Equazioni Cartesiane di un Sottospazio
Buongiorno ragazzi, sono uno studente di Ingegneria e sto trovando qualche difficoltà nel comprendere come l'autore del mio libro arrivi ad un risultato spiegato nella teoria, appunto, delle equazioni cartesiane di un sottospazio.
Vi cito tutto così è più chiaro e magari riesco ad ottenere una soluzione
"Sia W= \(\displaystyle \langle \)(1,0,2,0), (2,-1,0,3), (0,1,4,-3)\(\displaystyle \rangle \), sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R} \)^4. Vogliamo determinare una matrice A, di tipo (m,4), tale che W= Sol(Ax = 0). Il sistema Cy = 0, le cui soluzioni sono le righe della matrice richiesta A, ha matrice dei coefficienti C, con righe i 3 generatori di W:
${(y_1 + 2y_3 = 0),(2y_1 - y_2 + 3y_4 = 0),(y_2 + 4y_3 - 3y_4 = 0):}$
Le soluzioni sono della forma y = s(2,4,-1,0) + t(0,3,0,1), con s,t $in$ $R$.
Dunque il sistema cercato $Ax = 0$ ha due equazioni:
${(2x_1 + 4x_2 - x_3 = 0),(3x_2 + x_4 = 0):}$
Capisco che per prima cosa devo inserire come "righe" della matrice gli elementi del sottospazio (primo passaggio). Non so poi cosa fare però...
Vi ringrazio per l'aiuto e scusatemi per non aver inserito tutti i simboli ma non riesco a trovare quelli dell'elevazione a potenza, della parentesi graffa, dell'appartenenza e dei pedici
Grazie ancora
EDIT: Ho modificato il messaggio con il linguaggio LaTeX
Vi cito tutto così è più chiaro e magari riesco ad ottenere una soluzione
"Sia W= \(\displaystyle \langle \)(1,0,2,0), (2,-1,0,3), (0,1,4,-3)\(\displaystyle \rangle \), sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R} \)^4. Vogliamo determinare una matrice A, di tipo (m,4), tale che W= Sol(Ax = 0). Il sistema Cy = 0, le cui soluzioni sono le righe della matrice richiesta A, ha matrice dei coefficienti C, con righe i 3 generatori di W:
${(y_1 + 2y_3 = 0),(2y_1 - y_2 + 3y_4 = 0),(y_2 + 4y_3 - 3y_4 = 0):}$
Le soluzioni sono della forma y = s(2,4,-1,0) + t(0,3,0,1), con s,t $in$ $R$.
Dunque il sistema cercato $Ax = 0$ ha due equazioni:
${(2x_1 + 4x_2 - x_3 = 0),(3x_2 + x_4 = 0):}$
Capisco che per prima cosa devo inserire come "righe" della matrice gli elementi del sottospazio (primo passaggio). Non so poi cosa fare però...
Vi ringrazio per l'aiuto e scusatemi per non aver inserito tutti i simboli ma non riesco a trovare quelli dell'elevazione a potenza, della parentesi graffa, dell'appartenenza e dei pedici
Grazie ancora
EDIT: Ho modificato il messaggio con il linguaggio LaTeX
Risposte
Proviamo ad interpretare i tuoi passaggi. Premetto anche che per arrivare all'equazione cartesiana del sottospazio vettoriale non di certo bisogna fare questo lungo giro!
1) Sono stati assegnati $3$ vettori e vuoi determinare l'equazione cartesiana del sottospazio vettoriale da essi generato.
2) Nel primo sistema non hai fatto altro che determinare l'equazione cartesiana del sottospazio vettoriale $T$ ortogonale a $W$.
3) Risolvendo il sistema precedente e trovando i generatori ti accorgi che essi sono ortogonali ai vettori che generano $W$.
4) Ora ripetendo il giochino con il secondo sistema trovi l'equazione cartesiana del sottospazio vettoriale ortogonale a $T$ e dunque $W$.
Regola pratica, se ti viene assegnato un sistema di $h$ vettori indipendenti di $RR^n$, un'equazione cartesiana di tale sottospazio vettoriale sarà costituita da un sistema omogeneo di $n-h$ equazioni lineari indipendenti in $n$ variabili.
Nel tuo caso in $W$ ci sono al più due vettori indipendenti e quindi la tua rappresentazione è data da un sistema omogeneo di $4-2=2$ equazioni lineari indipendenti in $4$ variabili.
Come già detto all'inizio esistono altri metodi per determinare l'equazione cartesiana di un sottospazio vettoriale.
