Domande sulla dimensione dello spazio radicale
Buonasera, ho un paio di domande da farvi.
Potreste perfavore farmi un esempio di matrice associata al prodotto scalare il cui spazio radicale ha dimensione 2.
Se ho una matrice associata al prodotto scalare che ha determinante diverso da 0, pero' lo spazio radicale e' composto dal solo vettore nullo cioe'
applicando $ Av=0 $ ottengo $ v=(0,0,0) $ in $ R^3 $ per esempio, la dimensione dello spazio radicale e' 1 oppure 0, dovrebbe essere 1?
Grazie.!.
Potreste perfavore farmi un esempio di matrice associata al prodotto scalare il cui spazio radicale ha dimensione 2.
Se ho una matrice associata al prodotto scalare che ha determinante diverso da 0, pero' lo spazio radicale e' composto dal solo vettore nullo cioe'
applicando $ Av=0 $ ottengo $ v=(0,0,0) $ in $ R^3 $ per esempio, la dimensione dello spazio radicale e' 1 oppure 0, dovrebbe essere 1?
Grazie.!.
Risposte
Ma no, è zero. Se \(A\) è simmetrica e \( \det A \ne 0 \), l'unico vettore presente nel radicale è quello nullo. Infatti per definizione \( v \) è nello spazio radicale se e solo se
\[ v^T Ax=0, \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\]
e in particolare ciò deve verificarsi per \( x = e_1, e_2 \ldots e_n \), dove
\[e_i=\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\0 \end{bmatrix}\]
Perciò, detta \(A_i\) la \(i\)-esima colonna di \(A\), è
\[v^TA_1=v^TA_2= \ldots =v^TA_n=0, \]
ovvero \(v^TA=0\), quindi ancora, per simmetria di \(A\), \(Av=0\) cosa che implica \(v=0\) dal momento che \(A\) è non singolare.
In conclusione lo spazio radicale è ridotto al solo vettore nullo e pertanto esso ha dimensione zero.
\[ v^T Ax=0, \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\]
e in particolare ciò deve verificarsi per \( x = e_1, e_2 \ldots e_n \), dove
\[e_i=\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\0 \end{bmatrix}\]
Perciò, detta \(A_i\) la \(i\)-esima colonna di \(A\), è
\[v^TA_1=v^TA_2= \ldots =v^TA_n=0, \]
ovvero \(v^TA=0\), quindi ancora, per simmetria di \(A\), \(Av=0\) cosa che implica \(v=0\) dal momento che \(A\) è non singolare.
In conclusione lo spazio radicale è ridotto al solo vettore nullo e pertanto esso ha dimensione zero.
Grazie per il chiarimento solo che la matrice non e' simmetrica:
$ ( ( 1 , 1, 1),( 0, 23, 0),( 0, 0, 88) ) $
risolvendo il sistema ottengo
x+y+z = 0
23y = 0
88z = 0
L'unico vettore e quello nullo.
$ ( ( 1 , 1, 1),( 0, 23, 0),( 0, 0, 88) ) $
risolvendo il sistema ottengo
x+y+z = 0
23y = 0
88z = 0
L'unico vettore e quello nullo.
Il risultato del mio post precedente vale in realtà anche se \(A\) non è simmetrica. Ciò segue dal fatto che \( \det A=\det (A^T)\). Difatti, giunti all'identità \(v^TA=0\), passando alla matrice trasposta si ottiene \(A^Tv=0\) e quindi \(v=0\) perché \(A^T\) è non singolare.
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