Rette nel piano
Salve, ho 2 problemini.
1) data la direzione della retta r ovvero r(3,2) passante per il punto P(-1,-1), determinare la sua equazione cartesiana.
2) data la retta di equazione parametrica {x = 2t-1; y = 3t} determinarne l'equazione cartesiana.
per il 1) ho ottenuto il vettore perpendicolare a r ovvero (2,-3) per cui se non erro, l'equazione è:
2x-3y+c=0.
nel caso sia corretta, come calcolo c?
invece per il 2) non so come iniziare.
Grazie
1) data la direzione della retta r ovvero r(3,2) passante per il punto P(-1,-1), determinare la sua equazione cartesiana.
2) data la retta di equazione parametrica {x = 2t-1; y = 3t} determinarne l'equazione cartesiana.
per il 1) ho ottenuto il vettore perpendicolare a r ovvero (2,-3) per cui se non erro, l'equazione è:
2x-3y+c=0.
nel caso sia corretta, come calcolo c?
invece per il 2) non so come iniziare.
Grazie
Risposte
Per il numero uno credo si possa agire così:
$detA$=$((x,y,1),(3,2,1),(-1,-1,1))$
Per il numero due, sai che la retta ha questa equazione:
${(x = 2t-1),(y=3t):}$
Quindi sai che passa per il punto $P$ = $(-1,0)$ ed è parallela al vettore $OA$ = $(2,3)$.
Spero possa essere d'aiuto.
PS: Se ho sbagliato qualcosa, invito ad una correzione dato che anche io sto studiando queste cose
$detA$=$((x,y,1),(3,2,1),(-1,-1,1))$
Per il numero due, sai che la retta ha questa equazione:
${(x = 2t-1),(y=3t):}$
Quindi sai che passa per il punto $P$ = $(-1,0)$ ed è parallela al vettore $OA$ = $(2,3)$.
Spero possa essere d'aiuto.
PS: Se ho sbagliato qualcosa, invito ad una correzione dato che anche io sto studiando queste cose
il primo esercizio l'avrei risolto così:
Hai il vettore direttore della retta, quindi imponendo che passa per il punto p puoi trovarti facilmente l'equazione parametrica, ovvero:
$\{(x=-1+3t),(y=-1+2t),(z=0):}$
da cui, per ricavare l'eq cartesiana ricaviamo il valore di t e lo sostituiamo.
$\{(x=-1+3t),(t=y+1/2),(z=0):}$
da cui
$\{(2x-3y-1=0),(z=0):}$ che è l'equazione della retta cercata
Come l'hai risolto te è più laborioso e comunque il punto c si trova sempre sostituendo i valori del punto nell'equazione, ovvero 2x-3y+c=0 sostituisci -1 al posto di x e -1 al posto di y e ottieni 1+c=0 da cui c=-1
i secondo esercizio va risolto seguendo questo procedimento:
Ti ricavi il valore di t da una delle due equazioni a disposizione, ad esempio
$\{(x=2t-1),(t=y/3),(z=0):}$
ora sostituisci t nelle equazioni in cui è presente
$\{(3x-2y+3=0),(t=y/3),(z=0):}$
quindi l'equazione da te cercata è
$\{(3x-2y+3=0),(z=0):}$
per effettuare una verifica di ciò ti basta calcolare dall'equazione i direttori e un punto qualsiasi e verificare che corrispondano.
spero di esserti stato d'aiuto
Hai il vettore direttore della retta, quindi imponendo che passa per il punto p puoi trovarti facilmente l'equazione parametrica, ovvero:
$\{(x=-1+3t),(y=-1+2t),(z=0):}$
da cui, per ricavare l'eq cartesiana ricaviamo il valore di t e lo sostituiamo.
