Forme quadratiche e cambio di coordinate
Ciao, ho un dubbio riguardante il seguente esercizio:
Si consideri la forma quadratica $q(x, y)=x^2+4y^2+4xy$.
Determinare la matrice $M$ invertibile 2x2 tale che $((x'),(y'))=Mcdot((x),(y))$.
Ho calcolato la forma canonica $q(x', y')$, considerando la matrice $A=((1, 2),(2, 4))$ associata a $q(x, y)$ nella base standard di $mathbb{R^2}$. Poi ho calcolato i suoi autovalori: $mathbb{p}_A(lambda)=lambda^2-5lambda=lambda(lambda-5)=0Leftrightarrowlambda=0veelambda=5$;
$q(x', y')=0x'^2+5y'^2$ $Rightarrow$ $q$ semidefinita positiva.
Per determinare la matrice $M$, non bisogna calcolare una base ortonormale formata da autovettori di $A$?
Ho proseguito in questo modo:
$V_0=Ker(A)={((x),(y))inmathbb{R^2}, x+2y=0}$, da cui $mathfrak{B}_{V_0}={((-2),(1))}$ è un autovettore relativo all'autovalore $lambda =0$, nonchè base dell'autospazio $V_0$.
$V_5=Ker(A-5I)={((x),(y))inmathbb{R^2}, x=y=0}$; poichè $dim(V_5)=0$ $Rightarrow$ $nexists$ $mathfrak{B}_{V_5}ne((0),(0))$, quindi la matrice $M$ non può essere formata da autovettori relativi agli autospazi di $A$, semplicemente perchè non sarebbe invertibile.
Credo di essermi complicato la vita in questo esercizio
perciò chiedo il vostro aiuto 
. Grazie mille in anticipo! 
Si consideri la forma quadratica $q(x, y)=x^2+4y^2+4xy$.
Determinare la matrice $M$ invertibile 2x2 tale che $((x'),(y'))=Mcdot((x),(y))$.
Ho calcolato la forma canonica $q(x', y')$, considerando la matrice $A=((1, 2),(2, 4))$ associata a $q(x, y)$ nella base standard di $mathbb{R^2}$. Poi ho calcolato i suoi autovalori: $mathbb{p}_A(lambda)=lambda^2-5lambda=lambda(lambda-5)=0Leftrightarrowlambda=0veelambda=5$;
$q(x', y')=0x'^2+5y'^2$ $Rightarrow$ $q$ semidefinita positiva.
Per determinare la matrice $M$, non bisogna calcolare una base ortonormale formata da autovettori di $A$?
Ho proseguito in questo modo:
$V_0=Ker(A)={((x),(y))inmathbb{R^2}, x+2y=0}$, da cui $mathfrak{B}_{V_0}={((-2),(1))}$ è un autovettore relativo all'autovalore $lambda =0$, nonchè base dell'autospazio $V_0$.
$V_5=Ker(A-5I)={((x),(y))inmathbb{R^2}, x=y=0}$; poichè $dim(V_5)=0$ $Rightarrow$ $nexists$ $mathfrak{B}_{V_5}ne((0),(0))$, quindi la matrice $M$ non può essere formata da autovettori relativi agli autospazi di $A$, semplicemente perchè non sarebbe invertibile.
Credo di essermi complicato la vita in questo esercizio
perciò chiedo il vostro aiuto . Grazie mille in anticipo!
Risposte
La molteplicità geometrica dev'essere almeno 1, quindi c'è qualcosa che non va. Prova a ricontrollare le equazioni dell'autospazio.
Ciao Antimius! Grazie per la risposta. Hai ragione, ho sbagliato l'equazione cartesiana di $V_5$ ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
, quella corretta è:
$V_5=Ker(A-5I)={((x),(y))inmathbb{R^2}, 2x-y=0}$, da cui $mathfrak{B}_{V_5}={((1/2),(1))}$ è un autovettore relativo all'autovalore $lambda =5$, nonchè base dell'autospazio $V_5$.
Quindi adesso per determinare la matrice $M$, basta normalizzare gli autovettori trovati: $||vec{v}_{lambda=0}||=sqrt{5}$ e $||vec{v}_{lambda=5}||=sqrt{5}/2$.
Allora $M=((-2/5sqrt{5},1/5sqrt{5}),(1/5sqrt{5},2/5sqrt{5}))$. Ok spero di aver fatto bene. Grazie ancora!
, quella corretta è:$V_5=Ker(A-5I)={((x),(y))inmathbb{R^2}, 2x-y=0}$, da cui $mathfrak{B}_{V_5}={((1/2),(1))}$ è un autovettore relativo all'autovalore $lambda =5$, nonchè base dell'autospazio $V_5$.
Quindi adesso per determinare la matrice $M$, basta normalizzare gli autovettori trovati: $||vec{v}_{lambda=0}||=sqrt{5}$ e $||vec{v}_{lambda=5}||=sqrt{5}/2$.
Allora $M=((-2/5sqrt{5},1/5sqrt{5}),(1/5sqrt{5},2/5sqrt{5}))$. Ok spero di aver fatto bene. Grazie ancora!
Il procedimento è corretto ma non ho controllato i calcoli 
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