x_0} \subset X uu {x_0}$ (poniamo $f(x_0)=l$) per cui $f(U_{x_0}) nn (-\infty,0] =O/$
La possibile generalizzazione (di nuovo, non so se è vera) potrebbe essere:
Sia $f:X->Y$ con $Y$ spazio topologico regolare (o forse T3), $X$ sottospazio di un certo spazio topologico $Z$ e sia $x_0$ punto di accumulazione per $X$
Se \( \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=l \not\in C \subset Y \) con $C$ chiuso, allora trovo un intorno $U_{x_0} \subset X uu {x_0}$ (poniamo $f(x_0)=l$) per cui $f(U_{x_0}) nn C =O/$
Spero di averti dato degli spunti interessanti.
[EDIT] Fatte correzioni minori [/EDIT]
Pensando a questa potenziale generalizzazione del teorema della permanenza del segno (TPS, per gli amici), la prima idea è la seguente:
sia \(\displaystyle f:X\to Y\) una funzione continua di spazi topologici, ove \(\displaystyle Y\) è un insieme parzialmente\totalmente ordinato e la topologia è quella indotta da quest'ordine; e si ha sùbito che la topologia indotta soddisfa l'assioma di separazione di Kolmogorov.
Dimostrazione per l'ordine totale. Siano \(\displaystyle a\neq b\in Y\) allora \(\displaystyle ab\), quindi esiste \(\displaystyle U_{>a}=\{y\in Y\mid y>a\}\) è un intorno aperto di \(\displaystyle b\) che non contiene \(\displaystyle a\) oppure esiste \(\displaystyle U_{>b}=\{y\in Y\mid y>b\}\)\) è un intorno aperto di \(\displaystyle a\) che non contiene \(\displaystyle b\).
Dimostrazione per l'ordine parziale. Siano \(\displaystyle a\neq b\in Y\) allora se fossero confrontabili, si torna al caso precedente. Altrimenti si considerano gli insiemi \(\displaystyle U_x=\{y\in Y\mid y>x\lor y=x\lor y
Quindi per ogni elemento in \(\displaystyle f(X)\) ha senso considerare gli elementi maggiori\minori rispetto all'ordine considerato.
Ora arrivo al mio primo dilemma: fissato un punto \(\displaystyle x_0\in X\) che sia di accumulazione per un certo insieme \(\displaystyle Z\subseteqq X\), vorremmo affermare che esista un intorno aperto \(\displaystyle U_{x_0}\) di \(\displaystyle x_0\) tale che \(\displaystyle\forall x\in U_{x_0},\,f(x)>?\) oppure \(\displaystyle f(x)
Possibile soluzione: fisso un punto \(\displaystyle y_0\in Y\) tale che \(\displaystyle y_0>f(x_0)\) oppure \(\displaystyle y_0indipendentemente dall'elemento \(\displaystyle y_0\) scelto... ed a questo punto, per la continuità, si sceglie \(\displaystyle U_{x_0}=f^{-1}(U_{y_0})\) e si conclude.
Questa è una possibile generalizzazione di TPS.
Scritto ciò, propongo il mio secondo dilemma: a che servirebbe l'ipotesi che \(\displaystyle x_0\) sia un punto di accumulazione per \(\displaystyle Z\subseteqq X\)?
...e concludo col terzo dilemma: fermo restando le precedenti ipotesi, che significa \(\displaystyle x\to x_0\)?
sia \(\displaystyle f:X\to Y\) una funzione continua di spazi topologici, ove \(\displaystyle Y\) è un insieme parzialmente\totalmente ordinato e la topologia è quella indotta da quest'ordine; e si ha sùbito che la topologia indotta soddisfa l'assioma di separazione di Kolmogorov.
Dimostrazione per l'ordine totale. Siano \(\displaystyle a\neq b\in Y\) allora \(\displaystyle a
Dimostrazione per l'ordine parziale. Siano \(\displaystyle a\neq b\in Y\) allora se fossero confrontabili, si torna al caso precedente. Altrimenti si considerano gli insiemi \(\displaystyle U_x=\{y\in Y\mid y>x\lor y=x\lor y
Quindi per ogni elemento in \(\displaystyle f(X)\) ha senso considerare gli elementi maggiori\minori rispetto all'ordine considerato.
Ora arrivo al mio primo dilemma: fissato un punto \(\displaystyle x_0\in X\) che sia di accumulazione per un certo insieme \(\displaystyle Z\subseteqq X\), vorremmo affermare che esista un intorno aperto \(\displaystyle U_{x_0}\) di \(\displaystyle x_0\) tale che \(\displaystyle\forall x\in U_{x_0},\,f(x)>?\) oppure \(\displaystyle f(x)
Possibile soluzione: fisso un punto \(\displaystyle y_0\in Y\) tale che \(\displaystyle y_0>f(x_0)\) oppure \(\displaystyle y_0
Questa è una possibile generalizzazione di TPS.
Scritto ciò, propongo il mio secondo dilemma: a che servirebbe l'ipotesi che \(\displaystyle x_0\) sia un punto di accumulazione per \(\displaystyle Z\subseteqq X\)?
...e concludo col terzo dilemma: fermo restando le precedenti ipotesi, che significa \(\displaystyle x\to x_0\)?
Grazie a tutti per le risposte. Se non vi dispiace scrivo un breve riassunto di quello che ho capito per mettere un po' in ordine le idee dato che mi sento un po' confuso:
1)La dimostrazione è sbagliata perché $A$ non è un intorno, per non parlare di un linguaggio non chiaro
2)In generale non è necessaria una relazione tra ordine e topologia, in questo caso si può generalizzare come propone jinsang
3)Se voglio invece mantenere una nozione di ordine devo fare come ha detto solaal oppure ji18eos
4) In questo secondo caso ci si pone il problema se sia davvero necessaria la condizione che $x_0$ sia un punto di accumulazione per $Z$, ma a questo punto non è più chiaro cosa significhi che $x->x_0$
Il breve riassunto è corretto?
Ora devo solo ragionare sui dilemmi posti da ji18eos e sulle dimostrazioni di jinsang e poi provare a riscrivere in modo chiaro.
1)La dimostrazione è sbagliata perché $A$ non è un intorno, per non parlare di un linguaggio non chiaro
2)In generale non è necessaria una relazione tra ordine e topologia, in questo caso si può generalizzare come propone jinsang
3)Se voglio invece mantenere una nozione di ordine devo fare come ha detto solaal oppure ji18eos
4) In questo secondo caso ci si pone il problema se sia davvero necessaria la condizione che $x_0$ sia un punto di accumulazione per $Z$, ma a questo punto non è più chiaro cosa significhi che $x->x_0$
Il breve riassunto è corretto?
Ora devo solo ragionare sui dilemmi posti da ji18eos e sulle dimostrazioni di jinsang e poi provare a riscrivere in modo chiaro.
Ho provato a ragionarci, ma non riesco a capire benissimo i dilemmi di ji18eos e non capisco bene come risolverli.
Non c'è alcuna "i" nel mio nickname 
...
Il mio primo dilemma l'ho risolto da solo, e credo che ti vada bene come soluzione: sbaglio?
Gli altri due dilemmi: ti serve che \(\displaystyle x_0\) sia un punto di accumulazione per un qualche sottoinsieme \(\displaystyle Z\) di \(\displaystyle X\)? Se sì, il terzo dilemma si potrebbe risolvere utilizzando strumenti più fini, che per adesso non ho citato.
...Il mio primo dilemma l'ho risolto da solo, e credo che ti vada bene come soluzione: sbaglio?
Gli altri due dilemmi: ti serve che \(\displaystyle x_0\) sia un punto di accumulazione per un qualche sottoinsieme \(\displaystyle Z\) di \(\displaystyle X\)? Se sì, il terzo dilemma si potrebbe risolvere utilizzando strumenti più fini, che per adesso non ho citato.
Grazie per la rispsota e scusa per l'errore. Allora ritornando al problema, da quello che ho capito, per risolvere il primo dilemma non è stato necessario usare il fatto che $x_0$ fosse di accumulazione, tuttavia non vedo come sia possibile definire la nozione di limite in assenza di questa ipotesi. Ora non immagino cosa intendi per strumenti più fini, ma da quello che ho capito (poi può essere che non abbia capito nulla) potrebbe essere che il fatto che $x->x_0$ può essere espresso in qualche altro modo oltre che quello che conosco.
Infatti, io non ho utilizzato la nozione di limite... senza cambiare le mie notazioni, se \(\displaystyle x_0\) fosse un punto di accumulazione per un sottoinsieme \(\displaystyle Z\) di \(\displaystyle X\), il mio ragionamento resterebbe comunque valido.
Ok, quindi il ragionamento rimane valido indipendentemente dal fatto che $x_0$ sia o meno di accumulazione per $Z$, perchè non è stata usata la nozione di limite, giusto?
E se così fosse quindi la risposta al secondo dilemma è che $x_0$ deve essere necessariamente di accumulazione solo se uso la nozione di limite, giusto?
Se ho detto qualche insensatezza, perdonami ma mi sto un po' perdendo (forse nel generalizzare devo fare un passo alla volta e non passare subito da $RR$ agli spazi topologici in generale).
E se così fosse quindi la risposta al secondo dilemma è che $x_0$ deve essere necessariamente di accumulazione solo se uso la nozione di limite, giusto?
Se ho detto qualche insensatezza, perdonami ma mi sto un po' perdendo (forse nel generalizzare devo fare un passo alla volta e non passare subito da $RR$ agli spazi topologici in generale).
Tutto corretto;
la domanda è: ti serve che \(\displaystyle x_0\) sia un punto di accumulazione?
la domanda è: ti serve che \(\displaystyle x_0\) sia un punto di accumulazione?
Non so se è corretto, ma penso che la condizione che $x_0$ sia di accumulazione serve ad evitare che l'intorno contenga il solo punto $x_0$ e quindi penso che l'ipotesi sia necessaria in questo caso.
In effetti, se \(\displaystyle x_0\) fosse un punto isolato di \(\displaystyle X\) potrebbe accadere quel che dici te; ed al secondo degli scopi (od anche dei gusti) si potrebbe ottenere una generalizzazione corretta ma che non soddisfa le aspettative.
Quindi la risposta vera e propria è:dipende dalla generalizzazione che si vuole fare?
Sì, in effetti è così. 
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