$\{(x=-1+3t),(t=y+1/2),(z=0):}$
da cui
$\{(2x-3y-1=0),(z=0):}$ che è l'equazione della retta cercata
Come l'hai risolto te è più laborioso e comunque il punto c si trova sempre sostituendo i valori del punto nell'equazione, ovvero 2x-3y+c=0 sostituisci -1 al posto di x e -1 al posto di y e ottieni 1+c=0 da cui c=-1
i secondo esercizio va risolto seguendo questo procedimento:
Ti ricavi il valore di t da una delle due equazioni a disposizione, ad esempio
$\{(x=2t-1),(t=y/3),(z=0):}$
ora sostituisci t nelle equazioni in cui è presente
$\{(3x-2y+3=0),(t=y/3),(z=0):}$
quindi l'equazione da te cercata è
$\{(3x-2y+3=0),(z=0):}$
per effettuare una verifica di ciò ti basta calcolare dall'equazione i direttori e un punto qualsiasi e verificare che corrispondano.
spero di esserti stato d'aiuto
"Driverx36":
il primo esercizio l'avrei risolto così:
Hai il vettore direttore della retta, quindi imponendo che passa per il punto p puoi trovarti facilmente l'equazione parametrica, ovvero:
$\{(x=-1+3t),(y=-1+2t),(z=0):}$
da cui, per ricavare l'eq cartesiana ricaviamo il valore di t e lo sostituiamo.
$\{(x=-1+3t),(t=y+1/2),(z=0):}$
da cui
$\{(2x-3y-1=0),(z=0):}$ che è l'equazione della retta cercata
Come l'hai risolto te è più laborioso e comunque il punto c si trova sempre sostituendo i valori del punto nell'equazione, ovvero 2x-3y+c=0 sostituisci -1 al posto di x e -1 al posto di y e ottieni 1+c=0 da cui c=-1
i secondo esercizio va risolto seguendo questo procedimento:
Ti ricavi il valore di t da una delle due equazioni a disposizione, ad esempio
$\{(x=2t-1),(t=y/3),(z=0):}$
ora sostituisci t nelle equazioni in cui è presente
$\{(3x-2y+3=0),(t=y/3),(z=0):}$
quindi l'equazione da te cercata è
$\{(3x-2y+3=0),(z=0):}$
per effettuare una verifica di ciò ti basta calcolare dall'equazione i direttori e un punto qualsiasi e verificare che corrispondano.
spero di esserti stato d'aiuto
Come mai il metodo del determinante non funziona? Credo sia dovuto al fatto che ho inserito le coordinate di un vettore e non di un punto giusto?
non ho capitocosa intendi per metodo dei determinanti...forse fai confusione con il metodo per trovare i vettori direttori dall'equazione della retta?
Se voglio trovare l'equazione passante per 2 punti $P_1$ = $(1,2)$ e $P_2$ = $(7,9)$ basta risolvere il
$det$ della matrice A così formata:
$((x,y,1),(1,2,1),(7,9,1))$ = $x$$ (2-9) - (y-9) + 7 (y - 2)$ = $-7x -y + 9 +7y - 14$ = $-7x + 6y - 5$
$det$ della matrice A così formata:
$((x,y,1),(1,2,1),(7,9,1))$ = $x$$ (2-9) - (y-9) + 7 (y - 2)$ = $-7x -y + 9 +7y - 14$ = $-7x + 6y - 5$
giusto, se ci troviamo ad avere 2 punti , quindi possiamo individuare i direttori come p2-p1 e quindi in breve il metodo che hai illustrato te, ma dal momento che i direttori della retta sono già dati del problema possiamo direttamente metterli nell'eq parametrica, conoscendo poi il punto per cui passa la cosa è immediata
Siccome questo è un metodo che ho svolto praticamente "meccanicamente", potresti illustrarmi meglio cosa "sto facendo" effettivamente con la risoluzione di questo determinante? Perchè la colonna di $1$?
preferirei fornirti un metodo più veloce e intuitivo, vedila così
Hai 2 punti nello spazio.
