Base di Jordan
Buongiorno, ho qualche problema con la Base di Jordan, il seguente esercizio e' stato svolto in classe dal professore, ma non ho capito bene la spiegazione.
Mi e' chiaro che se ho un autovalore $λ$ di $ m.a. = 1 $ e di conseguenza $ m.g. = 1 $ la base di Jordan di quell'autovalore e' semplicemente l'autospazio generato da esso, quello che non capisco e' la Base di Jordan per autovalori con $ m.a. > 1 $,
5) perche' mette insieme gli Span,
6) perche' moltiplica per $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $
- che collegamneto c'e' tra Forma e Base di Jordan?
Ringrazio tantissimo.
Mi interessa solo il punto 5) e il 6).
$ ( ( -1 , 0, 0, 0),( 3, 2, 0, 0),( -3, 1, 4, -1),( -4, 1, 4, 0) ) $
1) $P(λ) = (λ+1)(λ-2)^3$
2) $λ= - 1 $ ha $ m.a. = 1 $ e $ m.g. = 1 $
$λ= 2 $ ha $ m.a. = 3 $ e $ m.g. = 1 ( quindi c'e' un unico blocco ) $
3) $J = $ $ ( ( -1, 0, 0, 0),( 0,2, 1, 0),( 0, 0, 2, 1),( 0, 0, 0, 2) ) $
4) $Ker(A + 1I ) $ che mi da $ Span $ $ ( ( 1 ),( -1),( 1),( 1) ) $
$Ker(A - 2I ) $ che mi da $ Span $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1/2),( 2) ) $
$(Ker(A - 2I ))^2$ che mi da $ Span $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1),( 0) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 0),( 1) ) $
$(Ker(A - 2I ))^3 $ che mi da $ Span $ $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1),( 0) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 0),( 1) ) $
5) Poi mette tutti gli span in un'unica matrice:
$ 0 $$ 0 $$ 0 $$ 0 $$ 0 $$ 0 $
$0$$0$$0$$1$$0$$0$
$1/2$$1$$0$$0$$1$$0$
$2$$0$$1$$0$$0$$1$
Riducendo a scala ottiene:
$ 1 $$ 1 $$ 0 $$ 0 $$ 1 $$ 0 $
$0$$-2$$1$$1$$2$$1$
$0$$0$$0$$1$$0$$0$
$0$$0$$0$$0$$0$$0$
6) Poi moltiplica i $ Ker(A - 2I ), (Ker(A - 2I ))^2, (Ker(A - 2I ))^3$ per $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $
I risultati formano la Base di Jordan:
$ ( ( 1 ),( -1),( 1),( 1) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1),( 2) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1),( 1) ) $ $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $
Mi e' chiaro che se ho un autovalore $λ$ di $ m.a. = 1 $ e di conseguenza $ m.g. = 1 $ la base di Jordan di quell'autovalore e' semplicemente l'autospazio generato da esso, quello che non capisco e' la Base di Jordan per autovalori con $ m.a. > 1 $,
5) perche' mette insieme gli Span,
6) perche' moltiplica per $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $
- che collegamneto c'e' tra Forma e Base di Jordan?
Ringrazio tantissimo.
Mi interessa solo il punto 5) e il 6).
$ ( ( -1 , 0, 0, 0),( 3, 2, 0, 0),( -3, 1, 4, -1),( -4, 1, 4, 0) ) $
1) $P(λ) = (λ+1)(λ-2)^3$
2) $λ= - 1 $ ha $ m.a. = 1 $ e $ m.g. = 1 $
$λ= 2 $ ha $ m.a. = 3 $ e $ m.g. = 1 ( quindi c'e' un unico blocco ) $
3) $J = $ $ ( ( -1, 0, 0, 0),( 0,2, 1, 0),( 0, 0, 2, 1),( 0, 0, 0, 2) ) $
4) $Ker(A + 1I ) $ che mi da $ Span $ $ ( ( 1 ),( -1),( 1),( 1) ) $
$Ker(A - 2I ) $ che mi da $ Span $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1/2),( 2) ) $
$(Ker(A - 2I ))^2$ che mi da $ Span $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1),( 0) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 0),( 1) ) $
$(Ker(A - 2I ))^3 $ che mi da $ Span $ $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1),( 0) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 0),( 1) ) $
5) Poi mette tutti gli span in un'unica matrice:
$ 0 $$ 0 $$ 0 $$ 0 $$ 0 $$ 0 $
$0$$0$$0$$1$$0$$0$
$1/2$$1$$0$$0$$1$$0$
$2$$0$$1$$0$$0$$1$
Riducendo a scala ottiene:
$ 1 $$ 1 $$ 0 $$ 0 $$ 1 $$ 0 $
$0$$-2$$1$$1$$2$$1$
$0$$0$$0$$1$$0$$0$
$0$$0$$0$$0$$0$$0$
6) Poi moltiplica i $ Ker(A - 2I ), (Ker(A - 2I ))^2, (Ker(A - 2I ))^3$ per $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $
I risultati formano la Base di Jordan:
$ ( ( 1 ),( -1),( 1),( 1) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1),( 2) ) $ $ ( ( 0 ),( 0),( 1),( 1) ) $ $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $
Risposte
Qualcuno ne sa qualcosa?
Ciao.
Mi spiace non poterti essere molto d'aiuto, ma personalmente non ho mai visto ricavare la base di Jordan in questo modo.
In particolare, non ho mai visto fare una roba del genere:
Non saprei che dire, non ne ho mai sentito (tra l'altro, che vuol dire moltiplicare un sottospazio?!?). Qualche giorno fa, ho illustrato in breve (qui) come si procede normalmente per trovare la base di Jordan. Vedi se può esserti utile e, se hai qualche dubbio, chiedi.
Be', questo dovrebbe esserti chiaro, se hai studiato un po' di teoria. La matrice in forma di Jordan è la matrice che rappresenta l'applicazione lineare; la base di Jordan è ovviamente la base (!) rispetto alla quale la matrice associata all'operatore assume la forma (triangolare) di Jordan.
Spero sia più chiaro.
Mi spiace non poterti essere molto d'aiuto, ma personalmente non ho mai visto ricavare la base di Jordan in questo modo.
In particolare, non ho mai visto fare una roba del genere:
"Krocket":
6) perche' moltiplica per $ ( ( 0 ),( 1),( 0),( 0) ) $
Non saprei che dire, non ne ho mai sentito (tra l'altro, che vuol dire moltiplicare un sottospazio?!?). Qualche giorno fa, ho illustrato in breve (qui) come si procede normalmente per trovare la base di Jordan. Vedi se può esserti utile e, se hai qualche dubbio, chiedi.
"Krocket":
Che collegamento c'e' tra Forma e Base di Jordan?
Be', questo dovrebbe esserti chiaro, se hai studiato un po' di teoria. La matrice in forma di Jordan è la matrice che rappresenta l'applicazione lineare; la base di Jordan è ovviamente la base (!) rispetto alla quale la matrice associata all'operatore assume la forma (triangolare) di Jordan.
Spero sia più chiaro.
Grazie Paolo
Prego, figurati.
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