Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio
Salve, ho risolto questo esercizio:
Calcolare la proiezione ortogonale di $v$ su $U$, dove:
$v = ((1),(4),(9))$ $U = Span ((1),(1),(1)), ((1),(2),(3)) $
Io l'ho svolto, e credo anche correttamente, ma l'ho fatto in maniera molto meccanica. Vorrei quindi tentare di capire il perché di questi passaggi.
Ho innanzitutto controllato che $U$ fosse una base, già ad occhio si vedeva che i due vettori non erano proporzionali, ma per sicurezza ho fatto l'eliminazione di Gauss.
$((1,1),(1,2),(1,3))$ e mi è venuta di rango $2$ che è il rango massimo perché so che $0<=rg(A)<=min(m,n)$
E quindi posso affermare che quello $Span$ lì non è soltanto un sistema di generatori per $U$, ma è anche una base perché i vettori sono linearmente indipendenti.
$B_U = {v_1, v_2} = {(1,1,1), (1,2,3)}$
Ora ho ortogonalizzato la base con Gram-Schmidt:
$w_1 = v_1 = (1, 1, 1)$
$w_2 = v_2- (v_2*w_1)/(w_1*w_1)*w_1$
Facendo i calcoli:
$= (1,2,3)-(2,2,2) =$
$(-1, 0, 1)$
Quindi una base ortogonale per $U$ è:
$B^\bot = {w_1, w_2} = {(1, 1, 1), (-1, 0, 1)}$
Ora l'ho ortonormalizzata:
$||w_1|| = sqrt(w_1*w_1) = sqrt((1,1,1)*(1,1,1)) = sqrt(3)$
$||w_2|| = sqrt(w_2*w_2) = sqrt((-1,0,1)*(-1,0,1)) = sqrt(2)$
E quindi una base ortonormale per $U$ è:
$u_1 = w_1/||w_1|| = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3))$
$u_2 = w_2/||w_2|| = (-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))$
${u_1, u_2} = {(1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3), (-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))}$
Per determinare la proiezione ortogonale di $v = ((1),(4),(9))$ su $U$ ho applicato una formula che il mio professore ha utilizzato in un altro esercizio simile a questo, ma senza dirci il perché funzionava. Forse sperava ci arrivassi(mo) da soli
Ad ogni modo la formula è questa:
$\Pi^\bot(v) = (v*u_1)*u_1 + (v*u_2)*u_2$
E nel mio caso questo equivale a:
$[(1,4,9)*(1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3))]*(1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3))+[(1,4,9)*(-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))]*(-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))$
Facendo i calcoli:
$=(14/2, 14/3, 14/3) + (-4, 0, 4)$
$=(2/3, 14/3, 26/3)$
Al netto del fatto che ciò che ho scritto sia giusto, potete spiegarmi perché tutto ciò ha senso? Inoltre se avete del materiale su cui studiare e approfondire ve ne sarei grato perché non vorrei solamente passare l'esame di algebra lineare, ma vorrei anche capirla...
PS: è possibile svolgerlo anche senza Gram-Schmidt? Perché se non vado errato questo esercizio ci era stato assegnato prima ancora che lo facessimo.
Calcolare la proiezione ortogonale di $v$ su $U$, dove:
$v = ((1),(4),(9))$ $U = Span ((1),(1),(1)), ((1),(2),(3)) $
Io l'ho svolto, e credo anche correttamente, ma l'ho fatto in maniera molto meccanica. Vorrei quindi tentare di capire il perché di questi passaggi.
Ho innanzitutto controllato che $U$ fosse una base, già ad occhio si vedeva che i due vettori non erano proporzionali, ma per sicurezza ho fatto l'eliminazione di Gauss.
$((1,1),(1,2),(1,3))$ e mi è venuta di rango $2$ che è il rango massimo perché so che $0<=rg(A)<=min(m,n)$
E quindi posso affermare che quello $Span$ lì non è soltanto un sistema di generatori per $U$, ma è anche una base perché i vettori sono linearmente indipendenti.
