Dubbio vettori linearmente dipendenti
Salve a tutti ragazzi,
ho un dubbio sulla lineare dipendenza di tre vettori.
Ho 3 vettori $\v_1$, $\v_2$, $v_3$ appartenti allo stesso spazio vettoriale $V$
$\v_2$ e $v_3$ costituiscono una base di $V$
Per provare che $v_1$ non è combinazione lineare di $v_2$ e $v_3$ mi basta provare che$\v_1$,$v_2$ e $v_3$ sono linearmente dipendenti?
Se si perchè?
Grazie mille
Vito L
ho un dubbio sulla lineare dipendenza di tre vettori.
Ho 3 vettori $\v_1$, $\v_2$, $v_3$ appartenti allo stesso spazio vettoriale $V$
$\v_2$ e $v_3$ costituiscono una base di $V$
Per provare che $v_1$ non è combinazione lineare di $v_2$ e $v_3$ mi basta provare che$\v_1$,$v_2$ e $v_3$ sono linearmente dipendenti?
Se si perchè?
Grazie mille
Vito L
Risposte
Formula bene la domanda aggiustando gli indici.
Corretto! 
"Vito L":
Ho 3 vettori $\v_1$, $\v_2$, $v_3$ appartenti allo stesso spazio vettoriale $V$
$\v_2$ e $v_3$ costituiscono una base di $V$
Per provare che $v_1$ non è combinazione lineare di $v_2$ e $v_3$ mi basta provare che$\v_1$,$v_2$ e $v_3$ sono linearmente dipendenti?
La dimensione di $V$ è $2$; $v_1$ non può che essere una combinazione lineare di $v_2 , v_3$.
In uno spazio di dimensione $2$, tre vettori sono sempre linearmente dipendenti.
Perdonatemi Seneca e weblan ho scritto male l'esercizio che così risulta evidente ma nel mio caso (almeno per me) non lo è.
Allora io ho una applicazione $f:RR^2->RR^4$. Ho che dei vettori, ad esempio $v_1$ e $v_2$ appartenenti ad $RR^4$ costituiscono una base di $Im(f)$
Voglio provare che uno specifico vettore $v_3$ appartenga all'$Im(f)$, e lo voglio fare provando che sia combinazione lineare di $v_1$ e di $v_2$
Mi basta provare che $v_1$, $v_2$ e $v_3$ siano linearmente dipendenti?
Se si perchè?
Scusate il malinteso
Grazie
Vito L
Allora io ho una applicazione $f:RR^2->RR^4$. Ho che dei vettori, ad esempio $v_1$ e $v_2$ appartenenti ad $RR^4$ costituiscono una base di $Im(f)$
Voglio provare che uno specifico vettore $v_3$ appartenga all'$Im(f)$, e lo voglio fare provando che sia combinazione lineare di $v_1$ e di $v_2$
Mi basta provare che $v_1$, $v_2$ e $v_3$ siano linearmente dipendenti?
Se si perchè?
Scusate il malinteso
Grazie
Vito L
Sì, ti basta provare quanto hai scritto.
Infatti dire che $v_1 , v_2 , v_3$ sono linearmente dipendenti implica che $v_3$ è combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$.
Per definizione, se solo linearmente dipendenti, esistono coefficienti $a, b , c$ non tutti nulli tali che $a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0$.
Se $c = 0$, allora almeno uno tra $a$ o $b$ dovrebbe essere diverso da $0$, il che implicherebbe che $v_1 , v_2$ sono lin. dipendenti, contro l'ipotesi.
Allora $c \ne 0$. Perciò:
$a v_1 + b v_2 = - c v_3$
$v_3 = - a/c v_1 - b/c v_2$ $\Rightarrow$ $v_3 \in Im(f) = L(v_1 , v_2)$.
Infatti dire che $v_1 , v_2 , v_3$ sono linearmente dipendenti implica che $v_3$ è combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$.
Per definizione, se solo linearmente dipendenti, esistono coefficienti $a, b , c$ non tutti nulli tali che $a v_1 + b v_2 + c v_3 = 0$.
Se $c = 0$, allora almeno uno tra $a$ o $b$ dovrebbe essere diverso da $0$, il che implicherebbe che $v_1 , v_2$ sono lin. dipendenti, contro l'ipotesi.
Allora $c \ne 0$. Perciò:
$a v_1 + b v_2 = - c v_3$
$v_3 = - a/c v_1 - b/c v_2$ $\Rightarrow$ $v_3 \in Im(f) = L(v_1 , v_2)$.
Si va bene.
$f(w_1)=v_1$
$f(w_2)=v_2$
Se $v_3=\alphav_1+\betav_2$, allora $f(\alphaw_1+\betaw_2)=v_3$.
$f(w_1)=v_1$
$f(w_2)=v_2$
Se $v_3=\alphav_1+\betav_2$, allora $f(\alphaw_1+\betaw_2)=v_3$.
Perfetto!
Grazie mille a tutti e due.
Vito L
Grazie mille a tutti e due.
Vito L
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