Esercizio Geometria analitica nel piano
Salvare ragazzi ho un es: determianre l' equazione del piano,parallelo alla retta r di eq sistema:\(\displaystyle (x=3z-1) \)e\(\displaystyle (y=2z+1) \)
Perpendicolare al piano tangente \(\displaystyle x+3y-2z-3=0 \) e passante per il punto \(\displaystyle (2,-1,0) \)
Io ho pensato di creare un sitema a tre equazione la prima è data sostituendo ax+by+cz (equazione del piano) al punto
la seconda sapendo che i due piani sono perpendicolare aa'+bb'+cc'=0
e la terza mi sono calcolato il vettore dei numeri direttori u=(l,m,n) tramite i minori della matrice che si crea dalle equazioni della retta però non mi trovo aiuto vi prego!!!
Grazie
Perpendicolare al piano tangente \(\displaystyle x+3y-2z-3=0 \) e passante per il punto \(\displaystyle (2,-1,0) \)
Io ho pensato di creare un sitema a tre equazione la prima è data sostituendo ax+by+cz (equazione del piano) al punto
la seconda sapendo che i due piani sono perpendicolare aa'+bb'+cc'=0
e la terza mi sono calcolato il vettore dei numeri direttori u=(l,m,n) tramite i minori della matrice che si crea dalle equazioni della retta però non mi trovo aiuto vi prego!!!
Grazie
Risposte
Allora i passaggi che farei sono:
-ottengo la retta in forma parametrica;
-avendo il vettore dei coefficienti direttori della retta impongo che sia perpendicolare alla direzione ortogonale del piano che voglio trovare.
-inoltre voglio che le direzioni ortogonali del piano che voglio trovare e del piano noto siano anch'esse ortogonali.
-infine impongo il passaggio per il punto.
-ottengo la retta in forma parametrica;
-avendo il vettore dei coefficienti direttori della retta impongo che sia perpendicolare alla direzione ortogonale del piano che voglio trovare.
-inoltre voglio che le direzioni ortogonali del piano che voglio trovare e del piano noto siano anch'esse ortogonali.
-infine impongo il passaggio per il punto.
Ho trovato i numeri direttori \(\displaystyle (3,2,1) \)l'equazione parametrica sistema\(\displaystyle (x=-1+3t)(y=-1+2t)(z=t) \) però poi da qui non so procedere perchè io avrei imposto il parallelismo tra i piani,il parallelismo con la retta,e il passaggio dal punto mi potrresti dare una mano per favore non so sviluppare come dici tu 
Allora vuoi cercare un piano del tipo : $ax+by+cz+d=0$.
1) Ottieni la retta in forma parametrica : ${(x=3t-1),(y=2t+1),(z=t):}$. Quindi il vettore che rappresenta la direzione è $(3,2,1)$.
2) Il piano è parallelo alla retta $<=>$ $<(a,b,c),(3,2,1)>$$=0$ ovvero $3a+2b+c=0$.
3) Il piano è perpendicolare al piano $x+3y-2z-3=0$ $<=>$ $<(a,b,c),(1,3,-2)>$$=0$ ovvero $a+3b-2c=0$.
4) Il piano passa per il punto dato $<=> 2a-b+d=0$.
5) Se risolvi il sistema ${(3a+2b+c=0),(a+3b-2c=0),(2a-b+d=0):}$ ottieni i coefficienti che ti servivano e poi poni $d$ a piacere.
1) Ottieni la retta in forma parametrica : ${(x=3t-1),(y=2t+1),(z=t):}$. Quindi il vettore che rappresenta la direzione è $(3,2,1)$.
2) Il piano è parallelo alla retta $<=>$ $<(a,b,c),(3,2,1)>$$=0$ ovvero $3a+2b+c=0$.
3) Il piano è perpendicolare al piano $x+3y-2z-3=0$ $<=>$ $<(a,b,c),(1,3,-2)>$$=0$ ovvero $a+3b-2c=0$.
4) Il piano passa per il punto dato $<=> 2a-b+d=0$.
5) Se risolvi il sistema ${(3a+2b+c=0),(a+3b-2c=0),(2a-b+d=0):}$ ottieni i coefficienti che ti servivano e poi poni $d$ a piacere.
Ma mi escono a=0 b=0 c=0??