$B_U = {v_1, v_2} = {(1,1,1), (1,2,3)}$
Ora ho ortogonalizzato la base con Gram-Schmidt:
$w_1 = v_1 = (1, 1, 1)$
$w_2 = v_2- (v_2*w_1)/(w_1*w_1)*w_1$
Facendo i calcoli:
$= (1,2,3)-(2,2,2) =$
$(-1, 0, 1)$
Quindi una base ortogonale per $U$ è:
$B^\bot = {w_1, w_2} = {(1, 1, 1), (-1, 0, 1)}$
Ora l'ho ortonormalizzata:
$||w_1|| = sqrt(w_1*w_1) = sqrt((1,1,1)*(1,1,1)) = sqrt(3)$
$||w_2|| = sqrt(w_2*w_2) = sqrt((-1,0,1)*(-1,0,1)) = sqrt(2)$
E quindi una base ortonormale per $U$ è:
$u_1 = w_1/||w_1|| = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3))$
$u_2 = w_2/||w_2|| = (-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))$
${u_1, u_2} = {(1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3), (-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))}$
Per determinare la proiezione ortogonale di $v = ((1),(4),(9))$ su $U$ ho applicato una formula che il mio professore ha utilizzato in un altro esercizio simile a questo, ma senza dirci il perché funzionava. Forse sperava ci arrivassi(mo) da soli
Ad ogni modo la formula è questa:
$\Pi^\bot(v) = (v*u_1)*u_1 + (v*u_2)*u_2$
E nel mio caso questo equivale a:
$[(1,4,9)*(1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3))]*(1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3))+[(1,4,9)*(-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))]*(-1/sqrt(2), 0, 1/sqrt(2))$
Facendo i calcoli:
$=(14/2, 14/3, 14/3) + (-4, 0, 4)$
$=(2/3, 14/3, 26/3)$
Al netto del fatto che ciò che ho scritto sia giusto, potete spiegarmi perché tutto ciò ha senso? Inoltre se avete del materiale su cui studiare e approfondire ve ne sarei grato perché non vorrei solamente passare l'esame di algebra lineare, ma vorrei anche capirla...
PS: è possibile svolgerlo anche senza Gram-Schmidt? Perché se non vado errato questo esercizio ci era stato assegnato prima ancora che lo facessimo.
Risposte
Che bordello che hai fatto!
Non so cosa cosa chiedesse l'esercizio ma ti posso dire cosa hai trovato, ovvero il vettore della proiezione ortogonale espresso rispetto alla base $(u_1xxu_2, u_1, u_2-2u_1)$. Di solito questi esercizi chiedono la soluzione rispetto alla base canonica.
Non so cosa cosa chiedesse l'esercizio ma ti posso dire cosa hai trovato, ovvero il vettore della proiezione ortogonale espresso rispetto alla base $(u_1xxu_2, u_1, u_2-2u_1)$. Di solito questi esercizi chiedono la soluzione rispetto alla base canonica.
Oh, rabbia!
Il testo recitava solamente ciò che ho scritto ovvero:
$ v = ((1),(4),(9)) $
$ U = Span (((1),(1),(1)) ((1),(2),(3))) $
Cercherò di capire dove ho sbagliato
Il testo recitava solamente ciò che ho scritto ovvero:
$ v = ((1),(4),(9)) $
$ U = Span (((1),(1),(1)) ((1),(2),(3))) $
Cercherò di capire dove ho sbagliato
Nah, hai fatto bene. Ho sbagliato io.
Ho letto troppo rapidamente: le formule del prof. sono normalizzate (non mi era immediatamente chiaro).
Quindi nella sostanza il prof. ti dice che la somma delle proiezioni ortogonali di un vettore su una base del piano, ci dà la proiezione ortogonale del vettore.
Non ti è chiaro questo aspetto?
Ho letto troppo rapidamente: le formule del prof. sono normalizzate (non mi era immediatamente chiaro).
Quindi nella sostanza il prof. ti dice che la somma delle proiezioni ortogonali di un vettore su una base del piano, ci dà la proiezione ortogonale del vettore.
Non ti è chiaro questo aspetto?
Oh meno male che almeno il procedimento è giusto.
Ora ti espongo i miei dubbi:
Io in questo esercizio ho preso quel sistema di generatori e ho verificato che fosse una base.
Poi con Gram-Schmidt ho "trasformato" la base, in una base ortogonale ovvero una base formata da vettori che sono a due a due ortogonali rispetto al prodotto scalare in questo caso standard.
