Proiezione ortogonale!
Salve a tutti! Sono alle prese con la dimostrazione riguardante l'indipendenza della proiezione ortogonale dalla base ortonormale scelta.
Mi trovo nel caso ${RR}^2$ ed ho le due basi ortonormali B=($v_1$ , $v_2$) e W=($w_1$ , $w_2$) dello spazio vettoriale V. Ho considerato inoltre $w_1$=$x_{11}$$v_1$ + $x_{21}$$v_2$ e $w_2$=$x_{12}$$v_1$ + $x_{22}$$v_2$ con ($x_{11}$ , $x_{21}$) e ($x_{12}$ , $x_{22}$) componenti rispettivamente di $w_1$ e $w_2$ rispetto alla base B.
Devo dimostrare che la proiezione ortogonale di u su V rispetto alla base B è uguale alla proiezione ortogonale di u su V rispetto alla base W.
Sono partito appunto considerando quest'ultima proiezione ortogonale e, con le dovute sostituzioni, applicando le dovute proprietà, dopo un foglio di passaggi, sono arrivato a questo risultato:
$[(u * v_1) \times v_1](x_{11}^2 + x_{12}^2)$ + $[(u * v_2) \times v_2](x_{21}^2 + x_{22}^2)$ + $[(u * v_1) \times v_2]$($2x_{11}$$x_{21}$ + $2x_{12}$$x_{22}$)
Ora sapendo cosa dovrei aspettarmi di trovare, deduco che le due sommatorie di componenti al quadrato dovranno essere uguali a 1, mentre l'ultima dei prodotti misti dovrà essere uguale a 0. Tutto ciò mi ricorda la definizione di ortonormalità, ma non riesco a dare una giustificazione specifica e corretta del perchè mi vengano uguali a 1 e 0. Continuo a ragionare sulla matrice del cambiamento di base da B in W, ma proprio non riesco ad arrivarci.
Qualcuno riesce ad aiutarmi per favore?
Mi trovo nel caso ${RR}^2$ ed ho le due basi ortonormali B=($v_1$ , $v_2$) e W=($w_1$ , $w_2$) dello spazio vettoriale V. Ho considerato inoltre $w_1$=$x_{11}$$v_1$ + $x_{21}$$v_2$ e $w_2$=$x_{12}$$v_1$ + $x_{22}$$v_2$ con ($x_{11}$ , $x_{21}$) e ($x_{12}$ , $x_{22}$) componenti rispettivamente di $w_1$ e $w_2$ rispetto alla base B.
Devo dimostrare che la proiezione ortogonale di u su V rispetto alla base B è uguale alla proiezione ortogonale di u su V rispetto alla base W.
Sono partito appunto considerando quest'ultima proiezione ortogonale e, con le dovute sostituzioni, applicando le dovute proprietà, dopo un foglio di passaggi, sono arrivato a questo risultato:
$[(u * v_1) \times v_1](x_{11}^2 + x_{12}^2)$ + $[(u * v_2) \times v_2](x_{21}^2 + x_{22}^2)$ + $[(u * v_1) \times v_2]$($2x_{11}$$x_{21}$ + $2x_{12}$$x_{22}$)
Ora sapendo cosa dovrei aspettarmi di trovare, deduco che le due sommatorie di componenti al quadrato dovranno essere uguali a 1, mentre l'ultima dei prodotti misti dovrà essere uguale a 0. Tutto ciò mi ricorda la definizione di ortonormalità, ma non riesco a dare una giustificazione specifica e corretta del perchè mi vengano uguali a 1 e 0. Continuo a ragionare sulla matrice del cambiamento di base da B in W, ma proprio non riesco ad arrivarci.
Qualcuno riesce ad aiutarmi per favore?
Risposte
Non c'è proprio nessuno che possa aiutarmi? Sono bloccato a questo punto e mi manca così poco per concludere la dimostrazione..
Purtroppo si capisce poco. Ti consiglio di imparare velocemente ad usare le formule.
A titolo esemplificativo:
restituisce
$[(u * v_1) \times v_1](x_{11}^2 + x_{12}^2)$
Inoltre ti avverto che è vietato dal regolamento sollecitare le risposte (come hai fatto poc'anzi) prima che siano passate 24 ore.
A titolo esemplificativo:
$[(u * v_1) \times v_1](x_{11}^2 + x_{12}^2)$restituisce
$[(u * v_1) \times v_1](x_{11}^2 + x_{12}^2)$
Inoltre ti avverto che è vietato dal regolamento sollecitare le risposte (come hai fatto poc'anzi) prima che siano passate 24 ore.
Chiedo scusa! Avevo già visto il metodo di scrittura, ma il mio problema è che ho l'esame domani e quindi non ho proprio molto tempo per mettermi ad impararlo, per lo stesso motivo ho sollecitato.
Ora cercherò di riscrivere il tutto in forma più comprensibile. Grazie per l'avvertimento.
Ora cercherò di riscrivere il tutto in forma più comprensibile. Grazie per l'avvertimento.
AGGIORNATO!
porta un altro esercizio a ezio, ti conviene!tanto lui non lo chiedeXD
porta un altro esercizio a ezio, ti conviene!tanto lui non lo chiedeXD
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