Per la fretta avevo dimenticato di riscrivere $d$ nell'ultima equazione del sistema, ora va bene.
Sei un grande grazie ancora!!!
Scusami se ti chiedo un'altra cosa su un'altro es ma gente che spiega come te non ce ne sta molta
Determinare le eq di un retta passante per \(\displaystyle P(4,-1,2) \) perpendicolare a r \(\displaystyle x=2+k yy=-1-3k z=-3-k \) e complanare alla retta t di eq \(\displaystyle 2x-y-2=3x+2y-1 \)
io so che complanare ad r vuol dire che è contenuta nel fascio di piani avente per asse r
quindi faccio \(\displaystyle l(2x-y-2)+m(3x+2y-1)=0 \)
pero da qui non so procedere grazie ancora
Determinare le eq di un retta passante per \(\displaystyle P(4,-1,2) \) perpendicolare a r \(\displaystyle x=2+k yy=-1-3k z=-3-k \) e complanare alla retta t di eq \(\displaystyle 2x-y-2=3x+2y-1 \)
io so che complanare ad r vuol dire che è contenuta nel fascio di piani avente per asse r
quindi faccio \(\displaystyle l(2x-y-2)+m(3x+2y-1)=0 \)
pero da qui non so procedere grazie ancora
Ciao, innanzi tutto ti ringrazio 
, qui mi sa che hai scritto male:
perchè quello è un piano.
, qui mi sa che hai scritto male:"Xtony":
complanare alla retta t di eq \(\displaystyle 2x-y-2=3x+2y-1 \)
perchè quello è un piano.
Si sscusa perchè ho dimenticato di riscrivere =0 cosi che quelle due equazioni compongono l'equazione cartesiana della retta cioè 2x-y-2=0 e 3x+2y-1=0
Allora io farei così:
-Impongo il passaggio della retta nel punto;
-impongo la condizione di perpendicolarità con l'altra retta tramite la relazione tra i coefficienti direttori;
-Complanare vuol dire che può essere parallela o incidente, quindi io imporrei la condizione di parallelismo tra le due rette (sempre tramite i coefficienti direttori);
fammi sapere.
-Impongo il passaggio della retta nel punto;
-impongo la condizione di perpendicolarità con l'altra retta tramite la relazione tra i coefficienti direttori;
-Complanare vuol dire che può essere parallela o incidente, quindi io imporrei la condizione di parallelismo tra le due rette (sempre tramite i coefficienti direttori);
fammi sapere.
Allora ho trovato i direttori della retta r che sono \(\displaystyle (1,-3,-1) \) e viso che devo imporre la condizione di perpendicolarità avrò che \(\displaystyle ll'+mm'+nn'=0 \) cio che \(\displaystyle l-3m-n=0 \)
Impongo la condizione di parallelismo: trovo prima i direttori di t tramite la matrice e avrò che \(\displaystyle (0,0,7) \) applico il parallelismo \(\displaystyle k(0,0,7)=(l,m,n) \) impongo come costante di proprzionalità \(\displaystyle k=1 \) e quindi ho \(\displaystyle 7n=0 \) cioè \(\displaystyle n=0 \)
Ora mi manca imporre il passaggio del punto ma non so in che equazione lo devo porre perchè nella cartesiana avrei \(\displaystyle l(x-4)+m(y+1)+n(z-2)=0 \) ma penso di sbagliare questa ultima condizione perchè come faccio con le incognite
grazieeeeeeee
Impongo la condizione di parallelismo: trovo prima i direttori di t tramite la matrice e avrò che \(\displaystyle (0,0,7) \) applico il parallelismo \(\displaystyle k(0,0,7)=(l,m,n) \) impongo come costante di proprzionalità \(\displaystyle k=1 \) e quindi ho \(\displaystyle 7n=0 \) cioè \(\displaystyle n=0 \)
Ora mi manca imporre il passaggio del punto ma non so in che equazione lo devo porre perchè nella cartesiana avrei \(\displaystyle l(x-4)+m(y+1)+n(z-2)=0 \) ma penso di sbagliare questa ultima condizione perchè come faccio con le incognite
grazieeeeeeee
Iniziamo con la formula della retta passante per i due punti $P=(4,-1,2)$ e $C=(x_1,y_1,z_1)$(così siamo sicuri che passa per $P$).
