Matrici Elementari e riduzione a Scalini
Nello svolgere degli esercizi ho spesso notato che il Professore ottiene lo "stesso" risultato però con matrici semplificate in maniera più approfondita, usando ovviamente la riduzione a scalini e le matrici elementari.
Vi posto un esercizio da me svolto che, comunque, è riuscito ma con un risultato diverso da quello del Professore.
Traccia:
"Il vettore $(0,0,1,0)$ appartiene allo spazio $W$ = \(\displaystyle \langle \)$(2,1,-1,3),(1,0,5,1),(2,-1,3,1)$\(\displaystyle \rangle \)?"
Ho svolto quindi così l'esercizio:
$((2,1,2,0),(1,0,-1,1),(-1,5,3,1),(3,1,1,0))$ che sommando alla terza riga, la seconda moltiplicata per 1 e scambiando le prime due righe, diventa: $((1,0,-1,1),(2,1,2,0),(0,5,2,2),(3,1,1,0))$.
Dopo ho sommato alla seconda riga, la prima moltiplicata per -2 e ho sommato alla quarta la prima moltiplicata per -3 ottenendo così: $((1,0,-1,1),(0,1,4,-2),(0,5,2,2),(0,1,4,3))$.
Infine ho sommato alla quarta riga la seconda moltiplicata per -1 e alla terza, sempre la seconda moltiplicata per -5 ottenendo come risultato finale: $((1,0,-1,1),(0,1,4,-2),(0,0,-18,2),(0,0,0,5))$.
Facendo così, noto che il sistema è impossibile dato che l'ultima riga propone una soluzione impossibile e cioè $0x+0y+0z=5$. Quindi il vettore NON appartiene al piano.
Detto questo, il Professore invece ha risolto la matrice ottenendo questa matrice RREF:
$((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$.
Non so come riesca ad ottenerla e sinceramente credo sia dovuto ad una mia scorretta implementazione delle matrici elementari che, sinceramente, non ho ben capito come vengano utilizzate. Mi spiego meglio: il libro di testo spiega che la matrice elementare $S$ "scambia" due righe, la matrice $E$ invece somma ad una riga, un'altra moltiplicata per uno scalare ed infine la matrice $D$ moltiplica una riga per uno scalare. Quello che non ho capito io è: che tipo di matrici sono? A me sembrano semplici "operazioni". Il testo spiega che sono "tratte" da una matrice $I$ identità di ordine pari a quella del mio sistema lineare che in questo caso dovrebbe essere $((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$.
Vi ringrazio per l'aiuto!
Vi posto un esercizio da me svolto che, comunque, è riuscito ma con un risultato diverso da quello del Professore.
Traccia:
"Il vettore $(0,0,1,0)$ appartiene allo spazio $W$ = \(\displaystyle \langle \)$(2,1,-1,3),(1,0,5,1),(2,-1,3,1)$\(\displaystyle \rangle \)?"
Ho svolto quindi così l'esercizio:
$((2,1,2,0),(1,0,-1,1),(-1,5,3,1),(3,1,1,0))$ che sommando alla terza riga, la seconda moltiplicata per 1 e scambiando le prime due righe, diventa: $((1,0,-1,1),(2,1,2,0),(0,5,2,2),(3,1,1,0))$.
Dopo ho sommato alla seconda riga, la prima moltiplicata per -2 e ho sommato alla quarta la prima moltiplicata per -3 ottenendo così: $((1,0,-1,1),(0,1,4,-2),(0,5,2,2),(0,1,4,3))$.
Infine ho sommato alla quarta riga la seconda moltiplicata per -1 e alla terza, sempre la seconda moltiplicata per -5 ottenendo come risultato finale: $((1,0,-1,1),(0,1,4,-2),(0,0,-18,2),(0,0,0,5))$.
Facendo così, noto che il sistema è impossibile dato che l'ultima riga propone una soluzione impossibile e cioè $0x+0y+0z=5$. Quindi il vettore NON appartiene al piano.
Detto questo, il Professore invece ha risolto la matrice ottenendo questa matrice RREF:
$((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$.
Non so come riesca ad ottenerla e sinceramente credo sia dovuto ad una mia scorretta implementazione delle matrici elementari che, sinceramente, non ho ben capito come vengano utilizzate. Mi spiego meglio: il libro di testo spiega che la matrice elementare $S$ "scambia" due righe, la matrice $E$ invece somma ad una riga, un'altra moltiplicata per uno scalare ed infine la matrice $D$ moltiplica una riga per uno scalare. Quello che non ho capito io è: che tipo di matrici sono? A me sembrano semplici "operazioni". Il testo spiega che sono "tratte" da una matrice $I$ identità di ordine pari a quella del mio sistema lineare che in questo caso dovrebbe essere $((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$.
Vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
Non fa altro che trasformare la matrice assegnata attraverso operazioni elementri di riga.
Per esempio scambio di righe $R_1toR_2$ equivale a moltiplicare a sinistra la matrice assegnata utilizzando la matrice $E=((0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Per esempio alla riga $R_3to1/2R_3$ equivale a moltiplicare a sinistra la matrice assegnata utilizzando la matrice $F=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1/2,0),(0,0,0,1))$
Per esempio combinazioni di riga $R_4toR_4-2R_1$ equivale a moltiplicare a sinistra la matrice assegnata utilizzando la matrice $G=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(-2,0,0,1))$.
Un pochino noioso, ma tramite queste operazioni ottiene la matrice identica $I_4$.
Per esempio scambio di righe $R_1toR_2$ equivale a moltiplicare a sinistra la matrice assegnata utilizzando la matrice $E=((0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$
Per esempio alla riga $R_3to1/2R_3$ equivale a moltiplicare a sinistra la matrice assegnata utilizzando la matrice $F=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1/2,0),(0,0,0,1))$
Per esempio combinazioni di riga $R_4toR_4-2R_1$ equivale a moltiplicare a sinistra la matrice assegnata utilizzando la matrice $G=((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(-2,0,0,1))$.
Un pochino noioso, ma tramite queste operazioni ottiene la matrice identica $I_4$.
Ma ciò che ho ottenuto io va bene? O ho totalmente sbagliato tutto? (e quindi dovrei praticamente rifare tutti gli esercizi 
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