Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno, mi sono imbattuto nel caso della fattorazione di una matrice $A$ fortemente non singolare in $A=LU$ ma non ho compreso come effettivamente funzioni. In particolare ho compreso che $L$ è triangolare inferiore e $U$ è triangolare superiore, ma come sono fatte tali matrici e come si ottengono?
Grazie
P.S.: Infine ci è stato accennato il caso di $PA=LU$, ma cosa cambia rispetto al caso sopracitato e come è fatta ...
sia $C={(x,y) in RR^2 | y^2=x^3$ parametrizzata da $sigma(t)=(t^2,t^3)$
dimostrare che per ogni parametrizzazione $phi$ di $Im(sigma)$, cioè ogni $phi : I->RR^2$ con $Im(phi)=C$, non può essere regolare, ovvero per ogni $t_0$ tale che $phi(t_0)=(0,0)$ si ha $phi'(t_0)=(0,0)$
Disegnando il grafico di $C$ ho capito che la tesi è vera poiché immaginando di muovermi sulla curva, nel punto $(0,0)$ devo per forza fermarmi e cambiare direzione ...
Salve a tutti,domanda probabilmente banalissima,ma non per me: il prodotto di tre matrici elementari ABC,si puo commutare e scrivere anche come prodotto ACB??
Salve ragazzi stavo leggendo il teorema di Sylvester:
Ho un dubbio sulla dimostrazione:
Non capisco come mai $a_{ii} = \alpha_{ii}^2$ per $i \leq p$ ed $a_{ii} =- \alpha_{ii}^2$ per $p+1 \leq i \leq r$
o meglio chi sono questi: $\alpha_{ii}^2$?
Rignrazio chi saprà aiutarmi
Salve, mi sto avvicinando ora allo studio della topologia algebrica, in particolare all'omologia ma non riesco a immaginarla operativamente e quindi a lavorarci, avrei bisogno di un aiuto.
Io so che il gruppo di omologia di dimensione n è definifito come $H_n(K)=(Z_n(K))//(B_n(K))$ dove $K$ è un complesso simpliciale e nel gruppo quoziente compare il gruppo degli n-cicli e n-bordi. Per questo gli elementi del gruppo di omologia sono classi di equivalenza e due elementi sono nella stessa ...
Dato uno spazio topologico qualsiasi $(X,T)$, per definizione si dice aperto ogni sottoinsieme $AinT$.
Il concetto di aperto l'ho già incontrato in un corso di Analisi, ma era riferito ad uno spazio metrico.
In $(X,d)$ infatti $A$ si dice aperto se per ogni suo punto $a$ esiste un disco di centro $a$ e di raggio sufficientemente piccolo da essere contenuto in $A$. Inoltre dato un qualsiasi insieme ...
Buonasera, mi sono appena iscritto a questo forum perché sto trovando difficoltà in questi esercizi,penso basilari, di algebra lineare:
Ho studiato le definizioni dei seguenti tipi di matrici,ma ora non riesco a capire come applicarle per risolvere questo esercizio di 4 punti
Sia $x in CC^n$, $y in CC^n$ e si consideri la matrice $nxn$ data da
$A=xy**$ dove $**$ indica il trasporto coniugato del vettore $y$
Dare condizioni affinché ...
Buongiorno!
Se non ricordo male dai vari corsi di algebra lineare, analisi, ecc... Gli autovalori, gli autovettori ed il determinante sono delle proprietà tipiche delle matrici quadrate.
Ergo, se una matrice $A$ appartiene e a $RR^(m xx n)$ con $m!=n$, allora a tale matrice non è possibile associare tali valori (determinante, autovalori e autovettori).
Due domande:
a) Confermate quanto ho detto?
b) Ragionamento un tantino filosofico: da tali valori si possono ...
sia $p(t)={((0,e^(1/t)),if t<0),((0,0),if t=0),((e^(-1/t),0),if t>0):}$ una curva.
Dimostrare che p(t) è una curva di classe $C^(infty)$
la tesi mi pare abbastanza evidente per come è definita $p(t)$ ma volendo dimostrarlo formalmente devo dimostrare che
$lim_(t->0^-) p'(t)=p'(0)=lim_(t->0^+) p'(t)$ e poi posso usare l'induzione?
oppure vi è qualche altra strategia per le curve in $RR^2$?
grazie
Voglio trovare gli autovalori della seguente matrice:
$ A= [ ( -2 , +3 , 0 ),( +1 , -2 , 0 ),( 0 , +2 , -2 ) ] $
Per calcolare gli autovalori:
$ det([ ( lambda+2 , -3 , 0 ),( -1 , lambda+2 , 0 ),( 0 , -2 , lambda+2 ) ])$
Da cui ottengo
$(lambda+2)(lambda+2)(lambda+2) - 3(lambda+2)=0$
$(lambda+2)^2-3=0$
$lambda^2 +4lambda +1=0$
Da cui ottengo solo due autovalori. E il terzo?
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Studente Anonimo
14 mar 2021, 10:20
Salve a tutti!
Sto facendo fatica a capire la seguente notazione:
$ 1/(min_(||alpha||=1)||A_k\alpha||)=1/(sqrt(\lambda_(k,min))) $
dove:
$ A_k $ e' una matrice formata da k vettori (colonne)
$ \lambda_(k,min) $ e' il piu' piccolo autovalore di $ A_k^T*A_k $
inoltre:
$ A_k\alpha=A_1\alpha_1+A_2\alpha_2+...+A_k\alpha_k $
In modo particolare, non ho chiaro il significato della seguente notazione:
$ 1/(min_(||alpha||=1)||A_k\alpha||) $
e non ho chiaro neppure l'uguaglianza.
