Angolo fra le rette del piano $ sigma $ e la retta r

[pedra31]

Buon pomeriggio,ho un pò difficoltà nella risoluzione di questo esercizio:determinare le rette del piano
$\sigma$ : $ x -y-z=0 $ che formano un angolo di $\pi/3 $ con la retta r $\{(x-y = 0 ),(z = 2):}$ .Avevo pensato di procedere in questo modo , considerando innanzitutto che le rette del piano(fascio) sono ortogonali con la retta r quindi $ vf vr = 0 $
$ vf(l,m,m)*(1,1,0)=0$ ---> $ l+m=0 $ ovvero $ l=-m $ e poi applicando la formula per angolo fra rette (del fascio) e piano ovvero $\cos $ $\pi/3$ = $n$$\sigma$ * $vf$ $ / $ || $n$$\sigma$ ||* || $vf$ || ma i calcoli non tornano dove sbaglio?

[ciampax]

Margot, le rette del piano $\sigma$ sono ortogonali alla normale al piano, non alla retta $r$. Con $r$ devono formare l'angolo richiesto.

[pedra31]

i calcoli non tornano però.........

[pedra31]

ecco i passaggi.. 1) condizione ortogonalità fascio di rette che $in$ al piano $sigma$ : v$f$* v$sigma$ = 0; v$f$ =(l,m,n)
n$sigma$=(1,-1,-1) da cui v$f$=(m+n,m,n) e utilizzando poi la formula cos $pi/3$ = v$r$*v$f$/||v$r$*||*||v$f$||

[ciampax]

Sinceramente, non ci ho capito niente. Indichiamo con $v=(a,b,c,)$ il vettore direzione di una generica retta sul piano $\sigma$. Allora deve valere la condizione $v\times(1,-1,-1)=0$ e quindi $a-b-c=0$. Ora, la direzione della retta data è $V=(1,1,0)$, per cui deve essere

$\cos\pi/3={v\times V}/{|v|\cdot |V|}$ e quindi $1/2={a+b}/{\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}}$

e infine $2(a^2+b^2+c^2)=4(a+b)^2$ o anche $a^2+b^2-c^2+4ab=0$.

Queste sono le due condizioni. Metti a sistema e troverai una famiglia di rette che soddisfa tale condizione.