Dimostrazione proprietà norma e prodotto scalare
Salve, come da titolo sto cercando di dimostrare le 4 proprietà del prodotto scalare in $E^3$ e le 3 proprietà caratterizzanti la norma, sempre in $E^3$.
Io abbozzato qualche dimostrazione, ma non credo sia esatta, soprattutto per quanto riguarda il prodotto scalare.
Le proprietà del prodotto da dimostrare sono:
1) $vxw=wxv$
2) $(a1v1+a2v2)w=a1(v1w)+a2(v2w)$
3) $vxv>=0$
4) $vxv=0$ se e solo se $v=0v$
E invece le 3 della norma sono:
1) $||v||>=0$
2) $||v||=0$ se e solo se $v=0v$
3) $||av||=|a|*||v||$
Forse ci ho azzeccato con le dimostrazioni per la norma che ora vi posto:
1) considerato $v!=0$, allora, dato che per definizione $||v||=(v*v)^(1-:2)$, sarà sicuramente $||v||>=0$
2) se $||v||=0$, allora v=0 data la definizione di norma del vettore $v$. "Secondo implicazione": se $v=0$, allora $||v||=0$.
3) $||av||=(av*av)^(1-:2)=(a^2*v^2)^(1-:2)=|a|(v^2)^(1-:2)=|a|*||v||$
Io abbozzato qualche dimostrazione, ma non credo sia esatta, soprattutto per quanto riguarda il prodotto scalare.
Le proprietà del prodotto da dimostrare sono:
1) $vxw=wxv$
2) $(a1v1+a2v2)w=a1(v1w)+a2(v2w)$
3) $vxv>=0$
4) $vxv=0$ se e solo se $v=0v$
E invece le 3 della norma sono:
1) $||v||>=0$
2) $||v||=0$ se e solo se $v=0v$
3) $||av||=|a|*||v||$
Forse ci ho azzeccato con le dimostrazioni per la norma che ora vi posto:
1) considerato $v!=0$, allora, dato che per definizione $||v||=(v*v)^(1-:2)$, sarà sicuramente $||v||>=0$
2) se $||v||=0$, allora v=0 data la definizione di norma del vettore $v$. "Secondo implicazione": se $v=0$, allora $||v||=0$.
3) $||av||=(av*av)^(1-:2)=(a^2*v^2)^(1-:2)=|a|(v^2)^(1-:2)=|a|*||v||$
Risposte
Come hai definito il prodotto scalare? Esistono vari modi (equivalenti) per definirlo. In generale noto poca differenza tra il simbolo di prodotto scalare e quello di prodotto reale.
Riguardo invece alla norma:
1) dipende dalle dimostrazioni sopra.
2) dipende dalle dimostrazioni sopra.
3) Non so se sbagli tu o se hai scritto male le formule. \(a\mathbf{v}\) è un vettore ma come sono definiti \(a^2\cdot \mathbf{v}^2\) e \(\mathbf{v}^2\) ? Il problema è almeno nel puntino usato in modo poco chiaro tra le varie dimostrazioni. Allora \( \|a\mathbf{v}\| = (a\mathbf{v} \cdot a\mathbf{v})^{\frac12} \) ma il prodotto scalare è bilineare e quindi \((a\mathbf{v} \cdot a\mathbf{v})^{\frac12} = \left[a^2(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) \right]^{\frac12} = a(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})^{\frac12} = |a|\|\mathbf{v}\|\)
Riguardo invece alla norma:
1) dipende dalle dimostrazioni sopra.
2) dipende dalle dimostrazioni sopra.
3) Non so se sbagli tu o se hai scritto male le formule. \(a\mathbf{v}\) è un vettore ma come sono definiti \(a^2\cdot \mathbf{v}^2\) e \(\mathbf{v}^2\) ? Il problema è almeno nel puntino usato in modo poco chiaro tra le varie dimostrazioni. Allora \( \|a\mathbf{v}\| = (a\mathbf{v} \cdot a\mathbf{v})^{\frac12} \) ma il prodotto scalare è bilineare e quindi \((a\mathbf{v} \cdot a\mathbf{v})^{\frac12} = \left[a^2(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) \right]^{\frac12} = a(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})^{\frac12} = |a|\|\mathbf{v}\|\)
Si effettivamente la tua dimostrazione del terzo punto potrebbe essere più corretta, anzi lo sarà sicuramente.
Per quanto riguarda il prodotto scalare viene definito così.
Sia V un R spazio vettoriale di dimensione finita. Diciamo "prodotto scalare" in V a valori reali un'applicazione VxV -> R denotata da $(v,w) -> v*w$ tale che, per ogni $v,w,v1,v2 in V$ e per ogni $a1, a2 in R$ si ha: (le 4 proprietà che ho postato all'inizio).
Per quanto riguarda il prodotto scalare viene definito così.
