Sottospazi invarianti
Salve sto svolgendo il seguente esercizio
Posto
\[
e_{1}=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{2}=\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{3}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix} \qquad v=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}
\]
osservo che ho che l'endomorfismo $L_{M}$ associato a $M$ ha 3 autovalori distinti e che i rispettivi autovettori sono ortogonali.
Poiché $v=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ non è un autovettore, $V$ non può avere dimensione 1: essendo $\mathbb{R}^{3}$ stesso $L_{M}$-invariante e contenente $v$, si tratta di stabilire se esistono sottospazi $V$ 2-dimensionali che siano $L_{M}$-invarianti e tali che $v\in V$.
Stando anche a quanto si dice qui https://math.stackexchange.com/question ... e-question i sottospazi di dimensione 2 $L_{M}$-invarianti sono $\langle e_{i},e_{j}\rangle$, con $i,j=1,2,3$ e $i\ne j$. Quindi $V$ non può avere dimensione 2.
Esistono strade per risolvere l'esercizio meno dirette, cioè percorribili da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti?
Sia $M\in \mathbb{R}^{3,3}$ una matrice a entrate reali per cui
\[
M\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad
M\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ 4 \\ 2
\end{pmatrix} \qquad M\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ -3
\end{pmatrix}
\]
Trovare la minima dimensione che può avere un sottospazio $V\subseteq \mathbb{R}^{3}$ affinché $$\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\in V \qquad L_{M}(V)\subseteq V$$.
Posto
\[
e_{1}=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{2}=\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad e_{3}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix} \qquad v=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}
\]
osservo che ho che l'endomorfismo $L_{M}$ associato a $M$ ha 3 autovalori distinti e che i rispettivi autovettori sono ortogonali.
Poiché $v=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ non è un autovettore, $V$ non può avere dimensione 1: essendo $\mathbb{R}^{3}$ stesso $L_{M}$-invariante e contenente $v$, si tratta di stabilire se esistono sottospazi $V$ 2-dimensionali che siano $L_{M}$-invarianti e tali che $v\in V$.
Stando anche a quanto si dice qui https://math.stackexchange.com/question ... e-question i sottospazi di dimensione 2 $L_{M}$-invarianti sono $\langle e_{i},e_{j}\rangle$, con $i,j=1,2,3$ e $i\ne j$. Quindi $V$ non può avere dimensione 2.
Esistono strade per risolvere l'esercizio meno dirette, cioè percorribili da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti?
Risposte
Grazie per la risposta.
Riconosco che la mia domanda è stata formulata male: cerco, se esiste e se è percorribile, una strada "meno diretta" che possa essere intrapresa da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti.
Il tuo (come il mio) ragionamento si basa sul fatto che i sottospazi $L_{M}$-invarianti siano tutti e soli questi
\[
\{0\} \quad \langle e_{1}\rangle \quad \langle e_{2}\rangle \quad \langle e_{3}\rangle \quad \langle e_{1},e_{2}\rangle \quad \langle e_{1},e_{3}\rangle \quad \langle e_{3},e_{3}\rangle \quad \mathbb{R}^{3}
\]
Senza sapere ciò, come si potrebbe dimostrare che $\mathbb{R}^{3}$ è l'unico sottospazio $L_{M}$-invariante cui appartiene $v$?
Riconosco che la mia domanda è stata formulata male: cerco, se esiste e se è percorribile, una strada "meno diretta" che possa essere intrapresa da chi non conosce le proprietà dei sottospazi invarianti.
Il tuo (come il mio) ragionamento si basa sul fatto che i sottospazi $L_{M}$-invarianti siano tutti e soli questi
\[
\{0\} \quad \langle e_{1}\rangle \quad \langle e_{2}\rangle \quad \langle e_{3}\rangle \quad \langle e_{1},e_{2}\rangle \quad \langle e_{1},e_{3}\rangle \quad \langle e_{3},e_{3}\rangle \quad \mathbb{R}^{3}
\]
Senza sapere ciò, come si potrebbe dimostrare che $\mathbb{R}^{3}$ è l'unico sottospazio $L_{M}$-invariante cui appartiene $v$?
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