1) Sono stati assegnati $3$ vettori e vuoi determinare l'equazione cartesiana del sottospazio vettoriale da essi generato.
2) Nel primo sistema non hai fatto altro che determinare l'equazione cartesiana del sottospazio vettoriale $T$ ortogonale a $W$.
3) Risolvendo il sistema precedente e trovando i generatori ti accorgi che essi sono ortogonali ai vettori che generano $W$.
4) Ora ripetendo il giochino con il secondo sistema trovi l'equazione cartesiana del sottospazio vettoriale ortogonale a $T$ e dunque $W$.
Regola pratica, se ti viene assegnato un sistema di $h$ vettori indipendenti di $RR^n$, un'equazione cartesiana di tale sottospazio vettoriale sarà costituita da un sistema omogeneo di $n-h$ equazioni lineari indipendenti in $n$ variabili.
Nel tuo caso in $W$ ci sono al più due vettori indipendenti e quindi la tua rappresentazione è data da un sistema omogeneo di $4-2=2$ equazioni lineari indipendenti in $4$ variabili.
Come già detto all'inizio esistono altri metodi per determinare l'equazione cartesiana di un sottospazio vettoriale.
Il "problema" è che ciò che ho scritto è la traccia del problema! Io non so come effettivamente ricavare queste maledette equazioni! Posso risolvere il tutto creando una matrice con righe i vettori generatori del sottospazio che poi trasformerò in RREF? O non va bene?
Non sono proprio riuscito a risolvere il primo sistema e non capisco la "scrittura" finale con t ed s appartenenti ai reali...
Scusatemi per il disturbo e grazie per l'aiuto!
Non sono proprio riuscito a risolvere il primo sistema e non capisco la "scrittura" finale con t ed s appartenenti ai reali...
Scusatemi per il disturbo e grazie per l'aiuto!
devi trovare le soluzioni del sistema
(sistema)
y1 + 2y3 = 0
2y1 - y2 + 3y4 = 0
y2 + 4y3 - 3y4 = 0
(fine sistema)
una volta trovati i valori di y1, y2,y3,y4 trovi lo span del sistema ovvero,
svolgendo il sistema troviamo x+2z=0, x+4y+3z=0
quindi abbiamo x=-2z; y=3t-4z; dal momento che abbiamo 2 equazioni in 4 incognite quindi imponiamo t=k che trasforma quindi y in y= 3k-4z
lo span sarà quindi(attribuendo ai valori ottenuti h,k)--> (-2h, 3k-4h, h, k)| appartenenti a R da cui si ricavano le due basi (2,4,-1,0);(0,3,0,1)
(sistema)
y1 + 2y3 = 0
2y1 - y2 + 3y4 = 0
y2 + 4y3 - 3y4 = 0
(fine sistema)
una volta trovati i valori di y1, y2,y3,y4 trovi lo span del sistema ovvero,
svolgendo il sistema troviamo x+2z=0, x+4y+3z=0
quindi abbiamo x=-2z; y=3t-4z; dal momento che abbiamo 2 equazioni in 4 incognite quindi imponiamo t=k che trasforma quindi y in y= 3k-4z
lo span sarà quindi(attribuendo ai valori ottenuti h,k)--> (-2h, 3k-4h, h, k)| appartenenti a R da cui si ricavano le due basi (2,4,-1,0);(0,3,0,1)
Perdonami l'ignoranza ma con Span cosa intendi?
EDIT: Dato che abbiamo tre equazioni in 4 incognite, pongo l'ultima uguale a K, giusto?
EDIT: Dato che abbiamo tre equazioni in 4 incognite, pongo l'ultima uguale a K, giusto?
si perdonami nella velocità ho sbagliato e modificato editando;)
risolvendo il sistema due equazioni sono equivalenti qindi ci troviamo alla fine con 2 quindi 2 equazioni in 4 incognite, ricavi 2 incognite dalla prima e imponi l'ultima (t) uguale a k e trovi l'incognita mancante.
comunque per span intando l'insieme delle possibili combinazioni lineari
risolvendo il sistema due equazioni sono equivalenti qindi ci troviamo alla fine con 2 quindi 2 equazioni in 4 incognite, ricavi 2 incognite dalla prima e imponi l'ultima (t) uguale a k e trovi l'incognita mancante.
comunque per span intando l'insieme delle possibili combinazioni lineari
Perfetto grazie, nel pomeriggio provo a risolvere e faccio sapere 
Ora devo fare una pausa perchè mi fa male la testa, ahah
Ora devo fare una pausa perchè mi fa male la testa, ahah
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