Esercizio dipendenza e combinazione lineare
Ciao a tutti, ho trovato questo esercizio svolto ed ho delle domande da porvi:
Studiare la dipendenza o indipendenza lineare dei seguenti vettori di $RR^3$
$v1=(1, -3, 7),$ $v2=(2, -1, -1),$ $v3=(-4, 2, 2)$
Se risultano linearmente dipendenti esprimere, quando e possibile:
v1 come combinazione lineare di v2 e v3
v2 come combinazione lineare di v1 e v3
v3 come combinazione lineare di v1 e v2
La risoluzione dell'equazione vettoriale $xv1 + yv2 + zv3 = 0$ permette di rispondere a tutte le domande
dell'esercizio.
$\{(x + 2y -4z=0),(-3x-y+2z=0),(7x-y+2z=0):}$
da cui le soluzioni:$\{(x=0),(y=2t),(z=t):}$ poiché viene posto z=t (con t fattore di proporsonalità)
$1°$ DOMANDA: il sistema viene risolto imponendo z=t attenendo le soluzioni $\{(x=0),(y=2t),(z=t):}$, ma se io avessi posto y=t avrei ottenuto soluzioni differenti ma comunque corrette per risolvere l'esercizio? mi sarei solo complicato la vita? avrei ottenendo: $\{(x=0),(y=t),(z=t/2):}$
Di conseguenza v1; v2; v3 sono linearmente dipendenti e: $0v1 + 2tv2 + tv3 = 0$
L'esercizio continua poi dicendo:
"Dall'equazione precedente si nota che v1 non si puo esprimere come combinazione lineare di v2 e v3, invece per esprimere v2 come combinazione lineare di v1 e v3 ponendo per esempio t = 1, otteniamo $2v2 + v3 = 0$ ovvero $v2=-1/2v3$ "
2°$ DOMANDA:
Per quale motivo v1 non si puo esprimere come combinazione lineare di v2 e v3? perche scegliondo per esempio il valore t=1 anche in questo caso si avrebbe comunque 0v1?
grazie!
Studiare la dipendenza o indipendenza lineare dei seguenti vettori di $RR^3$
$v1=(1, -3, 7),$ $v2=(2, -1, -1),$ $v3=(-4, 2, 2)$
Se risultano linearmente dipendenti esprimere, quando e possibile:
v1 come combinazione lineare di v2 e v3
v2 come combinazione lineare di v1 e v3
v3 come combinazione lineare di v1 e v2
La risoluzione dell'equazione vettoriale $xv1 + yv2 + zv3 = 0$ permette di rispondere a tutte le domande
dell'esercizio.
$\{(x + 2y -4z=0),(-3x-y+2z=0),(7x-y+2z=0):}$
da cui le soluzioni:$\{(x=0),(y=2t),(z=t):}$ poiché viene posto z=t (con t fattore di proporsonalità)
$1°$ DOMANDA: il sistema viene risolto imponendo z=t attenendo le soluzioni $\{(x=0),(y=2t),(z=t):}$, ma se io avessi posto y=t avrei ottenuto soluzioni differenti ma comunque corrette per risolvere l'esercizio? mi sarei solo complicato la vita? avrei ottenendo: $\{(x=0),(y=t),(z=t/2):}$
Di conseguenza v1; v2; v3 sono linearmente dipendenti e: $0v1 + 2tv2 + tv3 = 0$
L'esercizio continua poi dicendo:
"Dall'equazione precedente si nota che v1 non si puo esprimere come combinazione lineare di v2 e v3, invece per esprimere v2 come combinazione lineare di v1 e v3 ponendo per esempio t = 1, otteniamo $2v2 + v3 = 0$ ovvero $v2=-1/2v3$ "
2°$ DOMANDA:
Per quale motivo v1 non si puo esprimere come combinazione lineare di v2 e v3? perche scegliondo per esempio il valore t=1 anche in questo caso si avrebbe comunque 0v1?
grazie!
Risposte
la risposta alla prima domanda è che le soluzioni possibili sono infinite ma tutte proporzionali tra loro, di solito si evitano le frazioni per semplificare i conti ma anche quello che hai scritto tu è corretto
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