Autovettori e Autovalori
Ciao a tutti,
mi servirebbe un chiarimento riguardo gli autovettori e gli autovalori.
Partiamo dalla teoria: Data una matrice quadrata A di ordine n vista come operatore di $R^n$, dato un vettore v, non nullo, di $R^n$, si dice autovalore di A se esiste $\lambda : Av = \lambdav$.
$\lambda$ è definito l'autovalore associato alla matrice A.
v è definito come l'autovettore associato alla matrice A.
Bene. Calcolare gli autovalori è semplicissimo, e lo si fa attraverso il polinomio caratteristico. Per calcolare gli autovettori invece il procedimento è un pochino più complicato. Cito un lemma che può esser utile a chi in futuro leggerà questo argomento:
Sia data la matrice A e gli autovettori $\lambda$ per A. Detta s la molteplicità di $\lambda$ l'autospazio associato a $\lambda$ ha dimensione minore od uguale a s.
Questo è importante da sapere. Bene, anche questo è chiaro. Veniamo però ad un esercizio di prova.
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0, 0 ) ) $
Il polinomio caratteristico (che non sto a scrivere) si riassume così: $ (1-\lambda)(\lambda^2 -1) $ Quindi trovo 3 radici, ovvero $\lambda=-1$ e $\lambda=1$ che ha molteplicità 2.
Calcoliamo l'autospazio per $\lambda = 1$
Per calcolare gli autovettori si segue questo procedimento
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0, 0 ) ) $ $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = 1$ ( ( x ),( y ),( z ) ) $
ovvero
$ { ( z = x ),( y = y ),( x = z ):} $ quindi si capisce che l'autospazio sarà formato dal vettore $ ( ( a ),( b ),( a ) ) $.
Ed ecco giunti a ciò che non capisco. A questo punto il testo afferma:
questo vettore $ ( ( a ),( b ),( a ) ) $ ammette come basi i vettori: $ (1,0,0)^t $ e $ (0,1,0)^t $ quindi ha dimensione 2 (ma questo già lo sapevo dalla moteplicità no?).
Cioè come faccio a trovare le basi dei vettori? soprattutto la prima non mi torna, in quanto il vettore trovato è $ ( ( a ),( b ),( a ) ) $ quindi non capisco perché venga $ (1,0,0)^t $.
Potete spiegarmi meglio? grazie
mi servirebbe un chiarimento riguardo gli autovettori e gli autovalori.
Partiamo dalla teoria: Data una matrice quadrata A di ordine n vista come operatore di $R^n$, dato un vettore v, non nullo, di $R^n$, si dice autovalore di A se esiste $\lambda : Av = \lambdav$.
$\lambda$ è definito l'autovalore associato alla matrice A.
v è definito come l'autovettore associato alla matrice A.
Bene. Calcolare gli autovalori è semplicissimo, e lo si fa attraverso il polinomio caratteristico. Per calcolare gli autovettori invece il procedimento è un pochino più complicato. Cito un lemma che può esser utile a chi in futuro leggerà questo argomento:
Sia data la matrice A e gli autovettori $\lambda$ per A. Detta s la molteplicità di $\lambda$ l'autospazio associato a $\lambda$ ha dimensione minore od uguale a s.
Questo è importante da sapere. Bene, anche questo è chiaro. Veniamo però ad un esercizio di prova.
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0, 0 ) ) $
Il polinomio caratteristico (che non sto a scrivere) si riassume così: $ (1-\lambda)(\lambda^2 -1) $ Quindi trovo 3 radici, ovvero $\lambda=-1$ e $\lambda=1$ che ha molteplicità 2.
Calcoliamo l'autospazio per $\lambda = 1$
Per calcolare gli autovettori si segue questo procedimento
$ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0, 0 ) ) $ $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = 1$ ( ( x ),( y ),( z ) ) $
ovvero
$ { ( z = x ),( y = y ),( x = z ):} $ quindi si capisce che l'autospazio sarà formato dal vettore $ ( ( a ),( b ),( a ) ) $.
Ed ecco giunti a ciò che non capisco. A questo punto il testo afferma:
questo vettore $ ( ( a ),( b ),( a ) ) $ ammette come basi i vettori: $ (1,0,0)^t $ e $ (0,1,0)^t $ quindi ha dimensione 2 (ma questo già lo sapevo dalla moteplicità no?).
Cioè come faccio a trovare le basi dei vettori? soprattutto la prima non mi torna, in quanto il vettore trovato è $ ( ( a ),( b ),( a ) ) $ quindi non capisco perché venga $ (1,0,0)^t $.
Potete spiegarmi meglio? grazie
Risposte
"l0r3nzo":
quindi ha dimensione 2 (ma questo già lo sapevo dalla moteplicità no?).
No: tu a priori sai qual è la molteplicità algebrica, vedendo la dimensione dell'autospazio trovi quella geometrica, che, come hai ricordato te prima, è sempre minore od uguale a quella algebrica.
Per il resto anche a me esce autospazio $V_1=$\(\mathcal L\)${ ((1),(0),(1)) , ((0),(1),(0)) }$...
ok, allora il prof avrà fatto un'errore di battitura. thanks
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