In formule:
${(x=4+(x_1-4)t),(y=-1+(y_1+1)t),(z=2+(z_1-2)t):}$
Il vettore dei coefficienti direttori della retta è : $(x_1-4,y_1+1,z_1-2)$.
La retta $r$ ha il vettore dei coefficienti direttori $(1,-3,-1)$
Impongo la condizione di perpedicolarità tra le due rette:
$<(x_1-4,y_1+1,z_1-2),(1,-3,-1)>$$=0$ e ottengo la condizione $(x_1-4)-3(y_1+1)-(z_1-2)=0$.
La retta $t$ ha equazione parametrica:
${(x=5/7),(y=-4/7),(z=s):}$.
Vogliamo che le due rette siano incidenti, possiamo fare in modo che si incontrino in un punto $H=(5/7,-4/7,k)$.
Cioè poniamo in particolare che $(x_1,y_1,z_1)=(5/7,-4/7,k)$
Mettiamo a sistema questo con la condizione di perpendicolarità:
${(x_1=5/7),(y_1=-4/7),(z_1=k),((x_1-4)-3(y_1+1)-(z_1-2)=0):}$
e troviamo $z_1=-18/7$.
Ora possiamo sostituire nella equazione parametrica originaria:
${(x=4+(5/7-4)t),(y=-1+(-4/7+1)t),(z=2+(-18/7-2)t):}$
ottenendo:
${(x=4-23/7t),(y=-1+3/7t),(z=2-32/7t):}$
In formule:
${(x=4+(x_1-4)t),(y=-1+(y_1+1)t),(z=2+(z_1-2)t):}$
Il vettore dei coefficienti direttori della retta è : $(x_1-4,y_1+1,z_1-2)$.
La retta $r$ ha il vettore dei coefficienti direttori $(1,-3,-1)$
Impongo la condizione di perpedicolarità tra le due rette:
$<(x_1-4,y_1+1,z_1-2),(1,-3,-1)>$$=0$ e ottengo la condizione $(x_1-4)-3(y_1+1)-(z_1-2)=0$.
La retta $t$ ha equazione parametrica:
${(x=5/7),(y=-4/7),(z=s):}$.
Vogliamo che le due rette siano incidenti, possiamo fare in modo che si incontrino in un punto $H=(5/7,-4/7,k)$.
Cioè poniamo in particolare che $(x_1,y_1,z_1)=(5/7,-4/7,k)$
Mettiamo a sistema questo con la condizione di perpendicolarità:
${(x_1=5/7),(y_1=-4/7),(z_1=k),((x_1-4)-3(y_1+1)-(z_1-2)=0):}$
e troviamo $z_1=-18/7$.
Ora possiamo sostituire nella equazione parametrica originaria:
${(x=4+(5/7-4)t),(y=-1+(-4/7+1)t),(z=2+(-18/7-2)t):}$
ottenendo:
${(x=4-23/7t),(y=-1+3/7t),(z=2-32/7t):}$
Cioè avevo sbagliato tuttio io xD
Ma perchè la retta t ha questa equazione parametrica?
Perchè varia solo $z$ mentre $x$ e $y$ sono fisse; lo vedi subito esplicitando nell'equazione cartesiana $y$ in funzione di $x$ e sostituendola nell'altra.
ma l'equazione cartesiana è 2x-y-2=3x+2y-1=0
percio posso avere x=-2 y=1/3 e z=t sbaglio?
percio posso avere x=-2 y=1/3 e z=t sbaglio?
Risolvi il sistema:
${(2x-y-2=0),(3x+2y-1=0):}$
${(2x-y-2=0),(3x+2y-1=0):}$
Però hai imposto la condizione di incidenza non più quella di parallelismo giusto ? cmq ho capito l'errore che facevo grazieeeeee
Di niente, si ho imposto quella di incidenza.
Susami ma se avvesi un esercizio uguale solo che al posto della complanarità ho l'incidenza della stessa retta che è perpendciolare cioè deterimanre l'equazione della retta s passante per il punto P e perpendicolare a incidente a r ovviamente con P e r asseggnati
Avrei fatto i stessi passaggi ovviamente applicando la pependicolarità e l'icidenza sempre a r giusto?
Avrei fatto i stessi passaggi ovviamente applicando la pependicolarità e l'icidenza sempre a r giusto?
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