E poi l'ho normalizzata e così facendo mi sono ritrovato con una base che non solo è ortogonale a due a due, ma che è anche formata da vettori che hanno norma unitaria rispetto a un fissato prodotto scalare. Ma questo all'atto pratico che cosa significa e perché si fa? Io so la definizione formale di base ortonormale, ma fino ad adesso l'ho presa come un ipse dixit, ma vorrei cercare di capire qual è il significato profondo.
Stesso discorso per la formula della proiezione: nelle dispense del mio professore c'è scritto che un vettore $v in R^n$ si spezza, in modo unico, come somma di un vettore $w in E$ (dove $E$ è il complemento ortogonale) e di un vettore $w^\bot in E$:
$v = w + w^\bot$ e dice che $ w$ e $w^\bot$ sono ortogonali fra di loro.
Infine conclude dicendo che il vettore $w$ è detto la proiezione ortogonale di $v$ sul sottospazio $E$. Denoteremo $w$ con il simbolo $\PE^\bot(v)$.
E poi riporta la formula generale:
$ \PE(v) = (v*u_1)*u_1 + (v*u_2)*u_2 $
Se può servire come libro del corso ho "Geometria analitica con elementi di algebra lineare" di Marco Abate e Chiara De Fabritiis.
Grazie mille per l'aiuto.
Ora ti espongo i miei dubbi:
Io in questo esercizio ho preso quel sistema di generatori e ho verificato che fosse una base.
Poi con Gram-Schmidt ho "trasformato" la base, in una base ortogonale ovvero una base formata da vettori che sono a due a due ortogonali rispetto al prodotto scalare in questo caso standard.
E poi l'ho normalizzata e così facendo mi sono ritrovato con una base che non solo è ortogonale a due a due, ma che è anche formata da vettori che hanno norma unitaria rispetto a un fissato prodotto scalare. Ma questo all'atto pratico che cosa significa e perché si fa? Io so la definizione formale di base ortonormale, ma fino ad adesso l'ho presa come un ipse dixit, ma vorrei cercare di capire qual è il significato profondo.
Stesso discorso per la formula della proiezione: nelle dispense del mio professore c'è scritto che un vettore $v in R^n$ si spezza, in modo unico, come somma di un vettore $w in E$ (dove $E$ è il complemento ortogonale) e di un vettore $w^\bot in E$:
$v = w + w^\bot$ e dice che $ w$ e $w^\bot$ sono ortogonali fra di loro.
Infine conclude dicendo che il vettore $w$ è detto la proiezione ortogonale di $v$ sul sottospazio $E$. Denoteremo $w$ con il simbolo $\PE^\bot(v)$.
E poi riporta la formula generale:
$ \PE(v) = (v*u_1)*u_1 + (v*u_2)*u_2 $
Se può servire come libro del corso ho "Geometria analitica con elementi di algebra lineare" di Marco Abate e Chiara De Fabritiis.
Grazie mille per l'aiuto.
Ci ho pensato su e francamente la spiegazione data dal libro è un sunto perfetto di cosa sia una proiezione ortogonale, quindi è inutile ripetere ancora il medesimo concetto.
Il "problema" è a monte IMHO, ovvero bisogna tornare ai concetti geometrici base dei vettori.
Se hai voglia, deriviamo insieme la formula di G-S partendo da due semplici vettori qualsiasi disegnati su un pezzo di "carta".
Visto che non posso installare programmi sul PC, dovresti postare tu un'immagine fatta con Paint (o qualsiasi programma di grafica) di 2 vettori $vec(OA)$ e $vec(OB)$
Il "problema" è a monte IMHO, ovvero bisogna tornare ai concetti geometrici base dei vettori.
Se hai voglia, deriviamo insieme la formula di G-S partendo da due semplici vettori qualsiasi disegnati su un pezzo di "carta".
Visto che non posso installare programmi sul PC, dovresti postare tu un'immagine fatta con Paint (o qualsiasi programma di grafica) di 2 vettori $vec(OA)$ e $vec(OB)$
Questa immagine credo possa andare bene:
(Figura 11.2)
Il libro mediante un po' di trigonometria giunge a dimostrare che la formula per trovare il $cos \theta$ è:
$cos \theta = \langle v_1, v_2 \rangle/(\| \v_1\| * \| \v_2\|) $ (perdonatemi, ma non sono riuscito a inserire la formula della norma con le doppie linee)
Osservazione 11.3 pagina 225
E continua dicendo che due vettori $v_1$ e $v_2$ sono ortogonali se e solo se formano un angolo $\theta$ di $\pi/2$ radianti.
E questo mi pare ovvio perché quando l'angolo tra due vettori misura $\pi/2$ radianti il $cos \theta = 0$ e per la formula che ho riportato sopra questo si verifica se e solo se $\langle v_1, v_2 \rangle = 0$.
Poi continua: "Un altro concetto che possiamo esprimere tramite il prodotto scalare canonico è la proiezione ortogonale di $v_2$ su $v_1$. Si tratta del vettore $w$ ottenuto tracciando da $v_2$ la retta perpendicolare a $v_1$"
E per calcolare $w$ scrive questa formula:
$w = (\| \v_2\| cos \theta) * v_1/\| \v_2\| = \langle v_2, v_1 \rangle/\langle v_1, v_1 \rangle$
Quello che forse intendevi tu si trova a pagina 240, dopo aver spiegato il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. E dice così:
"Per trovare $w_2$ abbiamo sottratto da $v_2$ un vettore $w$ in modo da ottenere qualcosa di ortogonale a $v_1$; inoltre questo $w$ era un multiplo di $v_1$. È un procedimento che ricorda la proiezione ortogonale di $v_2$ su $v_1$ (vedi la Figura 11.2), e la somiglianza diventa ancora più spiccata osservando che:
$w = \langle v_2, v_1 \rangle/\langle v_1, v_1 \rangle = (\| \v_2\| cos \theta) * v_1/\| \v_2\| $
dove $\theta$ è l'angolo fra $v_1$ e $v_2$; in altre parole abbiamo usato proprio la stessa formula della proiezione ortogonale nel piano (vedi l'Osservazione 11.3).E poi generalizza questo ragionamento per $r>2$ e scrive la formula della proiezione ortogonale di cui abbiamo parlato anche ieri. Questa è la spiegazione dell'Abate, De Fabritiis. Grazie mille dell'aiuto.
(Figura 11.2)
Il libro mediante un po' di trigonometria giunge a dimostrare che la formula per trovare il $cos \theta$ è:
$cos \theta = \langle v_1, v_2 \rangle/(\| \v_1\| * \| \v_2\|) $ (perdonatemi, ma non sono riuscito a inserire la formula della norma con le doppie linee)
Osservazione 11.3 pagina 225
E continua dicendo che due vettori $v_1$ e $v_2$ sono ortogonali se e solo se formano un angolo $\theta$ di $\pi/2$ radianti.
E questo mi pare ovvio perché quando l'angolo tra due vettori misura $\pi/2$ radianti il $cos \theta = 0$ e per la formula che ho riportato sopra questo si verifica se e solo se $\langle v_1, v_2 \rangle = 0$.
Poi continua: "Un altro concetto che possiamo esprimere tramite il prodotto scalare canonico è la proiezione ortogonale di $v_2$ su $v_1$. Si tratta del vettore $w$ ottenuto tracciando da $v_2$ la retta perpendicolare a $v_1$"
E per calcolare $w$ scrive questa formula:
$w = (\| \v_2\| cos \theta) * v_1/\| \v_2\| = \langle v_2, v_1 \rangle/\langle v_1, v_1 \rangle$
Quello che forse intendevi tu si trova a pagina 240, dopo aver spiegato il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. E dice così:
"Per trovare $w_2$ abbiamo sottratto da $v_2$ un vettore $w$ in modo da ottenere qualcosa di ortogonale a $v_1$; inoltre questo $w$ era un multiplo di $v_1$. È un procedimento che ricorda la proiezione ortogonale di $v_2$ su $v_1$ (vedi la Figura 11.2), e la somiglianza diventa ancora più spiccata osservando che:
$w = \langle v_2, v_1 \rangle/\langle v_1, v_1 \rangle = (\| \v_2\| cos \theta) * v_1/\| \v_2\| $
dove $\theta$ è l'angolo fra $v_1$ e $v_2$; in altre parole abbiamo usato proprio la stessa formula della proiezione ortogonale nel piano (vedi l'Osservazione 11.3).E poi generalizza questo ragionamento per $r>2$ e scrive la formula della proiezione ortogonale di cui abbiamo parlato anche ieri. Questa è la spiegazione dell'Abate, De Fabritiis. Grazie mille dell'aiuto.
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