Sia V un R spazio vettoriale di dimensione finita. Diciamo "prodotto scalare" in V a valori reali un'applicazione VxV -> R denotata da $(v,w) -> v*w$ tale che, per ogni $v,w,v1,v2 in V$ e per ogni $a1, a2 in R$ si ha: (le 4 proprietà che ho postato all'inizio).
"acvtre":
Si effettivamente la tua dimostrazione del terzo punto potrebbe essere più corretta, anzi lo sarà sicuramente.
Per quanto riguarda il prodotto scalare viene definito così.
Sia V un R spazio vettoriale di dimensione finita. Diciamo "prodotto scalare" in V a valori reali un'applicazione VxV -> R denotata da $(v,w) -> v*w$ tale che, per ogni $v,w,v1,v2 in V$ e per ogni $a1, a2 in R$ si ha: (le 4 proprietà che ho postato all'inizio).
Scusami ma se questa è la definizione allora quelle 4 proprietà sono vere per definizione. Non lo devi dimostrare. Avrebbe senso invece dimostrare a questo punto che il prodotto scalare classico di RR^3 è un prodotto scalare secondo questa definizione.
"vict85":
Scusami ma se questa è la definizione allora quelle 4 proprietà sono vere per definizione. Non lo devi dimostrare.
Esattamnte quello che pensavo io, eppure mi viene richiesto che si dimostri.
Ma quindi anche le prime due proprietà della norma sono vere per definizione e va dimostrata solo la terza.
A meno che la richiesta non sia quella di dimostrare che non è vero il contrario, può essere?
"vict85":
Avrebbe senso invece dimostrare a questo punto che il prodotto scalare classico di $R^3$ è un prodotto scalare secondo questa definizione.
Ovvero?
"acvtre":
[quote="vict85"]Scusami ma se questa è la definizione allora quelle 4 proprietà sono vere per definizione. Non lo devi dimostrare.
Esattamnte quello che pensavo io, eppure mi viene richiesto che si dimostri.
Ma quindi anche le prime due proprietà della norma sono vere per definizione e va dimostrata solo la terza.
A meno che la richiesta non sia quella di dimostrare che non è vero il contrario, può essere?
"vict85":
Avrebbe senso invece dimostrare a questo punto che il prodotto scalare classico di $R^3$ è un prodotto scalare secondo questa definizione.
Ovvero?[/quote]
Non so cosa pretende che dimostri, comunque dovresti curare di più le notazioni.
Prodotto scalare standard in \(\mathbf{R}^n\).
\[\mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3\]
dove \(v_i\) e \(w_i\) sono le componenti sulla base canonica. Il prodotto scalare così definito è facilmente generalizzabile a \(\mathbf{R}^n\).
I fisici usano anche la definizione:
\[\mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = |\mathbf{v}||\mathbf{w}|\cos \theta \]
ma necessita di qualche definizione e secondo me non ha molto senso.
Si tenga conto che la tua definizione dice che un prodotto scalare è un forma bilineare simmetrica definita positiva. In quanto tale \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = \mathbf{v}^T B\mathbf{w}\) dove \(B\) è la matrice riferita a quella base e i vettori sono vettori colonna con le componenti nella stessa base e \(\mathbf{v}^T\) è la sua trasposta cioè un vettore riga. Si noti che il prodotto scalare standard ha la forma \(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = \mathbf{v}^T I \mathbf{w} = \mathbf{v}^T \mathbf{w}\) dove \(I\) è la matrice identità e i vettori sono espressi nella base canonica. Un prodotto interno è quindi "quello standard" se la sua matrice rispetto ad una qualsiasi base è simile all'identità.
P.S: per un prodotto interno (scalare) astratto generalmente uso la notazione \(\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle\) mentre il puntino è più comune per quello standard.
Dubito sia questa la risposta che richiede.
Pongo pari pari i quesiti, che magari avevo postato qualcosa di sbagliato:
1) In $E^3$ 8cio+ $R^3$ con il prodotto scalare euclideo), provare le 4 proprietà caratterizzanti del prodotto scalare;
2) In $E^3$ 8cio+ $R^3$ con il prodotto scalare euclideo), provare le 3 proprietà della norma.
Pongo pari pari i quesiti, che magari avevo postato qualcosa di sbagliato:
1) In $E^3$ 8cio+ $R^3$ con il prodotto scalare euclideo), provare le 4 proprietà caratterizzanti del prodotto scalare;
2) In $E^3$ 8cio+ $R^3$ con il prodotto scalare euclideo), provare le 3 proprietà della norma.
Devo supporre che non mi era sfuggito.
Quindi niente dimostrazione.
Quindi niente dimostrazione.
Se il prodotto scalare è definito come hai detto tu quelle richieste non hanno senso, quindi non hai nulla da dimostrare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo