Classificazione quadrica
Si classifichi, al variare del parametro reale h, la quadrica di equazioni:
$ 2x^2+(1+h)y^2-4(1+h)yz+(5+5h)z^2+4x-2y+4z+3=0 $
La matrice associata alla quadrica è la seguente :
$ ((2,0,0,2),(0,1+h,-2(1+h),-1),(0,-2(1+h),5+5h,2),(2,-1,2,3)) $
A questo punto devo verificare se si tratta di una quadrica specializzata o di una quadrica non specializzata!!
Detta A la matrice associata alla quadrica , ottengo che $ detA != 0 $ per cui è una quadrica NON specializzata !! A questo punto consideriamo la matrice $ A_(4,4) $ cioè la matrice A tolta la quarta riga e la quarta colonna e vediamo se è definita negativa o positiva oppure se non definita negativa o positiva o se il determinante di questa si annulla per stabilire se la quadrica è un ellissoide, iperboloide o paraboloide rispettivamente, quindi studiamo il segno dei minori NORD - OVEST.
allora ottengo :
$ detM_1>0 -> 2>0 $
$detM_2>0 -> h>-1$
$detM_3>0 -> h>1 $
non sono sicuro di ciò che sto facendo !! potreste dirmi se sto procedendo bene e se tutto il ragionamento che ho fatto è giusto????
$ 2x^2+(1+h)y^2-4(1+h)yz+(5+5h)z^2+4x-2y+4z+3=0 $
La matrice associata alla quadrica è la seguente :
$ ((2,0,0,2),(0,1+h,-2(1+h),-1),(0,-2(1+h),5+5h,2),(2,-1,2,3)) $
A questo punto devo verificare se si tratta di una quadrica specializzata o di una quadrica non specializzata!!
Detta A la matrice associata alla quadrica , ottengo che $ detA != 0 $ per cui è una quadrica NON specializzata !! A questo punto consideriamo la matrice $ A_(4,4) $ cioè la matrice A tolta la quarta riga e la quarta colonna e vediamo se è definita negativa o positiva oppure se non definita negativa o positiva o se il determinante di questa si annulla per stabilire se la quadrica è un ellissoide, iperboloide o paraboloide rispettivamente, quindi studiamo il segno dei minori NORD - OVEST.
allora ottengo :
$ detM_1>0 -> 2>0 $
$detM_2>0 -> h>-1$
$detM_3>0 -> h>1 $
non sono sicuro di ciò che sto facendo !! potreste dirmi se sto procedendo bene e se tutto il ragionamento che ho fatto è giusto????
Risposte
se il calcolo del determinante è indipendente da $h$ allora quel fascio di quadriche conterrà solamente quadriche di rango $4$.
adesso prendi un punto generico appartenente a $Q$ e calcolati il suo piano polare. Intersecandolo otterrai una conica semplicemente degenere in due rette (di ciò siamo sicuri perchè la quadrica ha rango $4$). Al variare di $h$ vedi se le rette sono reali o complesse coniugate. Da ciò seguirà che i punti sono iperbolici in un caso o ellittici nell'altro.
A questo punto, studiando la conica assoluto (ovver l'intersezione della quadrica con il piano improprio) verfica se al variare di $h$ ci sono iperboloidi, paraboloidi o ellissoidi.
adesso prendi un punto generico appartenente a $Q$ e calcolati il suo piano polare. Intersecandolo otterrai una conica semplicemente degenere in due rette (di ciò siamo sicuri perchè la quadrica ha rango $4$). Al variare di $h$ vedi se le rette sono reali o complesse coniugate. Da ciò seguirà che i punti sono iperbolici in un caso o ellittici nell'altro.
A questo punto, studiando la conica assoluto (ovver l'intersezione della quadrica con il piano improprio) verfica se al variare di $h$ ci sono iperboloidi, paraboloidi o ellissoidi.
questa è una soluzione, però devo classificare la quadrica utilizzando il metodo dei minori nord ovest perchè lo pretende il prof !! ed è proprio questo che non riesco a capire ... gentilmente potresti provare a spiegarmi in parole povere come risolvere l'esercizio con tale metodo???
Quella lì è la conica assoluto che ti dicevo sopra. Poichè quando intersechi con il piano improprio i termini nei posti esterni scompaiono.
Se quella conica, rappresentata dalla matrice $3x3$ come la chiami tu nord ovest, è degenere allora siamo in presenza di un paraboloide. Se è non degenere allora può essere un iperboloide (se contiene punti reali) o un ellissoide (se è a punti non-reali!).
Ovviamente il rango della conica è il rango della matrice ad essa associata, pertanto basterà calcolare al variare di $a in RR$ il determinante e vedere per quali $a$ si annulla. Per tali valori avremo un paraboloide (bada bene che sia semplicemente degenere...). Per i valori in cui $a$ non si annulla verifica quali hanno punti reali e quali no!
Se quella conica, rappresentata dalla matrice $3x3$ come la chiami tu nord ovest, è degenere allora siamo in presenza di un paraboloide. Se è non degenere allora può essere un iperboloide (se contiene punti reali) o un ellissoide (se è a punti non-reali!).
Ovviamente il rango della conica è il rango della matrice ad essa associata, pertanto basterà calcolare al variare di $a in RR$ il determinante e vedere per quali $a$ si annulla. Per tali valori avremo un paraboloide (bada bene che sia semplicemente degenere...). Per i valori in cui $a$ non si annulla verifica quali hanno punti reali e quali no!
ho fatto un pò di errori !!! dunque ricontrollando i calcoli ottengo che h=0 e h=-1 per cui questi 2 punti risultano parabolici mentre nell'intervallo $ ]-oo,-10,+oo[ $ i punti sono iperbolici poichè detA>0 e nellintervallo $ ]-1,0[ $ i punti sono ellittici perchè detA<0.
sostituendo i valori 0 e -1 al parametro ha ottengo un cono e un cilindro rispettivamente , poichè in entrambi i casi il rango della matrice è pari a 3 e il $ detA_(4,4) $ è diverso da zero per h=0 e uguale a zero per h=-1. A questo punto posso dire che la quadrica è specializzata !! però il prof diceva che questa era NON specializzata !! Ma come fa ad essere non specializzata se il rango è 3???
sostituendo i valori 0 e -1 al parametro ha ottengo un cono e un cilindro rispettivamente , poichè in entrambi i casi il rango della matrice è pari a 3 e il $ detA_(4,4) $ è diverso da zero per h=0 e uguale a zero per h=-1. A questo punto posso dire che la quadrica è specializzata !! però il prof diceva che questa era NON specializzata !! Ma come fa ad essere non specializzata se il rango è 3???
Se i conti son giusti ora devi verificare cosa accade per tutti gli altri valori in cui i punti sono iperbolici o ellittici, in quanto si dimostra che in una quadrica di rango $3$ i punti sono tutti parabolici.
Quindi ora, imponi che $h$ sia diverso da $0$ e da $1$ e classifica la conica assoluto come detto in precedenza.
PS E' raro che in un fascio di quadriche non ve ne sia qualcuna di rango 3
Quindi ora, imponi che $h$ sia diverso da $0$ e da $1$ e classifica la conica assoluto come detto in precedenza.
PS E' raro che in un fascio di quadriche non ve ne sia qualcuna di rango 3
scusami mistake 89 ma non riesco a capire il discordo della conica assoluta !!
L'esercizio mi chiede successivamente di classificare la conica ottenuta intersecando il fascio assegnato con il piano di equazione z=0.(ho dimenticato di scriverlo nelle richieste dell'esercizio)
Ma ritornando alla quadrica , una volta posto h diverso da zero e diverso da 1 cosa devo fare???
Ricorda che devo assolutamente svolgere l'esercizio con i minori nord ovest !! Sto impazzendo !!
L'esercizio mi chiede successivamente di classificare la conica ottenuta intersecando il fascio assegnato con il piano di equazione z=0.(ho dimenticato di scriverlo nelle richieste dell'esercizio)
Ma ritornando alla quadrica , una volta posto h diverso da zero e diverso da 1 cosa devo fare???
Ricorda che devo assolutamente svolgere l'esercizio con i minori nord ovest !! Sto impazzendo !!
Una volta hai classificato i punti ( e mi pare che fino a qui ci siamo) devi capire di he tipo di quadrica si tratta. Questa è una proprietà affine, pertanto ci serve la conica assoluto, ovvero la conica ottenuta dall'intersezione della quadrica con il piano improprio $t=0$. Questo formalmente; praticamente devi considerare la matrice "nord-ovest" quella [tex]$\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1+h&-2-2h\\0&-2-2h&5+5h\end{pmatrix}[/tex] e verificare al variare di $h$ quando degenera e quando no!
Dunque svolgendo i calcoli ottengo che la matrice $A_(4,4)$ ha determinante nullo per h=-1, ciò significa che se sostituisco ad "h" il valore trovato il rango della matrice non è massimo per cui la quadrica è degenere, mentre per valori diversi da -1 la conica risulta degenere . Adesso ??? Finisce qui??? Non bisogna vedere se la conica non degenere è definita positiva o negativa o non definita negativa o positiva???
Sicuro che i calcoli siano esatti? Ad occhi dovrebbe venire un polinomio di secondo grado, quindi due soluzioni. Ovviamente $h=-1$ è da escludere, poichè per tale valore la quadrica ha rango $3$, mentre noi dobbiamo classificare una quadrica di rango $4$.
il polinomio è di secondo grado ma se il discriminante è pari a zero la soluzione è una sola , o meglio le due soluzioni coincidono !!! quindi h= -1 quindi????
Vuol dire che le quadriche di rango $4$ del fascio non contengono paraboloidi!
Potranno essere elissoidi o iperbolodi
Potranno essere elissoidi o iperbolodi
perchè risulta che il det è minore di zero giusto????
Perchè l'unico valore che rende la conica assoluto (o minore nord-ovest) degenere non è accettabile, in quanto in corrispondenza di quel valore la quadrica ha rango $3$, mentre a noi stiamo classificando le quadriche di rango $4$.
con l'uso degli invarianti la classificazione è quasi immediata:
$I_4=2h(h+1)$
$I_3=2(h+1)^2$
$I_2=(h+1)(h+13)$
$I_1=2(3h+4)$
risulta pertanto che la quadrica è:
${(text{iperboloide a 1 falda},if h<-1),(text{cilindro parabolico},if h=-1),(text{ellissoide reale},if -10):}$
$I_4=2h(h+1)$
$I_3=2(h+1)^2$
$I_2=(h+1)(h+13)$
$I_1=2(3h+4)$
risulta pertanto che la quadrica è:
${(text{iperboloide a 1 falda},if h<-1),(text{cilindro parabolico},if h=-1),(text{ellissoide reale},if -1
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