Grazie mille in anticipo!
Sto cercando di capire perché il determinante dei vettori che formano un parallelepipedo corrisponde al volume di quest'ultimo, in qualunque dimensione.
Ho trovato una risposta qui (la risposta segnata come 'best answer'):
https://math.stackexchange.com/question ... dimensions
ma non ne ho capito un passaggio, ovvero quando dice 'This corresponds to a skew translation of the parallelepiped'.
Mi pare di capire che lo scrivente afferma che sostituire una colonna con lei stessa più un'altra (ad esempio) corrisponde a una ...
Buongiorno! Non riesco a comprendere un passaggio della seguente dimostrazione della lineare indipendenza.
$A in RR^(n xx n)$
autovalori distinti e reali = $lambda_1 , ... , lambda_n$
Sia $v_k$ un autovettore reale associato all'autovalore $lambda_k$
Gli autovettori formano una base di $RR^n$, ovvero $alpha_1v_1 + ... + alpha_nv_n=0$ solo se tutti i coefficienti sono uguali a zero.
Dimostrazione per assurdo:
Supponiamo che gli autovettori siano linearmente dipendenti. Allora ...
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Studente Anonimo
13 mar 2021, 13:32
Salve a tutti,
ho una domanda riguardo a un'estensione della decomposizione QR nota come Rank Revealing QR. Anche se presume che la mia domanda è più che altro legato all'algebra di base che sta dietro l'algoritmo piuttosto che l'algoritmo stesso.
RRQR ha la sequente forma:
$ AP=QR $
dove:
A è una matrice $ mxn, m\geq n $
P e una matrice di permutazione
La mia domanda è proprio riguardo questa matrice. Il documento che sto leggendo afferma quanto segue:
"La matrice riordinata ...
Ciao, qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio nel calcolare il determinante della seguente matrice 3x3?
$A= [ ( 1 , 2 , 3 ),( -4 , 4 , 3 ),( 1 , 8 , -3 ) ] $
Usando teorema di Laplace
$det(A)= [ 1*1* (-12-24)]+[2*(-1)*(3-12)]+ [3*1*(-32-4)]=-126$
Il risultato dovrebbe essere
$-162$
Il determinante di $A_(12)$ non dovrebbe essere $det(A_(12))= (3*1)-(-4*-3))= 3-12= -9$
???
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Studente Anonimo
13 mar 2021, 22:39
Ciao a tutti
Consideriamo la matrice:
$ [ ( 1 , 4 ),( 0 , -3 ) ] $
con autovalori $lambda_1=1$ e $lambda_2=-3$
e rispettivi autovettori:
$v_1 = alpha_1 ( ( 1 ),( 0 ) ) $
$v_2 = alpha_2 ( ( -1 ),( 1 ) ) $
I due vettori $v_1$ e $v_2$ sono linearmente indipendenti su $RR$. Qui arriva la mia domanda....
Sono detti linearmente indipendenti su $RR$ in quanto
$alpha_1v_1 + alpha_2v_2=0$
solo se $alpha_1=0$ e $alpha_2=0$
Quello che non capisco è la dicitura "su ...
Ho alcuni dubbi sulle seguenti richieste.
Considerata la famiglia di tutti i sottoinsiemi reali che sono simmetrici rispetto all'origine dimostrare che si tratta di una topologia sull'insieme dei numeri reali. E' confrontabile con la topologia naturale?
Ho pensato che una famiglia siffatta è una topologia poiché soddisfa gli assiomi di topologia:
1) Contiene l'insieme vuoto e l'insieme dei numeri reali;
2) E' chiusa rispetto all'intersezione di due qualsiasi suoi elementi perché presi due ...
Salve a tutti!!!
Sto preparando l'esame di analisi dei sistemi dinamici e non mi é chiaro un argomento inerente algebra lineare ed in particolare quando una matrice é diagonalizzabile.
Allora quello che so io é che esiste il teorema di diagonalizzabilità che afferma quanto segue:una matrice quadrata A è diagonalizzabile in un campo K se e solo se valgono le seguenti condizioni:
a)il numero degli autovalori di A appartenenti al campo K e contati con la loro molteplicità è pari all'ordine della ...
Salve a tutti, qualcuno potrebbe darmi una mano su questo esercizio:
Trovare, usando la proiezione stereografica, $x,y in CC$ tali che $x^2+y^2=1$
Non ho per nulla chiaro che ragionamento dovrei impostare e come utilizzare la proiezione, quindi se qualcuno potesse darmi un buon suggerimento gliene sarei grato.
Grazie
Buonasera, ho il seguente esercizio:
s.v.e. "spazio vettoriale euclideo".
Esercizio: Sia $(V,<-,\-\>)$ s.v.e. di dimensione $n$ e sia $S=(e_1,...,e_p)$ sistema ortogonale di versori, con $p le n.$
Dimostrare che è possibile estendere $S$ ad un riferimento ortonormale.
Ho pensato di procedere nella seguente maniera:
1) considero un riferimento $ xi=(v_1,...,v_p, v_(p+1),...,v_n) $ di $V$
2) considero la seguente proposizione:
$(V,<-,-\>)$ s.v.e. di ...
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