Di cosa necessiti? necessiti di sapere da che parte và la retta e da dove passa!
Bene, un direttore come lo puoi trovare?
Ipotiziamo di avere i 2 punti $P$=(x,y,z) e $Q$=(x,y,z)
I vettori direttori sono individuati come vettore $QP$ che puoi ricavare semplicemente facendo la differenza $P-Q$.
Bene ora hai tutto il necessario per costruirti la tua equazione della retta.
Hai il punto dove passa che imponi sia $Q$ e i vettori direttori $tQP$
imposti quindi la parametrica
$\{ x=Q+tQP:}$ e troverai l'equazione cartesiana della retta cercata, può sembrare stupido ma fatti un disegno facile scegliendo dei punti semplici, una volta capito mentalmente il procedimento vedrai che non avrai più nessun intoppo
Hai 2 punti nello spazio.
Di cosa necessiti? necessiti di sapere da che parte và la retta e da dove passa!
Bene, un direttore come lo puoi trovare?
Ipotiziamo di avere i 2 punti $P$=(x,y,z) e $Q$=(x,y,z)
I vettori direttori sono individuati come vettore $QP$ che puoi ricavare semplicemente facendo la differenza $P-Q$.
Bene ora hai tutto il necessario per costruirti la tua equazione della retta.
Hai il punto dove passa che imponi sia $Q$ e i vettori direttori $tQP$
imposti quindi la parametrica
$\{ x=Q+tQP:}$ e troverai l'equazione cartesiana della retta cercata, può sembrare stupido ma fatti un disegno facile scegliendo dei punti semplici, una volta capito mentalmente il procedimento vedrai che non avrai più nessun intoppo
il 1) sono riuscito a risolverlo calcolando m = -a/b = 2/3
poi tramite la fomula y-yp = m(x-xp) ho risolto.
per il 2) grazie Driverx36.
Grazie anche a GSnake: non sono molto brillante in geometria per cui non saprei per il metodo del determinante XD
poi tramite la fomula y-yp = m(x-xp) ho risolto.
per il 2) grazie Driverx36.
Grazie anche a GSnake: non sono molto brillante in geometria per cui non saprei per il metodo del determinante XD
Grazie a voi più che altro! Io sono qui per imparare ed intanto cerco di suggerire quello che, credo, sia un giusto procedimento 
"GSnake":
Se voglio trovare l'equazione passante per 2 punti $P_1$ = $(1,2)$ e $P_2$ = $(7,9)$ basta risolvere il
$det$ della matrice A così formata:
$((x,y,1),(1,2,1),(7,9,1))$ = $x$$ (2-9) - (y-9) + 7 (y - 2)$ = $-7x -y + 9 +7y - 14$ = $-7x + 6y - 5$
Considera la matrice che ha come righe il vettore $Q - P$ (dove $Q = (x,y)$ è un generico punto della retta) e $(3,2)$:
$A = ((x + 1,y + 1),(3,2))$
$Q \in r$ sse $PQ$ ed $r$ sono linearmente dipendenti, cioè sse $det(A) = 0$.
$det(A) = 2 ( x + 1) - 3 ( y + 1 ) = 0$
[xdom="Seneca"]Perito97, impara ad usare le formule. Dopo 30 messaggi postati sul forum il regolamento stabilisce che l'uso di esse è obbligatorio come segno di buona volontà.[/xdom]
$P = (-1,-1)$ giusto?
Se il $detA = 0$ due vettori sono dipendenti... o mi sbaglio?
Se il $detA = 0$ due vettori sono dipendenti... o mi sbaglio?
Esatto. Mi sembra che funzioni, no?
Ma se il $detA = 0$ dei vettori nella matrice sono dipendenti se non ricordo male...
Sì, certo, naturalmente devono essere linearmente dipendenti! Ho corretto.
Ah ok perfetto!
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