Classificazione affine Quadrica

[egregio]

Nello spazio proiettivo complesso sia Q la quadrica reale intersecata dal piano tangente nell'origine dalla conica:
$ { ( x_1 ^2 +4x_1 x_3 =0 ),( x_2 =0 ):} $
Sappiamo che Q contiene la retta:
$ { ( x_1 +x_4 =0 ),( x1-x_4 =0 ):} $
Si classifichi Q giustificando la risposta.

SVOLGIMENTO:

Visto che abbiamo definito il piano tangente nell'origine, l'origine è un punto semplice. Poichè la conica intersezione della quadrica con il piano tangente nell'origine è unione di due rette distinte reali l'origine è un punto iperbolico. Poichè ogni punto è non parabolico, la quadrica è non degenere. Quindi ho solo due possibilità o è un paraboloide iperbolico o è un iperboloide iperbolico.
La distinzione tra i due mi è data dalla conica impropria; se essa è degenere allora avrò un paraboloide, se non è degenere un iperboloide. La condizione che però dovrebbe farmi distinguere i due casi è quella secondo la quale la quadrica contiene la retta $ { ( x_1 +x_4 =0 ),( x1-x_4 =0 ):} $ . Tale retta è impropria, quindi la quadrica contiene la retta impropria, dunque è un paraboloide iperbolico.

[egregio]

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