Spazi vettoriali con base infinita
a lezione e nelle dispense della mia prof ci è stata data la definizione di base in questo modo:
sia ${v_1,...,v_n}$ un insieme di vettori di $V$, si dice che essi sono una base finita o semplicemente base dello spazio $V$ se i vettori $v_1,...,v_n$ generano $V$ e sono linearmente indipendenti.
Però so che ci sono anche spazi di dimensione infinita,i quali dovranno avere basi con cardinalità infinita...
In questo caso come si puo' definire il concetto di base?non più con la definizione che ho dato in precedenza immagino,visto che suppone che l'insieme ${v_1,...,v_n}$ abbia cardinalità finita..
inoltre qualcuno avrebbe un esempio di spazio vettoriale di dimensione infinità? grazie a chiunque avrà il tempo di rispondere
sia ${v_1,...,v_n}$ un insieme di vettori di $V$, si dice che essi sono una base finita o semplicemente base dello spazio $V$ se i vettori $v_1,...,v_n$ generano $V$ e sono linearmente indipendenti.
Però so che ci sono anche spazi di dimensione infinita,i quali dovranno avere basi con cardinalità infinita...
In questo caso come si puo' definire il concetto di base?non più con la definizione che ho dato in precedenza immagino,visto che suppone che l'insieme ${v_1,...,v_n}$ abbia cardinalità finita..
inoltre qualcuno avrebbe un esempio di spazio vettoriale di dimensione infinità? grazie a chiunque avrà il tempo di rispondere
Risposte
Un classico esempio potrebbe essere lo spazio vettoriale dei polinomi $P[x]$ a coefficienti in $RR$. Ingegnati per trovare una base di questo spazio vettoriale.
prima di tutto grazie per la risposta!
di quale grado?
qualsiasi?
qualsiasi è come dire infinito? nel caso quale sarebbe la scrittura da usare?
essendo un qualsiasi polinomio una combinazione lineare di monomi la base potrebbe essere ${1,x,...,x^n,x^(n+1),...}$.
a questo punto mi viene in mente che un altra definizione di base che forse possa prescindere dal'avere un insieme di vettori finito possa essere quella di dire
sia $V$ un $K$-spazio vettoriale sia$H={v_1,v_2,...}$ un insieme non vuoto di elementi di $V$, allora $H$ è una base se ogni $vinV$ si puo' esprimere come combinazione lineare unica dei vettori di $H$
...esisterebbe un altro esempio di spazio infinito?
"Seneca":
Un classico esempio potrebbe essere lo spazio vettoriale dei polinomi $P[x]$ a coefficienti in $RR$.
di quale grado?
qualsiasi?
qualsiasi è come dire infinito? nel caso quale sarebbe la scrittura da usare?
"Seneca":
Ingegnati per trovare una base di questo spazio vettoriale.
essendo un qualsiasi polinomio una combinazione lineare di monomi la base potrebbe essere ${1,x,...,x^n,x^(n+1),...}$.
a questo punto mi viene in mente che un altra definizione di base che forse possa prescindere dal'avere un insieme di vettori finito possa essere quella di dire
sia $V$ un $K$-spazio vettoriale sia$H={v_1,v_2,...}$ un insieme non vuoto di elementi di $V$, allora $H$ è una base se ogni $vinV$ si puo' esprimere come combinazione lineare unica dei vettori di $H$
...esisterebbe un altro esempio di spazio infinito?
"cappellaiomatto":
...esisterebbe un altro esempio di spazio infinito?
Ce ne sono parecchi. Vorrei aggiungere a quanto detto da Seneca che, in linea di massima, gli spazi vettoriali infinito dimensionali si studiano per mezzo di tecniche completamente diverse, quali l'introduzione su di essi di opportune topologie in modo da estendere il concetto di "somma" anche a somme infinite: questo è compito della cosiddetta Analisi funzionale. In questo contesto le basi algebriche hanno molta meno importanza.
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