Endomorfismo parametrico
Salve a tutti, ho un problema con un endomorfismo al quale è associata la matrice seguente: $ ( ( 1 , 1 , 2k ),( 0 , 1 , k ),( 0 , 0 , k ) ) $ con k ∈ R.
Devo stabilire per quali parametri di k la matrice risulta diagonalizzabile.
Ora, io ho calcolato il polinomio caratteristico che mi ha dato come risultato: $ p(x) = (1-lambda )^2\cdot (k-lambda ) $
Di conseguenza ho dedotto che i primi due autovalori fossero: $ lambda1= lambda 2= 1 $ con molteplicità algebrica uguale a 2, perchè ho posto $ (1-lambda )=0 $
Non capisco però come ricavare il terzo autovalore che dal polinomio mi viene uguale a $ lambda3 =k $.
E in ogni caso una volta faccio ciò come procedo? Sono ore che ci ragiono ma senza essere arrivato a nulla
Devo stabilire per quali parametri di k la matrice risulta diagonalizzabile.
Ora, io ho calcolato il polinomio caratteristico che mi ha dato come risultato: $ p(x) = (1-lambda )^2\cdot (k-lambda ) $
Di conseguenza ho dedotto che i primi due autovalori fossero: $ lambda1= lambda 2= 1 $ con molteplicità algebrica uguale a 2, perchè ho posto $ (1-lambda )=0 $
Non capisco però come ricavare il terzo autovalore che dal polinomio mi viene uguale a $ lambda3 =k $.
E in ogni caso una volta faccio ciò come procedo? Sono ore che ci ragiono ma senza essere arrivato a nulla
Risposte
"Fix96":
Non capisco però come ricavare il terzo autovalore che dal polinomio mi viene uguale a $ lambda3 =k $.
Quello è l'autovalore...è un endomorfismo parametrico.
Ma se non sai cosa fare dopo, allora prima studia la teoria
Scusami Bokonon ma la tua risposta non mi è molto d' aiuto. Quando devo diagonalizzare una matrice passo poi, dopo aver ricavato gli autovalori, al calcolo degli autovettori. Devo essermi espresso male perchè so che k è il terzo autovalore.
La teoria l' ho già studiata e so che una matrice è diagonalizzabile quando ho autovalori tutti distinti ( e mi pare che questo non sia il mio caso visto che $ lambda =1 $ ha molteplicità algebrica pari a 2) e quando la molteplicità algebrica di un autovalore corrisponde alla sua molteplicità geometrica.
Il mio problema sta nel passaggio successivo, ossia quando passo ad impostare la matrice $ lambda =( ( 1-lambda , 1 , 2k ),( 0 , 1-lambda , k ),( 0 , 0 , k-lambda ) ) $ con $ lambda =1 $.
Dalla formula il calcolo della molteplicità geometrica è dato da $ mg=n-rk(A-lambda Id) $ e se non ho sbagliato qualcosa il determinante della sottomatrice 2x2 (12x23) è uguale a k
La teoria l' ho già studiata e so che una matrice è diagonalizzabile quando ho autovalori tutti distinti ( e mi pare che questo non sia il mio caso visto che $ lambda =1 $ ha molteplicità algebrica pari a 2) e quando la molteplicità algebrica di un autovalore corrisponde alla sua molteplicità geometrica.
Il mio problema sta nel passaggio successivo, ossia quando passo ad impostare la matrice $ lambda =( ( 1-lambda , 1 , 2k ),( 0 , 1-lambda , k ),( 0 , 0 , k-lambda ) ) $ con $ lambda =1 $.
Dalla formula il calcolo della molteplicità geometrica è dato da $ mg=n-rk(A-lambda Id) $ e se non ho sbagliato qualcosa il determinante della sottomatrice 2x2 (12x23) è uguale a k
Per $lambda=1$ devi trovare il kernel della matrice
$ ( ( 0 , 1 , 2k ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , k-1 ) ) $
Il rango si vede si vede dai pivot ed è sempre 2 per qualsiasi valore di k.
Quindi il kernel ha sempre dimensione 1 e l'unico autovettore associato è $(1,0,0)$
Cosa ne deduci?
$ ( ( 0 , 1 , 2k ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , k-1 ) ) $
Il rango si vede si vede dai pivot ed è sempre 2 per qualsiasi valore di k.
Quindi il kernel ha sempre dimensione 1 e l'unico autovettore associato è $(1,0,0)$
Cosa ne deduci?
Perdonami ma mi sono proprio perso, puoi aiutarmi a capire meglio la tua spiegazione?
Edit:
Ci ho ragionato un po' e dal sistema ho tirato fuori che il l' autospazio calcolato a partire dall' autovettore $ lambda =1 $ contiene come mi è stato detto da Bokonon solo il vettore $ ( 1 \ \ 0 \ \ 0 ) $ e di conseguenza ha $ (mg)=1!= (ma )=2 $ pari a 1 e stando a queste info la matrice non è diagonalizzabile. Corretto?
Edit:
Ci ho ragionato un po' e dal sistema ho tirato fuori che il l' autospazio calcolato a partire dall' autovettore $ lambda =1 $ contiene come mi è stato detto da Bokonon solo il vettore $ ( 1 \ \ 0 \ \ 0 ) $ e di conseguenza ha $ (mg)=1!= (ma )=2 $ pari a 1 e stando a queste info la matrice non è diagonalizzabile. Corretto?
Devi risolvere il sistema omogeneo:
$ ( ( 0 , 1 , 2k ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , k-1 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) =0$
per ottenere il kernel.
Ma già ad occhio si vede quante colonne indipendenti ci sono e quindi la dimensione dell'immagine che è 2.
Infatti che tu metta $k=0$ o $k=1$ o k qualsiasi altro valore, ci sono sempre due colonne indipendenti che generano un'immagine di dimensione 2. Per il teorema rango + nullità $dim(Im)+dim(ker)=3$ quindi $dim(ker)=3-2=1$
Sappiamo già che otteremo un sottospazio di dimensione 1 e quindi una base composta da un solo vettore....mentre ce ne servivano 2 visto che la molteplicità algebrica è 2.
Devi tornare a studiare dico sul serio.
$ ( ( 0 , 1 , 2k ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , k-1 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) =0$
per ottenere il kernel.
Ma già ad occhio si vede quante colonne indipendenti ci sono e quindi la dimensione dell'immagine che è 2.
Infatti che tu metta $k=0$ o $k=1$ o k qualsiasi altro valore, ci sono sempre due colonne indipendenti che generano un'immagine di dimensione 2. Per il teorema rango + nullità $dim(Im)+dim(ker)=3$ quindi $dim(ker)=3-2=1$
Sappiamo già che otteremo un sottospazio di dimensione 1 e quindi una base composta da un solo vettore....mentre ce ne servivano 2 visto che la molteplicità algebrica è 2.
Devi tornare a studiare dico sul serio.
Ti ringrazio tanto, anche se non l' ho scritto avevo provato ad impostare il sistema ma mi ero bloccato perchè consideravo la x=0 nel vettore perchè non presente nel sistema e mi veniva fuori un vettore nullo $ ( 0 \ \ 0 \ \ 0 ) $ . Poi cercando un po' in giro e rivedendo gli appunti ho trovato l' errore stupidissimo che avevo commesso. Grazie mille per la pazienza e per l' aiuto. Senz' altro un altro po' di studio non mi farà male, ma senza seguire le lezioni all' università purtroppo sto avendo qualche difficoltà ad approcciarmi con questa materia. Grazie ancora.
"Fix96":
Ti ringrazio tanto, anche se non l' ho scritto avevo provato ad impostare il sistema ma mi ero bloccato perchè consideravo la x=0 nel vettore perchè non presente nel sistema e mi veniva fuori un vettore nullo $ ( 0 \ \ 0 \ \ 0 ) $ . Poi ho cercndo un po' in giro e ho rivedendo gli appunti ho trovato l' errore stupidissimo che avevo commesso. Grazie mille per la pazienza e per l' aiuto. Senz' altro un altro po' di studio non mi farà malesenza seguire le lezioni all' università purtroppo sto avendo qualche difficoltà ad approcciarmi con questa materia. Grazie ancora.
Prego.
All'inizio è naturale fare confusione.
Adesso avrai già dedotto che se si ricava un solo autovettore per la radice doppia $lambda=1$, anche quando k=1, allora non ha senso valutare altro.
Però, supponiamo che tu abbia ottenuto $lambda_1=1$, $lambda_2=2$ e $lambda_3=k$.
Cosa faresti?
Ciao Bokonon, scusami per il ritardo nella risposta ma non ho più visualizzato il forum. Se mi trovassi nella situazione che mi hai descritto tu, arriverei alla conclusione che per $ lambda_3 != 1 $ e $ lambda_3 != 2 $ la matrice sarebbe sicuramente diagonalizzabile.
Poi passerei a verificare per $ k= 1 $ e $ k= 2 $ le dimensioni dei rispettivi autospazi per verificare se la molteplicità algebrica sia o meno uguale alla molteplicità geometrica.
Poi passerei a verificare per $ k= 1 $ e $ k= 2 $ le dimensioni dei rispettivi autospazi per verificare se la molteplicità algebrica sia o meno uguale alla molteplicità geometrica.
Bravissimo
Grazie mille, mi hai aiutato moltissimo!
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