Esercizio quadriche
Nello spazio proiettivo complesso in cui sia fissato un riferimento reale R si consideri la quadrica di equazione $ x_2 x_3 = x_1 x_4 $ :
a) a quale tipo affine appartiene Q?
b) A quale tipo topologico appartiene Q?
c)La parte reale e propria di Q è connessa?
d)Scrivere l'equazione del piano tangente a Q nel punto (1,1,1,1)
Avevo pensato di fare così:
a) Scrivo la matrice associata a Q e vedo come è il determinante, visto che il determinante è non nullo, la matrice è non degenere, quinti è priva di punti doppi.
Essendo i punti non doppi sono necessariamente tutti semplici, e non parabolici. Ora i punti di Q potrebbe essere tutti reali o Q potrebbe essere priva di punti reali.
Determino la quadrica improria facendo l'intersezione di Q con il piano $x_4 =0$
Nel mio caso ottengo che Q è unione di due rette , quindi la conica improria è degenere.
Prendo un punto improprio, $(1,0,1,0)$ e trovo rette tangenti: ottengo due rette distinte reali e quindi i punti sono iperbolici.
Calcolo autovalori, ottengo due autovalori di molteplicità 2 e con segno a due a due uguali, quindi è un paraboloide a punti iperbolici.
b)non ho la più pallida idea di cosa voglia dire, (io conosco solo classificazione affine e proiettiva)
c) è connesso poichè paraboloide a punti iperbolici
d) basta fare una semplice moltiplicazione matrice vettore e ottengo:
$-x_1 + x_2 +x_3 -x_4$
AIUTO!!!!!!!!!
a) a quale tipo affine appartiene Q?
b) A quale tipo topologico appartiene Q?
c)La parte reale e propria di Q è connessa?
d)Scrivere l'equazione del piano tangente a Q nel punto (1,1,1,1)
Avevo pensato di fare così:
a) Scrivo la matrice associata a Q e vedo come è il determinante, visto che il determinante è non nullo, la matrice è non degenere, quinti è priva di punti doppi.
Essendo i punti non doppi sono necessariamente tutti semplici, e non parabolici. Ora i punti di Q potrebbe essere tutti reali o Q potrebbe essere priva di punti reali.
Determino la quadrica improria facendo l'intersezione di Q con il piano $x_4 =0$
Nel mio caso ottengo che Q è unione di due rette , quindi la conica improria è degenere.
Prendo un punto improprio, $(1,0,1,0)$ e trovo rette tangenti: ottengo due rette distinte reali e quindi i punti sono iperbolici.
Calcolo autovalori, ottengo due autovalori di molteplicità 2 e con segno a due a due uguali, quindi è un paraboloide a punti iperbolici.
b)non ho la più pallida idea di cosa voglia dire, (io conosco solo classificazione affine e proiettiva)
c) è connesso poichè paraboloide a punti iperbolici
d) basta fare una semplice moltiplicazione matrice vettore e ottengo:
$-x_1 + x_2 +x_3 -x_4$
AIUTO!!!!!!!!!
Risposte
"biggest":
...a) Scrivo la matrice associata a Q e vedo come è il determinante, visto che il determinante è non nullo, la matrice è non degenere, quinti è priva di punti doppi...
Casomai è la quadrica ad essere priva di punti doppi, per cui ha solo punti semplici, e per conseguenza i suoi punti non sono parabolici (come hai scritto nel seguito).La conica impropria è unione di rette reali, quindi la quadrica è a punti reali, in particolare è un paraboloide iperbolico.
Domandati: a cosa servono i punti impropri di una quadrica?Se le quadriche le classifichi esclusivamente mediante lo studio degli autovalori della matrice associata allora hai proceduto bene come hai scritto.
b) La parte reale e propria di un paraboloide iperbolico con la topologia indotta da [tex]$(\mathbb{R}^3;\mathcal{A}_{\mathrm{nat}})$[/tex] quali proprietà topologiche soddisfa?
c) Giusto, ma perché? Si tratta di una connessione tout cure o di più?
d) Ammesso la correttezza, ci manca "[tex]$=0$[/tex]".
UP
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